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Extrema
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Was ist ein Extremum? Lokale und Globale Hochpunkte und Tiefpunkte (Maximum/Minium) Lokaler Hochpunkt: Hochpunkt innerhalb eines Definitionsbereich Lokaler Tiefpunkt: Tiefpunkt innerhalb eines Definitionsbereich Globale Hochpunkte: Absolutes Maximum Globaler Tiefpunkt: Absolutes Minimum
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Wie berechnet man ein Extremum?
1.Ableitung Beispiel: f(x)=x³-x²-5x+2 f´(x)=3x²-2x-5 2. Notwendige Bedingung f´(x)=0 0=f´(x) 0=3x²-2x-5 |:3 0=x² x X=1/3 ± 𝑥 1 = 5 3 𝑥 1 =-1
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3. Hinreichende Bedingung Vorzeichenwechsel
Alternative 1 Beispiel Vorzeichenwechsel von f´(x) graphisch Tabellarisch: x -3 -1 1 5 3 3 f´(x) 28 -4 16
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Hinreichende Bedingung f´´(x)≠0
Beispiel Alternative 2 f´(x)=3x²-2x-5 f´´(x)≠0 f´´(x)=6x-2 f´´(-1)=-8 Hochpunkt f´´( 5 3 )= 8 Tiefpunkt In die Funktion einsetzen Hochpunkt bei (-1|5), Tiefpunkt bei ( 5 3 |− ) f(-1)=5 f( 5 3 )=
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