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Pascalsches Dreieck und binomische Formeln
Bild Parliamo.altervista.org
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Wie berechnet man (x+y)², (x+y)³ etc?
(x+y)² = (x+y) ∙ (x+y) = x² +xy +yx+ y² = x² +2xy + y² (1. binomische Formel) (x+y)³ = (x+y)² ∙ (x+y) = (x² +2xy + y²) ∙ (x+y) = x³ +2x²y+xy² +x²y+2xy²+y³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³ (x+y) 10 = ?
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Das Pascalsche Dreieck
(x+y) 0 =1 (x+y) 1 = 1x+1y (x+y) 𝟐 = 1x² + 2xy + 1y² (x+y) 3 = 1x³ +3x²y + 3xy² + 1y³ (x+y) 4 = 1𝑥 4 +4x³y +6x²y² + 4xy³ + 1𝑦 4 (x+y) 5 = 1𝑥 5 +5 𝑥 4 y+10x³y² +10x²y³ + 5x 𝑦 4 + 1𝑦 5 Der Exponent von x nimmt immer um einen ab, der von y nimmt immer um einen zu. Bei (x−y) wechseln sich die Vorzeichen immer ab, d.h. man fängt mit einem positiven an, dann ein negatives, etc. Also: (x−y) 5 = 𝑥 5 −5 𝑥 4 y +10x³y² − 10x²y³ + 5x 𝑦 4 − 𝑦 5 (d.h. wenn y einen ungeraden Exponenten hat)
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