Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten berechnen

Präsentation zum Thema: "Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten berechnen"—  Präsentation transkript:

1 Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten berechnen

2 Definition der Bernoulli-Formel und Beispiel
In einer Urne liegen 2 rote und 6 blaue Kugeln. Die Kugeln werden nach dem Ziehen wieder zurückgelegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5maligem Ziehen 2 rote Kugeln zu erhalten? p(rot) = =0,25 B5;0,25(2) = ∙ 0,25 2 ∙ 0,75 5−2 = 5∙4∙3∙2∙1 (2∙1)∙(3∙2∙1) ∙ 0,25 2 ∙ 0,75 3 = 5∙4 2 ∙ 0,25 2 ∙ 0,75 3 ≈ 0,2637 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 26,37% zieht man 2 rote Kugeln. Bei einer Bernoulli-Kette mit der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p ist die Wahrscheinlichkeit für r Treffer: Bn;p(r) = 𝑛 𝑟 ∙ 𝑝 𝑟 ∙ (1−𝑝) 𝑛−𝑟 mit 𝑛 𝑟 = 𝑛! 𝑘! ∙ 𝑛−𝑘 ! und n! = n ∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙ … ∙2∙1

3 Definition der Binomialverteilung und Beispiel
Eine durch die Zuordnung r → Bn;p(r) mit r ∈ ℕ 𝑢𝑛𝑑 0 ≤𝑟≤ n definierte Funktion heißt Binomialverteilung. Eigentlich hat man ja nur einzelne Punkte, aber man kann die Funktion durch ein Histogramm zeichnen; dabei wählt man Rechtecke der Länge 1; die Höhe gibt die Wahrscheinlichkeit an: *geogebra In einer Urne liegen 2 rote und 6 blaue Kugeln. Die Kugeln werden nach dem Ziehen wieder zurückgelegt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei 5maligem Ziehen r rote Kugeln zu erhalten? (0≤𝑟≤5) Wir haben schon errechnet: B5;0,25(2) ≈ 0,2637 Analog rechnet man: B5;0,25(0) ≈ 0,2373 B5;0,25(1) ≈ 0, B5;0,25(3) ≈ 0,0879 B5;0,25(4) ≈ 0, B5;0,25(5) ≈ 0,001 r B5;0,25(r) 0,2373 1 0,3955 2 0,2637 3 0,0879 4 0,0146 5 0,001