4. Niedergang und Neubeginn

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1 4. Niedergang und Neubeginn

2 Die Epigonen Glänzende Einzelleistungen, aber keine eigentliche Weiterentwicklung der Mathematik Konchoide des Nikomedes (180 v. Chr.): rote Strecken gleichlang Muschellinie zur Dreiteilung des Winkels und Würfelverdopplung

3 Kissoide des Diokles (180 v. Chr
Kissoide des Diokles (180 v. Chr.): grüne Strecken parallel und im selben Abstand vom Durchmesser. Efeulinie zur Würfelverdopplung Zenodorus (180 v. Chr.): Isoperimetrisches Problem. Von allen Polygonen gleichen Umfangs besitzt das mit der größten Eckenzahl den größten Inhalt (Kreis). Von allen Körpern gleicher Oberfläche besitzt die Kugel das größte Volumen.

4 Claudius Ptolemaios (85 -165) helle Haut kleine Füße schwarzer Bart
rotes Muttermal am Kinn ??? Geozentrisches System Almagest (al megistoV) Claudius Ptolemaios ( ) Terabiblos: Axiomatisierung der Astrologie Erster bekannter Versuch, das Parallelenpostulat zu beweisen.

5 Sehnenrechnung (Vorläufer der Trigonometrie)
Sphärische Trigonometrie am rechtwinkligen Kugeldreieck sin a = sin c * sin a tan a = sin b * tan a cos c = cos a * cos b Kreisteilung: Umfang in 360 Teile, Durchmesser in 120 Teile 60 partes minutae primae und 60 partes minutae secundae p = 3o8'30'' = 3,

6 Heron von Alexandria 100 v. Chr. oder 100 n. Chr ???
Enzyklopädie der praktischen Mathematik und Technik Flächen- und Volumenberechnungen aller Art, geradlinig und krummlinig begrenzte Körper. Flächen in Dreiecke zerlegen, Heronische Formel anwenden. Ganz unregelmäßige Körper tauchen oder in Wachs einhüllen. Praktische Anleitung zum Wurzelziehen. Wieviele Personen passen in ein Theater gegebener Größe? Erste Verteilungsaufgabe: Zisterne wird von einer Zuleitung in 1 h gefüllt, von der anderen in 4 h. Wie lange dauert es, wenn beide Zuleitungen in Betrieb sind? (Sinnlose Rechnung und falsche Lösung angegeben.) Fluss F = Z/h + Z/4h = 4Z/4h + Z/4h = 5Z/4h  Z = F*(4/5)h

7 Über Mechanik: Seilwinde, Gleichgewichtslehre Über Geschütze

8 Über Automaten Über Pneumatik: Druckwerke, Heronsball Über Wasseruhren

9 Über Optik, Lichtbrechung und Reflexion

10 Diophant von Alexandria, 3./4. Jhd. n. Chr.
Hochentwickelte Buchstabenrechnung Die Unbekannte heißt schlichtweg Zahl Arithmos (ariJmoV) und wird mit einem V-ähnlichen Zeichen bezeichnet (Zusammenziehung von ar) Dynamis (dunamiV, 2. Potenz), Kubos (kuboV, 3. Potenz) und Vielfache davon werden abgekürzt bezeichnet als x V x2 du x3 ku x4 ddu x5 dku x6 kku Subtraktionszeichen: Gleichheitszeichen i (isoi) Zahlen, Additionszeichen usw. werden aber ausgeschrieben oder abgekürzt. Virtuose ohne Programm Gleichungen der Form: y2 = ax2 + bx + c Nur positive rationale Lösungen werden anerkannt. Drei Zahlen suchen, so daß die Summe von allen dreien und die Summe von je zweien ein Quadrat ist. 80, 320, 41

11 Mathematik der Römer: fast nichts
Übersetzung der Griechen mit mangelhaftem Verständnis. Kalenderreform von Cäsar (45 v. Chr.) war schon 238 v. Chr. in Alexandria verordnet worden. Eine Reichsvermessung wurde von griechischen Gelehrten durchgeführt. Öffentliche Schulen mit besoldeten Lehrern. Signalfeuer mit Fackelstellungen zur Zahlenanzeige. Lehrbuch des Boethius ( )

12 Anthemios von Tralleis
Hagia Sophia 533 – 537 Gärtnerkonstruktion der Ellipse

13 (p/4)  7/8 + 1/(829) - (1/6 - 1/48)/(829) {5, 12, 13}
Mathematik der Inder (ab 1000 v. Chr.) Gegenseitige Befruchtung mit europäischer Mathematik. Geometrie übernommen. Algebra und Arithmetik weiterentwickelt: reine Symbolschreibweise, teilweise Farbbezeichnungen, poetische Einkleidung. 2  1 + 1/3 + 1/(34) - 1/(23417) (p/4)  7/8 + 1/(829) - (1/6 - 1/48)/(829) {5, 12, 13}

14 ({[x*3 (7/4) (1/7) (2/3)]2 – 52}1/2 + 8)/10 = 2
Schönes Mädchen mit den glitzernden Augen sage mir, so du die richtige Kunst der Umkehrung verstehst, welches ist die Zahl, die mit 3 vervielfacht, sodann um ¾ des Produktes vermehrt, durch 7 geteilt um 1/3 des Quotienten vermindert, mit sich selbst vervielfacht, um 52 vermindert, durch Ausziehung der Quadratwurzel, Addition von 8 und Division durch 10 die Zahl 2 hervorbringt. ({[x*3 (7/4) (1/7) (2/3)]2 – 52}1/2 + 8)/10 = 2 x = {(2*10 – 8)2 + 52}1/2 (3/2) 7 (4/7) (1/3) = 28 Rechnen mit negativen Zahlen: 3 + 6‘ + 7 = 4 (allerdings nicht im Ergebnis oder als Wurzel). Damit nur noch eine Form der quadratischen Gleichung: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, ax2 + c = bx Zahlzeichen, Stellenwertsystem mit Null ca. 500 n. Chr. a/0  

15 Mathematik der Araber Rettung der griechischen Literatur durch Übersetzungen Vermittlung der indischen Ziffern mit Null: Das Leere = as sifr Ausbildung der Trigonometrie Gleichungen 4. Grades Größter arabischer Mathematiker: Muhammed ibn Musa Alchwarizmi (8/9. Jhd.) Aus Ostpersien: Khorassan Lehrbuch über die Grundrechnungsarten: Algoritmi dicit... Aldschebr: die Wiederherstellung, Einrichtung (von Gleichungen) Wortalgebra, 6 Arten von quadratischen Gleichungen.

16 Klostergelehrsamkeit des Mittelalters: fast nichts Alcuin 735 – 804
153 Fische gingen Petrus ins Netz, da 153 = 3*3*17 = = 3*(50 + 1) 6 Schöpfungstage (vollkommene Zahl) Wolf, Ziege, Kohlkopf Hase springt 7 Fuß, Hund springt 9 Fuß, Hase ist 150 Fuß voraus: wieviel Sprünge braucht der Hund, um den Hasen einzuholen? Magische Quadrate p = 4 Berechnung der Kirchenfeste Erste Schulpflicht 801 Gemeinsame Sprache: Latein Gemeinsame Zahlen: I, II, III, IV, … Kopfrechnenen und Fingerrechnen bevorzugt, da die römischen Zahlen zu umständlich.

17 Araber Algebra und Arithmetik des Abdallah Mohammed ben Musa, welcher zu Anfang des 9. Jahrhunderts am Hofe des Khalifen AI Mamum lebte. Mohammed ben Musa war in Kharizim geboren und führte den Beinamen Alkharezmi. Algorithmus oder Algorismus erste arabische Benutzung der Null der Inder Im 10 Jahrhundert 14 maurische Universitäten in Spanien Koranschulen für Rechtgläubige

18 Pisa, Genua, Venedig: verfeindete Handelsstädte
Päpste und Kaiser in ständig wechselnder Konstellation 1220 Friedrich II. gekrönt 1224 Universität Neapel gegründet 1227 gebannt 1228 Kreuzzug (Jerusalem für 10 Jahre kampflos) 1230 gelöst 1239 gebannt 1241 Prälatenschiff gekapert Rom erobert, Papst tot 1250 gestorben

19 Leonardo von Pisa Fibonacci
Sohn eines pisaner Konsularbeamten mit Spitznamen Bonaccio (Gutchen) Unterricht in Pisa nach den Zahlzeichen der Inder Spitzname: bigollone (Faulenzer) Handelsreisen nach Ägypten, Syrien, Griechenland, Sizilien, Provence Leonardo von Pisa Fibonacci ( ) Negative Zahlen: Schulden 1325 ältester Wechsel: Mailand, zahlbar in 8 Monaten in Lucca

20 Später am Hofe von Friedrich II. in Palermo
Schaurechnen: Lösung von x3 + 2x2 + 10x = 20 1o22'7''42'''33''''4'''''40'''''' = 1, Mathematica-Lösung: 1, Erste rekurrente Folge: Wieviel Paare von Kaninchen entstehen, wenn jedes Paar allmonatlich ein neues Paar zeugt, das vom zweiten Monat an zeugungsfähig ist? Ohne Todesfälle. an+1 = an + an-1 für n  1 mit a0 = a1 = 1 Paare: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

21 1202 und 1228: Liber abaci von über 450 Seiten:
Zahlenschreiben: Stellenwertsystem mit Null Fingerrechnen, Grundrechenarten, Proben Primzahlen von 11 bis 97 Faktorzerlegungen Bruchrechnen Handels- und Münzrechnung Dreisatz Folgen (Kaninchen, Schachbrett) Prinzip des falschen Ansatzes Quadrat- und Kubikwurzeln Geometrie und Algebra

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23 Aus Klosterschulen und durch kaiserliche Gründungen bilden sich Universitäten: Salerno, Paris, Bologna

24 Baccalaureus, Licentiat, Magister, später Doctor
Trivium: Grammatik, Rhetorik, Dialektik Quadrivium: Arithmetik, Geometrie, Musik, Astronomie Vorlesungen: Algorismus: 3 Wochen, 8 Heller Weltkugel: 6 Wochen, 1 Groschen Euklid Buch: ½ Jahr, 8 Groschen Almagest: 1 Jahr, 1 Gulden Baccalaureus: teilweise ganz ohne Mathematik, teilweise Sphäre, Algorismus, Euklid 1. Buch Licentiat: Euklid Buch, Planetentheorie, Perspektive, irgendein Buch über Musik, irgendein Buch über Arithmetik. Disputation über philosophische Fragen complete et sine dolo (ohne Trug, durch Eidschwur) nachweisen, daß die mathematischen Bücher vollständig gehört wurden.

25 Nicole von Oresme ( ) College de Navarre in Paris: Schüler, Lehrer, Vorsteher 1377 Bischof von Lisieux verwarf bereits das ptolemäische Weltbild, lehrte die Umdrehung der Erde, stellte Fallgesetze auf; erste Ansätze zur analytischen Geometrie und zum Begriff der Funktion; stellte Überlegungen zur Grenzwertbildung an und erkannte die Divergenz der harmonischen Reihe

26 Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82  8 = 43/2

27 Bamberger Rechenbuch 1483 vom Nürnberger Rechenmeister Ulrich Wagner ? Numerieren Addieren Subtrahieren Multiplizieren Arithmetische und Geometrische Reihe Dividieren Bruchrechnen Dreisatz Geldwechsel Warenrechnung Gesellschaftsrechnung Kaufmännisches Rechnen

28 Johann Widmann von Eger:
1480 in Leipzig immatrikuliert (pauper) 1482 Baccalaureus 1485 Magister (unter Erlassung der Kosten) Vorlesung zum Rechnen auf der Linie

29 1317 Multiplizieren (von unten beginnend nach oben)
Vorlesung zum Rechnen mit Zahlen Multiplizieren (von unten beginnend nach oben) Dividieren (von oben beginnend nach unten) 1317

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31 1486, Leipzig: erste Algebra-Vorlesung in Deutschland:
1489: Auftreten der Zeichen + und -

32 Der Logarithmus Nicolas Chuquet (1445 – 1488) , Baccalaureus der Medizin Arithmetische Reihe: 1, 2, 3, 4, 5, ... , n Geometrische Reihe: q1, q2, q3, q4, q5, ... , qn Jede Zahl der geometrischen Reihe ist Produkt von Vorgängern, deren Ordnungszahlen zu addieren sind. Die Zahl selbst ist die erste Wurzel. Negative Exponenten und Exponent Null: hochgestellte kleine Ziffern

33 Augustinermönch (wie Luther) glühender Anhänger Luthers
Michael Stifel ( ) Augustinermönch (wie Luther) glühender Anhänger Luthers 1522 Flucht aus dem Esslinger Kloster „weil müncherei vor Gott ein greuwel ist“ Unstetes Wanderleben als lutherischer Prediger. 1559 Prof. in Jena Gematrie, Zahlenmystik: Zahl des Tieres (666 = DCLXVI) bedeutet: Papst Leo X. Dagegen: Peter Bungus in einem 700-seitigen Buch: 666 = Martin Luther 3. Okt. 1533, morgens 8 Uhr: Weltuntergang

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35 Jost Bürgi (1552 – 1632) Schweizer Uhrmacher, in Kassel und Prag (dort mit Kepler) Differenzenrechnung, Sinustafel, Logarithmentafel (1620) John Napier (1550 – 1617) Schottischer Laird Regeln für rechtw. sphärisches Dreieck Logarithmentafel (1614) Henry Briggs ( ) Englischer Mathematiker Dekadische Logarithmen

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37 Francois Viète Seigneur de la Bigotière
( ) geboren und gestorben als Katholik, zwischendurch Hugenotte 1572 Bartholomäusnacht: 20000 Hugenotten ermordet Anwalt in Fontenay-le-Comte Parlamentsrat in Rennes und Tours Entschlüsselung des spanischen Geheimcodes (500 Zeichen) größter frz. Mathematiker des 16. Jhds.

38 Francois Viète Seigneur de la Bigotière
( ) Dreiteilung des Winkels nach Archimedes aber unabhängig von diesem. unerschrockener Rechner: Lösung einer Gleichung 45. Grades auf 9 Stellen genau Wurzelsätze des Vieta

39 sin 2a = 2sin a cos a erste unendliche Faktorenfolge (1593): 2/p = cos 90o/2 * cos 90o/4 * cos 90o/8 * ... Symbolische Algebra: Klare Trennung von Arithmetik und Algebra Vokale = Unbekannte, Konsonanten = Konstanten Durchweg + und - verwendet, Bruchstrich, eigenes Wurzelzeichen, eckige und geschweifte Klammern Homogenitätsprinzip: Nur Größen gleicher Art vergleichen (Strecken nicht mit Flächen)

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