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VerΓΆffentlicht von:Hansi Peters GeΓ€ndert vor ΓΌber 5 Jahren
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Tangenten bestimmen Hin und wieder wird verlangt, dass man die Gleichung einer Tangente, z.B. einer Wendetangente, bestimmen soll. In seltenen FΓ€llen soll man statt der Tangente eine Normale (diese ist senkrecht zur Tangente) bestimmen. Diese Frage kann Ihnen sowohl im Pflichtteil als auch im Wahlteil begegnen. Zur Bestimmung einer Tangentengleichung verwenden Sie die Tangentenformel π¦=πβ π₯ 0 π₯β π₯ 0 +π( π₯ 0 ) oder sie berechnen die Tangente βvon Handβ.
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Rechenbeispiel Tangentengleichung
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von π(π₯)= π₯ 2 im Punkt π LΓΆsung: Verwende die Tangentenformel π¦=πβ π₯ 0 π₯β π₯ 0 +π( π₯ 0 ). In unserem Fall ist π₯ 0 =2. Wir haben somit π¦=πβ 2 π₯β2 +π(2). Es folgt π 2 =4, πβ π₯ =2π₯ also πβ 2 =4 und damit π¦=4 π₯β2 +4=4π₯β4 Ergebnis: Die Tangentengleichung in π 2 4 lautet π¦=4π₯β4.
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Rechenbeispiel βTangente von Handβ
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von π(π₯)= π₯ 2 im Punkt π LΓΆsung: Eine Geradengleichung lautet allgemein π¦=ππ₯+π. π ist die Steigung und diese ist bei π₯=2 gegeben durch π=πβ 2 . Mit πβ²(π₯)=2π₯ folgt πβ 2 =4, also π=4. Der Punkt π 2 4 liegt auf der Geraden, also folgt durch Einsetzen 4=4β
2+π und somit π=β4 Ergebnis: Die Tangentengleichung in π 2 4 lautet π¦=4π₯β4.
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Pflichtteil 2016 Aufgabe 4: Der Graph der Funktionen πmit π(π₯)=β 1 6 π₯ 3 + π₯ 2 βπ₯ besitzt einen Wendepunkt. Zeigen Sie, dass π¦=π₯β 4 3 eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist. (4 VP)
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π(π₯)=β 1 6 π₯ 3 + π₯ 2 βπ₯ PT 2016 β LΓΆsung Aufgabe 4 Wir bestimmen zunΓ€chst den Wendepunkt: πβ²(π₯)=β 1 2 π₯ 2 +2π₯β1, π β²β² π₯ =βπ₯+2, π β²β²β² π₯ =β1 Mit π β²β² π₯ =0 folgt βπ₯+2=0 also π₯=2. Mit π β²β²β² 2 =β1β 0 liegt an der Stelle π₯=2 somit tatsΓ€chlich ein Wendepunkt vor. Mit π 2 =β β2=β = 2 3 liefert die π¦-Koordinate des Wendepunkts. Somit haben wir π
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π(π₯)=β 1 6 π₯ 3 + π₯ 2 βπ₯ PT 2016 β LΓΆsung Aufgabe 4 πβ²(π₯)=β 1 2 π₯ 2 +2π₯β1 Die Gleichung der Tangente bekommen wir mit der Tangentenformel: π¦=πβ² π₯ 0 π₯β π₯ 0 +π( π₯ 0 ) In unserem Fall ist π₯ 0 =2 und mit π β² 2 =1 und π 2 = 2 3 erhalten wir: π¦=1 π₯β =π₯β 4 3 Ergebnis: Die Gleichung der Tangente im Wendepunkt lautet π¦=π₯β 4 3 .
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Pflichtteil 2009 Aufgabe 4: Das Schaubild der Funktion π mit π π₯ =β π₯ 3 + 3π₯ 2 βπ₯β3 besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. (4 VP)
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π π₯ =β π₯ 3 + 3π₯ 2 βπ₯β3 PT 2009 β LΓΆsung Aufgabe 4 Ansatz: Verwende Tangentengleichung π¦=πβ² π₯ 0 π₯β π₯ 0 +π π₯ 0 Bestimmung des Wendepunkts mit dem Kriterium πβ²β² π₯ =0: Es gilt πβ² π₯ =β 3π₯ 2 +6π₯β1 und πβ²β² π₯ =β6π₯+6 Es folgt πβ²β² π₯ =0ββ6π₯+6=0βπ₯=1 Damit ist π₯ 0 =1 die π₯-Koordinate des Wendepunkts. Es folgt: πβ² π₯ 0 =πβ² 1 =2 und π π₯ 0 =π 1 =β2 Einsetzen in Tangentengleichung: π¦=2 π₯β1 β2=2π₯β4 Ergebnis: Die gesuchte Tangentengleichung lautet π¦=2π₯β4.
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