Einführung in die e-Funktion

Präsentation zum Thema: "Einführung in die e-Funktion"—  Präsentation transkript:

1 Einführung in die e-Funktion
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2 Problemstellung Gesucht ist eine exponentielle Funktion, deren Ableitung sich nicht verändert! Also: Gesucht ist die Ableitung von f(x) = ax, sodass gilt: f´(x) = ax a >0, a≠1!

3 Erstellung der Ableitung von 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥
f´(x) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥+ℎ − 𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 ℎ − 𝑎 𝑥 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑎 𝑥 ∙ (𝑎 ℎ −1) ℎ = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ da 𝑎 𝑥 kein h enthält, kann man es vorziehen Wenn man will, dass f‘(x) = 𝑎 𝑥 ist, so muss 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ = 1 sein!

4 Berechnung von 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ
𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑎 ℎ −1) ℎ = 1  𝑎 ℎ −1 ℎ → 1 für h →0  ah−1 → h für h →0  ah → h+1 für h →0  a → ℎ ℎ für h →0 Nun setzt man n = 1 ℎ , d.h. h = 1 𝑛 !  a → 1 𝑛 +1 𝑛 für n →∞

5 Untersuchung von 1 𝑛 +1 𝑛 1 𝑛 +1 𝑛 für n →∞ Berechnung der Werte:
Man erkennt, dass sich der Grenz- wert der Zahl 2,71…. nähert! n (1+ 1 𝑛 )n 1 2 2,25 3 2,3703 4 2,4414 5 2,4883 6 2,5216 7 8 2,5657 9 2,5811 10 2,5937 15 2,6328 20 2,6532 100 2,7048 150 2,7092 200 2,7115 500 2,7156 1000 2,7169 → e

6 Die Euler‘sche Zahl Wenn man weiter rechnet, erhält man die Zahl 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑛 +1 𝑛 = e mit: : Quelle: Wikipedia

7 Zusammenfassung Die Funktion, deren Ableitung gleich bleibt, ist: f(x) = 𝑒 𝑥 mit f‘(x) = 𝑒 𝑥 e ist eine unendliche Zahl mit e ≈2,7812