Berechnung des Fixvektors stabile Verteilung

Präsentation zum Thema: "Berechnung des Fixvektors stabile Verteilung"—  Präsentation transkript:

1 Berechnung des Fixvektors stabile Verteilung

2 Einführungsbeispiel Das Veränderungsverhalten zwischen den Zuständen A, B und C zeigt die folgende Tabelle: Bestimmen Sie die Grenzverteilung (Fixvektor)! von nach A B C 0,2 0,4 0,32 0,15 0,5 0,11 0,65 0,1 0,57

3 Grenzverteilungen Mathematisch gesucht: Grenzverteilung 𝑔 (Fixvektor)
0,2 0,4 0,32 0,15 0,5 0,11 0,65 0,1 0,57 ∙ 𝑥 𝑦 𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧  0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧 = 𝑥 𝑦 𝑧  0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧=𝑧 U ∙ 𝑔 = 𝑔

4 Lösen des Gleichungssystems
0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧=𝑧 −𝑥 −𝑦 −𝑧 −40∙𝑥+20∙𝑦+16∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 130∙𝑥+20∙𝑦−86∙𝑧=0 I+II II II+III −4624∙𝑥+2774,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 4624∙𝑥−2774,4∙𝑧=0 −0,8∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=0 0,15∙𝑥−0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=0 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦−0,43∙𝑧=0 ∙50 ∙40 ∙200 −34∙𝑥+20,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 136∙𝑥−81,6∙𝑧=0 ∙136 II ∙34 0=0 21∙𝑥−30∙𝑦+18∙𝑧=0 4624∙𝑥−2774,4∙𝑧=0 Es gibt unendlich viele Lösungen!

5 Berechnung 1 => 0,6𝑧 0,4𝑧 𝑧 sind die Lösungen
0=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 4624∙𝑥−2774,4∙𝑧=0 0=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 𝑥= 2774, 𝑧=0,6𝑧 0=0 6∙0,6𝑧−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 𝑥=0,6𝑧 0=0 𝑦=0,4𝑧 𝑥=0,6𝑧 => 0,6𝑧 0,4𝑧 𝑧 sind die Lösungen aber es gilt noch: x+y+z=1, also: 0,6z+0,4z + z = 1 2z = 1  z =0,5 ⇒ 0,6∙0,5 0,4∙0,5 0,5 = 0,3 0,2 0,5 Die stabile Verteilung lautet 𝒈 = 0,3 0,2 0,5 ! 3,6z −20y+4,4z = 0 8z = 20y

6 Berechnung 2 Wenn man weiß, dass es eine stabile Verteilung ist, dann ersetzt man sofort eine Gleichung durch x + y + z = 1! 0,2∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=𝑥 0,15∙𝑥+0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=𝑦 0,65∙𝑥+0,1∙𝑦+0,57∙𝑧=𝑧 −x −y III −0,8∙𝑥+0,4∙𝑦+0,32∙𝑧=0 0,15∙𝑥−0,5∙𝑦+0,11∙𝑧=0 𝑥+𝑦+𝑧=1 ∙50 ∙40 ∙20 −40∙𝑥+20∙𝑦+16∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 20𝑥+20∙𝑦+20∙𝑧=20 I+II II II+III −34𝑥+20,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 26∙𝑥+24,4∙𝑧=20 ∙26 II ∙34 −884𝑥+530,4∙𝑧=0 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+829,6∙𝑧=680 I+III II III 1360∙𝑧=680 6∙𝑥−20∙𝑦+4,4∙𝑧=0 884∙𝑥+1224∙𝑧=680  𝑥=0,3 𝑦=0,2 𝑧=0,5 d.h. die Grenzverteilung ist: 0,3 0,2 0,5 x + y + z =1