Schnitt von Gerade und Ebene

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1 Schnitt von Gerade und Ebene
Schneidet eine Gerade eine Ebene, so nennt man den Schnittpunkt auch den Durchstoßpunkt. Liegen Gerade und Ebene in Parameterform vor, so bestimmt man den Schnittpunkt wie folgt: Gleichsetzen der Parametergleichungen liefert ein LGS. Lösen des LGS liefert einen Widerspruch, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Interpretation der Lösung des LGS liefert das Ergebnis 𝒙 𝟑 𝑔 𝑆 𝐸 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏

2 Interpretation des LGS
Widerspruch ⇒ Es gibt keinen Schnittpunkt, d.h. die Gerade verläuft parallel zur Ebene Genau eine Lösung ⇒ Es gibt genau einen Schnittpunkt Unendlich viele Lösungen ⇒ Die Gerade liegt vollständig in der Ebene.

3 Rechenbeispiel 1 Gegeben seien die Gerade 𝑔 und die Ebene 𝐸 mit 𝑔: 𝑥 = 𝑟 3 −1 −2 ; 𝐸: 𝑥 = − 𝑠 𝑡 −2 1 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt von 𝑔 mit 𝐸.

4 Lösung Gleichsetzen der Parameterformen liefert 𝑟 3 −1 −2 = − 𝑠 𝑡 −2 1 1 Wir bringen alle Vektoren mit Parameter auf die rechte Seite und alle Vektoren ohne Parameter auf die linke Seite: =𝑠 𝑡 −2 1 1 −𝑟 3 −1 −2

5 =𝑠 𝑡 − −𝑟 −1 −2 𝑔: 𝑥 = 𝑟 −1 −2 Lösung Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem: 𝐼. 4𝑠−2𝑡−3𝑟=8 𝐼𝐼. 5𝑠+𝑡+𝑟 =4 𝐼𝐼𝐼. 3𝑠+𝑡+2𝑟 =0 Mit dem GTR erhalten Sie die Lösung 𝑠=1, 𝑡=1 und 𝑟=−2. Einsetzen von 𝑟=−2 in 𝑔 liefert nun den Schnittpunkt: 𝑥 = −2 3 −1 −2 = ⇒ 𝑃 1|9|6

6 Rechenbeispiel 2 Gegeben seien die Gerade 𝑔 und die Ebene 𝐸 mit 𝑔: 𝑥 = 𝑟 ; 𝐸: 𝑥 = 𝑠 𝑡 Bestimmen Sie den Schnittpunkt von 𝑔 mit 𝐸.

7 Lösung Gleichsetzen der Parameterformen liefert 𝑟 = 𝑠 𝑡 Wieder bringen wir alle Vektoren mit Parameter auf die rechte und alle Vektoren ohne Parameter auf die linke Seite: 0 −5 4 =𝑠 𝑡 −𝑟 4 7 8

8 0 − =𝑠 𝑡 −𝑟 Lösung Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem: 𝐼. 𝑠+2𝑡−4𝑟 = 0 𝐼𝐼. 2𝑠+3𝑡−𝑟 =−5 𝐼𝐼𝐼. 2𝑠+4𝑡−8𝑟= 4 Wenn Sie dieses LGS mit dem GTR lösen, erhalten Sie einen Widerspruch! Das bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt von 𝑔 mit 𝐸 gibt. Ergebnis: Die Gerade 𝑔 verläuft parallel zur Ebene 𝐸. 

9 Parameter- und Koordinatenform
Falls die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform vorliegt, so setzt man die Gerade in die Ebene ein, bestimmt den Parameter und damit den Schnittpunkt. Wie das genau vor sich geht zeigt das nachfolgende Rechenbeispiel.

10 Rechenbeispiel Gegeben sei die Gerade 𝑔: 𝑥 = 𝑡 −4 3 0 und die Ebene 𝐸:− 4𝑥 1 +3 𝑥 2 =1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt 𝑆 von 𝑔 mit 𝐸.

11 Lösung Durch Einsetzen von 𝑔 in 𝐸 bestimmen wir den Schnittpunkt 𝑆.
𝑔: 𝑥 = 𝑡 −4 3 0 𝐸: −4𝑥 1 +3 𝑥 2 =1 Lösung Durch Einsetzen von 𝑔 in 𝐸 bestimmen wir den Schnittpunkt 𝑆. −4 1−4𝑡 𝑡 =1 ⇒ 25𝑡=−25 ⇒ 𝑡=−1 Einsetzen in 𝑔 liefert 𝑥 = −1 − = Somit ist 𝑆(5|7|1) der Schnittpunkt von 𝑔 mit 𝐸.