ПЕРИОД САВРЕМЕНЕ МАТЕМАТИКЕ

Präsentation zum Thema: "ПЕРИОД САВРЕМЕНЕ МАТЕМАТИКЕ"—  Präsentation transkript:

1 ПЕРИОД САВРЕМЕНЕ МАТЕМАТИКЕ

2 НАСТАНАК САВРЕМЕНЕ ГЕОМЕТРИЈЕ

3 Појава нееуклидских геометрија
Еуклидов пети постулат: Ако једна права у пресеку са другим двема образује са исте стране два унутрашња угла чији је збир мањи од два права угла, те две праве, бескрајно продужене, сећи ће се и то са оне стране са које су ови углови мањи од два права угла. Плејферова аксиома: Кроз тачку ван праве постоји само једна права паралелна с том правом.

4 Појава нееуклидских геометрија
покушаји доказивања Еуклидовог петог постулата из осталих аксиома еуклидске геометрије Контрапозиција петог постулата

5 Појава нееуклидских геометрија
ал-Хаjтам – Alhazen (al-Haytham, 965–1040) – покушавајући да докаже пети постулат први је дошао до оног што се данас зове Ламбертов четвороугао Johann Heinrich Lambert (1728–1777), швајцарски математичар то је четвороугао у коме су три унутрашња угла права, а ал-Хајтам је разматрао све три могуће варијанте за четврти угао ал-Хајтамове теореме које се тичу тог четвороугла су прве теореме елиптичке геометрије и хиперболичке геометрије

6 Појава нееуклидских геометрија
Омар Хајам (Omar Khayyám, 1048–1122) – написао дело «Објашњење потешкоћа у Еуклидовим постулатима» први покушао да формулише нееуклидски постулат, као алтернативу постулату о паралелности Хајамови четвороуглови

7 Појава нееуклидских геометрија
Хајамови чeтвороуглови су у Европи познати као Сакеријеви четвороуглови Ђовани Сакери (Giovanni Girolamo Saccheri, –1733) – „Euclides ab Omni Naevo Vindicatus“ (Еуклид ослобођен од свих грешака, 1733) за разлику од Хајама одбацио неуклидске могућности Насир ал-Дин ал-Туси (1201–1274) – такође зачеци елиптичке геометрије

8 Појава нееуклидских геометрија
резултати поменутих математичара довели су до размишљања о алтернативним геометријама добијеним варирањем петог постулата, односно Плејферове аксиоме три могућности за број правих кроз дату тачку паралелних са датом правом три могуће верзије Петог постулата – три могуће геометрије хиперболичка еуклидска елиптичка две и више тачно једна ниједна правих права права

9 Појава нееуклидских геометрија
први „западни“ резултати нееуклидских геометрија (необјављени) Carl Friedrich Gauss (1777–1855) – око 1813 Ferdinand Karl Schweikart (1780–1857) око 1818 Гаус је имао резултате који се тичу елиптичке геометрије – геометрије на сфери пошто су нееуклидски резултати у то време изгледали веома ради-кално, Гаус није имао храбрости да их објави (да не би угрозио своју научничку репутацију) први резултати нееуклидских геометрија јавно су саопштени / објављени тек око године, а објавили су их Николај Иванович Лобачевски – године расправља о нееуклид- ским геометријама а резултате о хиперболичкој геометрији објављује године Јанош Бољаи – у периоду од до године припремио је комплетну расправу о нееуклидском геометријама, коју је објавио године

10 Реакције на нееуклидске геометрије
реакције великог броја математичара на појаву нееуклидских геомет- рија биле су негативне за еуклидску геометрију многи су мислили да осликава законе реалног простора, па су сматрали да другачије геометрије нису могуће сматрали су да би радови о нееуклидским геометријама морали да са- држе неке противречности, и покушавали су да их нађу такви покушаји су пропали када су негде у другој половини 19. века пронађени модели нееуклидских геометрија ти модели су урађени у оквиру еуклидске геометрије, што би значило да уколико су нееуклидске геометрије противречне, онда би таква била и еуклидска геометрија касније је Ајнштајн у својој теорији релативности показао да је реални простор нееуклидски, да је у неком смислу елиптички (простор је не- равномерно закривљен и коначан, глобално је позитивно закривљен)

11 Модели нееуклидских геометрија
Поенкареов модел горње полуравни за хиперболичку геометрију могући однос двеју правих у овом моделу

12 Модели нееуклидских геометрија
Поенкареов диск модел хиперболичке геометрије могући однос двеју правих у овом моделу

13 Модели нееуклидских геометрија
Модел хемисфере за хиперболичку геометрију могући однос двеју правих у овом моделу

14 Модели нееуклидских геометрија
Клајнов модел хиперболичке геометрије негде се ово зове и Клајн-Белтрамијев модел

15 Модели нееуклидских геометрија
Белтрамијев модел нееуклидских геометрија – геометрија на површима зависно од закривљености површи добијају се хиперболичка геометрија – на површима негативне закривљености елиптичка геометрија – на површима позитивне закривљености еуклидска геометрија – на површима закривљености 0 – на површима негативне закривљености

16 Хиперболичка геометрија
троугао и паралелне праве на хиперболичком параболоиду паралелне праве у хиперболичкој геометрији

17 Елиптичка геометрија Риманов сферни модел елиптичке геометрије
На сфери, „праве“ су велике кружнице сфере (кружнице са центром у центру сфере), и збир углова троугла није једнак 180°. Површина сфере није еуклидски простор, али локално, закони еуклид- ске геометрије су довољно добра апроксимација.

18 Карл Фридрих Гаус (1777–1855) Carl Friedrich Gauss – немачки математичар, меха- ничар, физичар и астроном професор Универзитета у Гетингену један од највећих математичара свих времена у математици се бавио алгебром, теоријом броје- ва, диференцијалном и нееуклидским геометри- јама, математичком, нумеричком и комплексном анализом, теоријом вероватноће... бавио се и аналитичком и небеском механиком, астрономијом, геодезијом, физиком, оптиком, магнетизмом, електростатиком... Гаус је био “чудо од детета”, а прве научне резултате направио је још као тинејџер 1796. годинa, када је имао само 19 година, је најпродуктивнија го- дина како за њега, тако и за теорију бројева

19 Карл Фридрих Гаус 1796. године је доказао да
сваки правилни полигон чији број страна је Фермаов прост број или производ различитих Фермаових простих бројева и степена броја 2 може бити конструисан лењиром и шестаром Фармаов број је број облика 𝐹 𝑛 = 2 ( 2 𝑛 ) +1, 𝑛=0, 1, 2, 3,… Фермаов прост број је Фермаов број који је прост до овог тренутка, једини познати Фермаови прости бројеви су 𝐹 0 =3, 𝐹 1 =5, 𝐹 2 =17, 𝐹 3 =257, 𝐹 4 =65537. Гаус је и конструисао правилни полигон са 17 страна (хептадекагон)

20 Карл Фридрих Гаус исте године Гаус је увео појам конгруенције по модулу броја и покренуо развој модуларне аритметике те године је доказао и закон квадратног реципроцитета, који одре- ђује потребан и довољан услов за решивост квадратних једначина по модулу простог броја ( 𝑥 2 ≡𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑝)) 𝑝 𝑞 𝑞 𝑝 = (−1) 𝑝−1 2 𝑞−1 2 где су 𝑝≠2 и 𝑞≠2 прости бројеви и 𝑝 𝑞 означава Лежандров симбол: 𝑎 𝑝 = 0 ако 𝑝 дели 𝑎 ако је 𝑎 квадратни остатак по модулу 𝑝 −1 ако 𝑎 није квадратни остатак по модулу 𝑝 где је 𝑎 цео број а 𝑝≠2 је прост број 𝑎 је квадратни остатак по модулу 𝑝 ако је квадратна једначина 𝑥 2 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) решива по 𝑥 .

21 Карл Фридрих Гаус такође, године Гаус је доказао и теорему о простим бројевима која описује асимптотску расподелу простих бројева међу природним бројевима и формализује интуитивну идеју да прости бројеви постају ређи како постају већи 𝜋(𝑛)~ 𝑛 ln 𝑛 где 𝜋(𝑛) означава број простих бројева мањих од или једнаких 𝑛 . еквивалентна формулација описује 𝑘-ти прост број 𝑝 𝑘 : 𝑝 𝑘 ~𝑘 ln 𝑘 доказао је и да се сваки природан број може изразити као збир три троугаона броја троугаони бројеви 𝑇 𝑛 =1+2+⋯+𝑛= 𝑛 𝑛+1 2 = 𝑛+1 2

22 Карл Фридрих Гаус у својој докторској дисертацији, године, Гаус је доказао Основну теорему алгебре, која каже да сваки полином 𝑛 -тог степена са ком- плексним коефицијентима има 𝑛 корена (рачунајући и вишеструке) Гаус је исправљао погрешан доказ д'Аламбера, али је и његов доказ имао известан недостатак који је исправио Александар Островски, године Гаус је касније дао још три доказа, од којих је доказ из године сас- вим коректан 1801. године Гаус је објавио књигу Disquisitiones Arithmeticae (Арит- метичка истраживања), где су јасно и систематски изложени његови напред поменути резултати из теорије бројева сматра се да су том књигом постављене основе савремене теорије бројева

23 Карл Фридрих Гаус 1807. године је постављен за професора астрономије и директора астро- номске опсерваторије у Гетингену, и на том месту је био до краја живота Гаус је тврдио да је око године открио могућност постојања нееуклидских геометрија, али то никада није публиковао бавио се и диференцијалном геометријом, где је увео појам који се данас назива Гаусовом кривином 1828. године је доказао тзв. Изузетну теорему према којој се кривина површи може одредити мерењем углова и растојања на површи други важни математички појмови који носе његово име: Гаусов елиминациони поступак у линеарној алгебри Гаусове квадратурне формуле у нумеричкој анализи Гаусова расподела у теорији вероватноће

24 Николај Иванович Лобачевски (1792–1856)
Никола́й Ива́нович Лобаче́вский – руски мате- матичар професор и ректор Универзитета у Казању, Русија у својој књизи Геометрија из године он сис- тематски проучава последице постојања геомет-рије без еуклидовог петог постулата прво објављено дело у коме је целокупна теорија представљена је његов рад објављен у Казањском гласнику године ова публикација је била локалног карактера, а Руска академија наука није желела објавити рад, то је овај рад остао непознат све до објављивања у Паризу године за живота је био непознат и непризнат чак и у својој домовини (пре свега захваљујући Остроградском и Лежандру) једини који је обратио пажњу на његово епохално дело био је Гаус, који је најзаслужнији за каснију афирмацију његовог дела

25 Јанош Бољаи (1802–1860) János Bolyai – мађарски математичар
отац Фаркаш Бољаи (Farkas Bolyai), математичар и најбољи пријатељ Гауса, такође се бавио аксиомом паралелности у периоду од до године припремио је комп- летну расправу о нееуклидском геометријама, коју је објавио године као додатак књиге његовог оца када је то видео Гаус је написао Фаркашу Бољаиу да „хвалити то је као да хвалим себе“, тврдећи да је и сам, пре Јаноша, дошао до истих резултата Јанош Бољаи је био јако разочаран тим коментаром Гауса, гледајући на то као на крађу својих идеја због тога више ништа није објављивао, иако је након његове смрти остало страна необјављених математичких рукописа тек године Јанош Бољаи је открио да је Лобачевски објавио сличне резултате пре њега, године

26 Бернхард Риман (1826–1866) Georg Friedrich Bernhard Riemann – немачки математичар почео је да студира филолологију и теологију, али су Гаусова предавања утицала да пређе на математику 1851. године одбранио је дисертацију под нази-вом «Основе теорије функција комплексне променљи- ве», где је по први пут уведен појам касније познат као Риманова површ да би добио професорску позицију на Универзитету у Гетингену, морао је да спреми и пред Гаусом и другим професорима одбрани рад «О хи- потезама које леже у основи геометрије» у том раду постављене су основе Риманове геометрије, која је даље послужила као математичка основа Ајнштајнове теорије релативности ту је развио и своју теорију виших димензија

27 Бернхард Риман Риман је проширио диференцијалну геометрију површина са две на 𝒏 димензија његова идеја је била да уведе колекцију бројева за сваку тачку у прос- тору која ће моћи да опише колико много је простор савијен или закривљен. у случају простора са четири димензије он налази да је потребна ко- лекција од десет бројева за сваку тачку простора да би се описала својства многострукости, без обзира колико је она закривљена. то је чувени Риманов тензор кривине многострукост се може схватити као апстрактан математички прос- тор у коме свака тачка има околину која подсећа на еуклидски прос- тор, али чија глобална структура може бити знатно компликованија.

28 Бернхард Риман у области реалне анализе открио је оно што данас називамо Риманов интеграл доказао је и да је свака део-по-део непрекидна функција интеграбилна један је од аутора онога што се понегде назива Стилтјесов интеграл, а негде и Риман-Стилтјесов интеграл у аналитичкој теорији бројева овео је појам који називамо Риманова зета функција и формулисао чувену Риманову хипотезу значајне резултате је имао и у комплексној анализи 1859. године постао је члан Берлинске академије наука умро је са само 40 година од туберкулозе

29 Анри Поенкаре (1854–1912) Jules Henri Poincaré – француски математичар, механичар, физичар, астроном и филозоф науке развио је теорију аутоморфних функција и истра- живао диференцијалне једначине посебно су важни његови радови на подручју топо- логије и његова интерпретација геометрије Лоба- чевског-Бољаија у математичкој физици је проучавао теорију осци- лација тродимензионалног континуума бавио се и проблемима топлотне проводности, те теоријом електро- магнетских осцилација у свом делу "О динамици електрона" антиципирао је специјалну теорију релативности изучавајући тзв. проблем три тела открио је хаотични детерминис- тички систем, што је довело до заснивања модерне теорије хаоса

30 Анри Поенкаре формулисао је тзв. Поенкареову хипотезу, која је представљала један од најчувенијих нерешивих математичких проблема све док није ре- шена године Поенкаре је иницирао примену теорије група у физици, и први се бавио групом Лоренцових трансформација Лоренцова група је подгрупа група изометрија која се назива Поенка- реовом групом дао је велики допринос развоју дискретних група и њихових репре- зентација његова геометријска истраживања довела су до апстрактних топо- лошких дефиниција хомотопије и хомологије и развоја алгебарске топологије Поенкаре је био један од највећих математичара свог времена и веро- ватно последњи који је владао свим математичким областима

31 Феликс Клајн (1849–1925) Christian Felix Klein – немачки математичар
познат је по свом раду на теорији група, комплек- сној анализи, нееуклидској геометрији и на пове- зивању геометрије са теоријом група у раду „О такозваној нееуклидској геометрији“, који је објавио год., доказао је да еуклидска и нееуклидска геометрија могу да се схвате као специјални случајеви пројективних површина са придруженим специфичним конусним пресецима тиме је показао да је нееуклидска геометрија конзистентна и непро- тивречна само ако и Еуклидска геометрија то јесте то је поставило еуклидску и нееуклидску геометрију на исту основу, и окончало све недоумице око нееуклидске геометрије

32 Феликс Клајн 1872. године постављен је за професора Универзитета у Ерлангену том приликом одржао је приступно предавање у коме је изнео своју визију даљег развоја геометрије то предавање је данас познато као Ерлангенски програм Клајн каже: "Најосновнији појам неопходан за даље излагање је појам групе просторних трансфор- мација...Постоје такве просторне трансформације које уопште не мењају геометријске особине просторних ликова. Геометријске особине, по самој дефиницији, не зависе од по- ложаја у простору који заузима проучавани лик, од његове апсолутне величине и на крају од оријентације распореда његових делова. Особине просторног лика не мењају се прос- торним кретањем, пресликавањем (у огледалу) и свим другим трансформацијама које се из њих могу саставити. Скуп свих трансформација називамо главном групом просторних трансформација; геометријске особине не зависе од трансформација из главне групе и, обрнуто, могло би се рећи да се геометријске особине управо и карактеришу њиховом непроменљивошћу (инваријантношћу) у односу на трансформације главне групе.«

33 Феликс Клајн другим речима, суштинске особине дате геометрије могу да се пред- ставе помоћу група трансформација које очувавају те особине тиме је Клајн иницирао повезивање геометрије са теоријом група, односно изучавање геометрије посредством теорије група у оквиру Клајнове школе поље примене теорије група је потом проши- рено и на физику и сам назив за алгебарски појам групе проистиче из те Клајнове визије Клајн под појмом групе ипак није подразумевао оно што данас у алгеб- ри зовемо групом, његов скуп трансформација је у суштини полугрупа на пример, трансформације којима се у физици описују неповратни процеси не чине групу већ полугрупу својства групе потребна су да би релација подударности, која се дефи- нише помоћу датих трансформација, била релација еквиваленције

34 Феликс Клајн Клајн је изумео и неоријентабилну површ познату као Клајнова боца

35 НАСТАНАК САВРЕМЕНЕ АЛГЕБРЕ

36 Нилс Абел (1802–1829) Niels Henrik Abel – норвешки математичар
његов најзначајнији резултат је први потпуни до- каз тврђења да се општа једначина четвртог сте- пена не може решити у радикалима (тј. у терми- нима експлицитних алгебарских операција) тиме је решио проблем који је био отворен више од 250 година овај резултат проширен је и на опште полиномске једначине степена већег од четири независно од Галуа, иницирао је развој теорије група написао је фундамантални рад о елиптичким интегралима којим су постављене основе теорије елиптичких функција умро је од туберкулозе са само 26 година

37 Еварист Галоа (1811–1832) Évariste Galois – француски математичар
Најзначајнији резултат му је одређивање потреб- них и довољних услова под којима се полиноми- јална једначина може решити у радикалима то је поставило основе за теорију група, теорију коначних поља и теорију Галуа његовим именом називају се и везе Галуа у теорији уређених скупова умро је у двобоју са само 20 година

38 Вилијам Хамилтон (1805–1865) William Rowan Hamilton – ирски математичар, физичар и астроном

39 Кватерниони некомутативна алгебарска структура – проширење комплексних бројева облика 𝑞=𝑎+𝑏𝑖+𝑐𝑗+𝑑𝑘, 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ базни елементи: i, j и k са таблицом множења важи 𝑖 2 = 𝑗 2 = 𝑘 2 =𝑖𝑗𝑘=−1 плоча на мосту у Даблину – на месту на коме је Хамилтон изумео кватернионе × 1 i j k −1 −j −k −i

40 Примене кватерниона Хамилтoн – механика у тродимензионалном простору
описивање електричних и магнетних поља Максвеловим једначинама Ротације у 4D-простору

41

42 Огастес де Морган (1806–1871) Augustus De Morgan – британски математичар и логичар

43 Џорџ Бул (1815–1864) George Boole – енглески математичар, логичар и филозоф

44 НАСТАНАК САВРЕМЕНЕ МАТЕМАТИЧКЕ АНАЛИЗЕ

45 Огистен Луј Коши (1789–1857) Augustin Louis Cauchy – француски математичар

46 Карл Вајерштрас (1815–1897) Karl Theodor Wilhelm Weierstrass – немачки математичар

47 ОСНОВЕ МАТЕМАТИКЕ

48 Георг Кантор (1845–1918) Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor – немачки математичар

49 Давид Хилберт (1862–1943) David Hilbert – немачки математичар

50 РАЧУНАРСКЕ НАУКЕ