Abstand windschiefer Geraden

Präsentation zum Thema: "Abstand windschiefer Geraden"—  Präsentation transkript:

1 Abstand windschiefer Geraden
Gesucht ist der Abstand zweier sich nicht schneidenden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 im Raum, also zweier windschiefer Geraden. Die beiden Geradengleichungen sollten in Parameterform vorliegen. Es seien 𝑢 bzw. 𝑣 die Richtungsvektoren von 𝑔 1 bzw. 𝑔 2 und 𝑝 bzw. 𝑞 die Stützvektoren.

2 Das Verfahren Konstruiere zwei parallele Ebenen 𝐸 und 𝐹, so dass 𝑔 1 in 𝐸 und 𝑔 2 in 𝐹 liegt. Als Stützvektoren für 𝐸 und 𝐹 verwende diejenigen der jeweiligen Geraden. Ein Normalenvektor für beide Ebenen ergibt sich durch 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 . Nun kann man den Abstand paralleler Ebenen mit dem vorher beschriebenen Verfahren bestimmen.

3 Die Formel Das eben beschriebene Verfahren mündet in der folgenden Abstandsformel: Hierbei ist 𝑝 der Stützvektor von 𝐸, 𝑞 der Stützvektor von 𝐹 und 𝑛 0 der Einheitsnormalenvektor, der senkrecht zu beiden Ebenen steht. Sie können sich also wieder aussuchen, ob Sie lieber das Verfahren abarbeiten oder lieber die Formel anwenden. Mein Vorschlag: Nehmen Sie die Formel! 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣

4 Rechenbeispiel Gegeben seien die beiden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 mit 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 4 3 −2 ; 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gesucht ist der Abstand zwischen 𝑔 1 und 𝑔 2 .

5 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 4 3 −2 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 Lösung Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: 4 3 −2 4 3 − 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = − − = 8 −8 4 Wir teilen noch durch 4 und erhalten: 𝑛 = 2 −2 1

6 Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 :
𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 4 3 −2 ; 𝑔 2 : 𝑥 = 2 3 −1 +𝑡 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣ Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : ∣ 𝑛 ∣= − =3 ⇒ 𝑛 0 = 𝑛 ∣ 𝑛 ∣ = −2 1 Folglich ergibt sich der Abstand der beiden Geraden zu: 𝑑= − −1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 − = −2 1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 −2 1 = = 9 3 =3

7 Aufgabe Gegeben seien die beiden Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 mit 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 4 2 −1 ; 𝑔 2 : 𝑥 = −2 2 −0,5 +𝑡 2 −1 2,5 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gesucht ist der Abstand zwischen 𝑔 1 und 𝑔 2 .

8 𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 −1 𝑔 2 : 𝑥 = − −0,5 +𝑡 −1 2,5 Lösung Wir berechnen zunächst 𝑛 mit dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: − − −1 2, −1 2, 𝑛 = 𝑢 × 𝑣 = −2 −4 − = −12 −8 Wir teilen noch durch 4 und erhalten: 𝑛 = −3 −2

9 Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 :
𝑔 1 : 𝑥 = 𝑠 −1 ; 𝑔 2 : 𝑥 = − −0,5 +𝑡 −1 2,5 ; 𝑛 = −3 −2 𝑑= ∣ 𝑞 − 𝑝 𝑛 0 ∣ Lösung Daraus ergibt sich 𝑛 0 : ∣ 𝑛 ∣= − −2 2 = 14 ⇒ 𝑛 0 = 𝑛 ∣ 𝑛 ∣ = −3 −2 Folglich ergibt sich der Abstand der beiden Geraden zu: 𝑑= − −0,5 − ⋅ −3 −2 = −4 −1 −1,5 ⋅ −3 −2 = − = ≈0,53