Einführung in die KI – Aussagenlogik

Einführung in die KI – Aussagenlogik
Michael Schenke | Einführung in die KI -Aussagenlogik 17/09/18 | Seite 1

2.1 Logiken

Denkmodell Beispiel Logik
Ausgehend von der philosophischen Logik, die weitgehend die Sprache verwendet, um logische Untersuchungen durchzuführen, hat sich im Laufe der Jahrhunderte durch die Arbeiten von Descartes (mathematische Methode), Pascal (Rechenmaschine) und Leibniz, später mit den Arbeiten von George Boole, Gottlob Frege, Auguste de Morgan im 19. Jahrhundert eine mathematische Beschreibungssprache der Logik herausgebildet, die man heute sinnvoll einsetzen kann, um Sprachfragmente oder Handlungsabfolgen auf die ihnen inne wohnende Logik zu untersuchen.

Die erste Logik, die genauer untersucht wurde, war die Aussagenlogik (AL). In erster Annäherung ist eine Aussage ein Sprachfragment von dem man sagen kann, ob es wahr oder falsch ist. Am besten stellt man sich einen einfachen Hauptsatz vor. Schon hier zeigen sich zwei Bestandteile, die in jeder Sprache, und damit in jeder Sprache, vorhanden sein müssen: Syntax und Semantik.

Syntax: Es muß für jede Aussage (jede Formel) gesagt werden, ob sie formal korrekt gebildet worden ist. (Welche wie geformten Hauptsätze akzeptieren wir?) Vom Nutzer zu beurteilende Aussagen stellen also Sätze in einer ihm bekannten Sprache dar, die syntaktisch korrekt sind.

Aussagen etwas genauer
Syntaktisch nicht korrekte Sätze sind ebenso wenig zu beurteilen wie sinnlose Aneinanderreihungen von Buchstaben oder Worten. Die Gebilde „Stuhl Mann geht“ oder „fritzgax xy“ stellen also keine Aussagen dar (im Deutschen). Der Satz „Vivo cerca la Sagrada Familia.“ stellt eine Aussage dar, wenn auch nicht im Deutschen. (Sprachabhängigkeit!) Der Satz „Nachts ist es kälter als draußen.“ ist eine Aussage – aber keine sinnvolle. (Das ist eine Frage der Semantik.)

Semantik: Was bedeutet die Aussage (die Formel)? Dabei muß man über „wahr“ und „falsch“ reden können wie in der klassischen AL. Oder man muß andere Formen der Wahrheit formalisieren können (etwa mehrwertige Logik). Jeder Aussage wird durch die Semantik ein Wahrheitswert zugewiesen.

Aussagen Über Sätze, die weder richtig noch falsch sind (eigentlich: Sätze ohne semantischen Wert), sollte in keiner Logik argumentiert werden, genauso wenig wie über Sätze, die sowohl richtig wie falsch sein können (eigentlich: Sätze mit unklarem semantischem Wert).

Aussagen keine Aussagen?
Diskutieren Sie die Sätze: „Gott ist omnipotent.“ (metaphysische Sätze) „Wer das liest ist doof.“ (Scherz, Beleidigung) „Der Stierkampf ist eine phantastisch schöne Sache.“ (Meinung) „Was hier steht ist falsch.“ (widersprüchliche Sätze).

Grundsätzlich läßt sich die Logik in verschiedene Kategorien einteilen: ob sie eine Weiterentwicklung der philosophischen Logik darstellen, nach der Art der verwendeten Wertigkeit (dem Wahrheitswertevorrat), ob sie im strengen Sinne aus der mathematischen Logik direkt ableitbar sind (Existenz von Kalkülen), Ob das Extensionalitätsprinzip gilt. Das heißt, ob der semantische Wert einer Formel sich aus den semantischen Werten der Formelbestandteile berechnen läßt.

Es haben sich seit Einführung der mathematischen Logik viele verschiedene Arten von neuen Logiken herausgebildet, die stets versuchen, die klassische mathematische Logik zu erweitern und nicht sie zu ersetzen. Modale Logik (Möglichkeit oder Notwendigkeit) Temporale Logik (Abhängigkeit vom Zeitpunkt) Epistemische Logik (Glauben und Wissen) Deontische Logik (sittliche Normen) Intuitionistische Logik (endliche Beweisbarkeit)

Die klassischen Logiken (AL, Prädikatenlogik) und die eben genannten Logiken sind zweiwertig: Die zweiwertige Logik verwendet die Wahrheitswerte W(ahr) und F(alsch) oder 1 (wahr) und 0 (falsch). Nun ist die Realität im allgemeinen aber meist nicht nur mit zwei Werten (Wahr oder Falsch) zu beschreiben. Meist ist es auch nicht möglich, eine vollständige Übereinstimmung mit dem Begriff Wahr oder Falsch vorzunehmen.

Ein Problem der „nicht zwei-wertigen“ Logikkalküle ist die Zuordnung der entsprechenden Wahrheitswerte. Kann man relativ leicht feststellen ob eine Aussage wahr oder falsch ist, so ist zum Beispiel die Zuordnung eines Fuzzy-Werts von 0,68 oder 0,71 vom Bewerter abhängig. Der Vorteil der besseren Beschreibbarkeit der Realität wird erkauft durch das Einbeziehen der Subjektivität des Bewerters und durch zusätzliche Komplexität bei der Berechnung.

2.2 Aussagenlogik

Aussagenlogik (Abstraktion von Aussagen)
Mit W oder F bewertete Aussagen werden, soweit sie nicht aus anderen Aussagen zusammengesetzt sind, innerhalb der Aussagenlogik nicht weiter untersucht. Die Aussage „Der Mann geht.“ wird nicht weiter auf syntaktische Teileuntersucht. Auch die Semantik des Satzes selber wird innerhalb der Aussagenlogik nicht untersucht. Es wird nicht untersucht, was ein „Mann“ ist, noch was „gehen“ bedeutet.

Aussagenlogik Damit nicht immer die Aussagen als Sprachgebilde „mitzuschleppen“ sind, werden Aussagenvariablen eingeführt. Diese repräsentieren Platzhalter für wahre oder falsche Aussagen und werden mit kleinen lateinischen, gegebenenfalls indizierten Buchstaben dargestellt. Aussagenvariablen sind also keine Aussagen, sondern Platzhalter. Im mathematischen Sinne wird aber nur den durch die Aussagenvariablen repräsentierten Aussagen ein Wahrheitswert zugeordnet.

Aussagenlogik Die Aussagenlogik stellt einen Formalismus zur Behandlung von Aussagen in ihrer Gesamtheit dar, ohne sich um die genaue Form oder den Sinn der einzelnen Aussagen zu kümmern. Die Aussagenlogik dient nicht der Interpretation der Aussagen selber. Die Aussagenlogik stellt eine Sammlung von „Rechenvorschriften“ für Aussagen und deren Verknüpfung dar.

Aussagenlogik Aussagenverknüpfungen (Operatoren)
AL-Formeln können miteinander verknüpft werden. Unter Verknüpfungen versteht man Operatoren, wie sie auch aus anderen Bereichen der Mathematik hinlänglich bekannt sind. So stellen auch die Multiplikation, die Addition und die Vereinigung von Mengen mathematische Verknüpfungen dar. Vergleichen Sie das mit der Algebra.

Aussagenlogik Aussagenverknüpfungen (Operatoren)
Charakteristisch für die Aussagenlogik ist : Es werden ausschließlich Formeln miteinander verknüpft und das Ergebnis einer solchen Verknüpfung ist wieder eine Formel. Diese Verknüpfungen sind so beschaffen, daß der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage einzig und allein von den Wahrheitswerten der verknüpften Aussagen abhängt.

Aussagenlogik zeitlicher Aspekt
Der zeitliche Aspekt spielt innerhalb der Aussagenlogik keine Rolle, auch wenn er gerade Auslöser zur Entwicklung anderer Logiken war (Temporale Logik). Der Satz „Morgen wird es regnen.“ ist innerhalb der Aussagenlogik eine Aussage, auch wenn eine Zuordnung, ob richtig oder unrichtig, heute noch nicht getroffen werden kann; immerhin ist eine solche morgen möglich.

Syntax Inhalt ist für die Syntax nicht von Bedeutung.
Beschreibung der korrekten Schreibweise. Inhalt ist für die Syntax nicht von Bedeutung. Der Zeichenvorrat besteht aus: Variablen (p, q, p1, …) Junktoren (, , , , )  : Negation  : Konjunktion („und“)  : Disjunktion („oder)  : Implikation Bei der Formel F1  F2 sagt man, F1 sei eine hinreichende Bedingung für F2 und F2 eine notwendige Bedingung für F1.  : Äquivalenz, Bikonditional Die Reihenfolge entspricht der Bindehierachie

Induktive Definition Definition
Die Menge AForm der aussagenlogischen Formeln ist wie folgt definiert: Jede aussagenlogische Variable ist eine aussagenlogische Formel. Sind F1, F2  AForm, so sind auch (F1  F2), (F1  F2), (F1  F2), (F1  F2), (F1) aussagenlogische Formeln.

Induktive Definition Prioritäten
Für die Junktoren werden folgende Prioritäten festgelegt: 1.  bindet stärker als ,  , → und ↔. 2.  bindet stärker als  . 3.  und  binden stärker als →. 4. → bindet stärker als ↔.

2.3 Semantik der Aussagenlogik

Semantik Sie beschreibt den korrekten Inhalt einer Aussage.
Syntax + Semantik ≙ richtige Interpretation einer aussagenlogischen Formel Die Semantik wird zunächst auf Variablen definiert, dann auf immer größeren Teilformeln (induktiv, extensional, bottom up).

Semantik Jeder Aussage(variablen) wird durch die Semantik ein Wahrheitswert zugeordnet. Die Aussage(variable)n können nur wahr oder falsch sein. Der semantische Bereich ist deshalb die Menge 𝔹 = {0,1} (boolesche Werte).

Eine Belegung ordnet jeder Variablen einen Wahrheitswert zu.
Semantik Eine Belegung ordnet jeder Variablen einen Wahrheitswert zu. Belegungen sind Abbildungen: AVar  𝔹.  sei die Menge aller Belegungen (Sigma). Typische Belegungen sind , .

Semantik Formel Entsprechend für die anderen Junktoren.
Allgemeine Bedeutung (Meaning M) einer Formel M: AForm X   𝔹 M(p, ) = (p) M(F1  F2, ) = M(F1, )  M(F2, ) : 𝔹 x 𝔹 𝔹 (für rechte Seite der Gleichung) Entsprechend für die anderen Junktoren.

Semantik Konjunktion Definition: Die Konjunktion ordnet zwei Aussagen deren Konjunkt zu. Das Konjunkt zweier Aussagen ist nur wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Das Verknüpfungszeichen der Konjunktion ist der Konjunktor „ “ (lies „und“, „konjungiert“). ,  ,:  x  ->  Mit:  | 0 | 1  | 0 | 1 ________ ________ 0 | 1 | | 1 | 0 1 | 0 | | 0 | 1 Aus wahrem darf nichts falsches folgen!

Semantik Konjunktion Anders als im sprachlichen Gebrauch ist auch ein Konjunkt zweier wahren Aussagen, die in keinem Zusammenhang stehen wahr. Das Konjunkt der wahren Aussagen „Karl ist schlau“ und „Karl ist Student der Informatik“ ist augenscheinlich das wahre Konjunkt „Karl ist schlau und Student der Informatik“. Weniger anschaulich ist aber das ebenfalls wahre Konjunkt der Aussagen „Karl ist schlau“ und „van Gogh ist geboren“, da kein unmittelbarer Zusammenhang zwischen den Aussagen besteht, der sprachlich aber gerne angestrebt wird. ,  ,:  x  ->  Mit:  | 0 | 1  | 0 | 1 ________ ________ 0 | 1 | | 1 | 0 1 | 0 | | 0 | 1 Aus wahrem darf nichts falsches folgen!

Semantik Konjunktion Beispiel einer Wahrheitstafel:
Belegung p q p ∧ q 1 2 1 3 4 AVar = {p,q} = {1 , 2 , 3 , 4} Dann gilt: M(p  q)(i) = M(p)(i)  M(q)(i) ǁ ǁ i (p) i (q) mit  : 𝔹 x 𝔹 𝔹 ,  ,:  x  ->  Mit:  | 0 | 1  | 0 | 1 ________ ________ 0 | 1 | | 1 | 0 1 | 0 | | 0 | 1 Aus wahrem darf nichts falsches folgen!

Semantik Disjunktion Definition: Die Disjunktion ordnet zwei Aussagen deren Disjunkt zu. Das Disjunkt zweier Aussagen ist wahr, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist. Das Verknüpfungszeichen der Disjunktion ist der Disjunktor „ ∨“ (lies „oder“, „disjungiert“).

Semantik Disjunktion Umgangsprachlich taucht das oder in zwei verschiedenen Bedeutungen auf: - dem inklusiven Oder, das eigentlich durch die Disjunktion beschrieben wird. Die Aussage „In der Videothek können sie VHS-Kassetten oder DVDs ausleihen“ ist ein Disjunkt.

Semantik Disjunktion - dem exklusiven Oder, welches mit „entweder oder“ besser umschrieben ist und das keine Disjunktion sondern eine andere logische Verknüpfung darstellt. Die Aussage „Das Steak ist ‚durch gebraten’ oder ‚medium’ gegrillt.“ stellt eine solche „entweder – oder„ –Verknüpfung dar.

Semantik Disjunktion Weiteres Beispiel einer Wahrheitstafel : Sind p und q zwei Aussagen, dann ist die Disjunktion p ∨ q eine falsche Aussage genau dann, wenn sowohl p als auch q falsch sind. Andernfalls ist sie wahr. p q p ∨ q 1

Semantik Exklusives Oder (XOR)
Leiten Sie den Wahrheitswerteverlauf des „Exklusiven Oder“ selbst her.

Semantik Implikation / Subjunktion
Weiteres Beispiel einer Wahrheitstafel : Sind p und q zwei Aussagen, dann ist die Implikation p  q eine falsche Aussage genau dann, wenn p wahr aber q falsch ist. Andernfalls ist sie wahr. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle: p q p  q 1

Defintion: Die Implikation / Subjunktion ordnet zwei Aussagen deren Implikation / Folgerung zu. Die Implikation ist nur dann falsch, wenn eine wahre Aussage mit einer falschen Aussage (in dieser Reihenfolge) kombiniert wird. Aus etwas Wahrem darf nichts Falsches folgen! Der Junktor der Implikation schreibt sich „→“ (lies: „wenn – dann“, „impliziert“).

Anders als bei Konjunktion, Disjunktion und XOR ist bei der Subjunktion die Reihenfolge der Aussagen in der Formel wichtig. Die Aussage links vom Pfeil heißt „Vorderglied“ (Vordersatz), die hinter dem Pfeil stehende Aussage wird als „Hinterglied“ (Hintersatz) bezeichnet. Vorder- und Hinterglied dürfen nicht vertauscht werden. Die sprachliche Entsprechung „wenn – dann“ führt oft zur Fehlannahme, daß zwischen Vorder- und Hinterglied ein kausaler Zusammenhang bestehe.

Dies ist aber nicht der Fall. Am Beispiel verschiedener Implikate der Aussagen „ein Reiz ist vorhanden“ und „eine Reaktion ist vorhanden“ sei dies veranschaulicht. wenn „ein Reiz vorhanden ist“ dann „ist eine Reaktion vorhanden“ (besser „erfolgt eine Reaktion“) ist leicht einsehbar wahr (W → W). wenn „nicht ein Reiz vorhanden ist“ (besser „kein Reiz vorhanden ist“) dann „nicht ist eine Reaktion vorhanden“ (besser „erfolgt keine Reaktion“) ist ebenfalls leicht einsehbar wahr (F → F).

wenn „ein Reiz vorhanden ist“ dann „nicht ist eine Reaktion vorhanden“ (besser „erfolgt keine Reaktion“) ist auch noch verständlich falsch (W → F), da aus einer wahren Aussage nichts Falsches folgern kann. wenn „nicht ein Reiz vorhanden ist“ (besser „kein Reiz vorhanden ist“) dann „eine Reaktion ist vorhanden“ (besser „erfolgt eine Reaktion“) ist aber aufgrund der Implikationsvorschriften ebenfalls wahr (F → W), was allerdings der normalen Kausalkette widerspricht.

Semantik Äquivalenz / Bijunktion
Weiteres Beispiel einer Wahrheitstafel : Sind p und q zwei Aussagen, dann ist die Äquivalenz p  q eine falsche Aussage genau dann, wenn p und q verschiedene Wahrheitswerte haben. Andernfalls ist sie wahr. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle: p q p  q 1

Semantik Äquivalenz / Bijunktion
Definition: Die Äquivalenz / Bijunktion ordnet einem Paar von Aussagen deren Äquivalenz zu. Die Äquivalenz zweier Aussagen mit gleichem Wahrheitswert ist wahr, bei zwei Aussagen mit ungleichem Wahrheitswert ist die Äquivalenz falsch. Der Junktor wird „↔“ geschrieben (lies: „genau dann wenn“, „äquivalent“).

Semantik Metaoperatoren
Man sollte zwei Dinge streng trennen: den Operator →, der nur innerhalb der AL (zwischen Formeln) vorkommt, Die Implikation als metasprachlicher Ausdruck, wenn es sich um den Vergleich von Wahrheitswerteverläufen zweier aussagenlogischer Ausdrücke handelt. In diesem Fall wird der Metaoperator  verwendet. „Statt F1  F2 zu sagen, kann man auch sagen, dass F1 eine hinreichende Bedingung für F2 und dass F2 eine hinreichende Bedingung für F1 ist, also (F1  F2)  (F2  F1).“ * *

Semantik Metaoperatoren
Ähnlich sollte bei der Äquivalenz zwischen dem zur (Syntax der) Logik gehörenden Operator  und dem Metaoperator  unterschieden werden. „Statt F1  F2 zu sagen, kann man auch sagen, dass F1 eine hinreichende Bedingung für F2 und dass F2 eine hinreichende Bedingung für F1 ist, also (F1  F2)  (F2  F1).“ * *

Semantik Formel Unter Benutzung der Semantik kann eine Reihe von allgemeingültigen Formeln bewiesen werden. So gilt: Satz Für alle Formeln F1, F2 gilt F1  F2 genau dann, wenn (F1  F2)  (F2  F1) gilt. „Statt F1  F2 zu sagen, kann man auch sagen, dass F1 eine hinreichende Bedingung für F2 und dass F2 eine hinreichende Bedingung für F1 ist, also (F1  F2)  (F2  F1).“ * *

Semantik Formel Beweis für M(F1 F2) = M((F1 F2)  (F2 F1))
Sei   . Es gibt also vier Fälle: M(F1)() =0, M(F2)() =0 M(F1)() =0, M(F2)() =1 M(F1)() =1, M(F2)() =0 M(F1)() =1, M(F2)() =1 Wahrheitstabelle auf nachfolgender Seite

 M((F1 F2)  (F2 F1))() = M((F1  F2))() f.a.  □
Semantik Formel Belegung F1 F2 F1  F2 1 1 2 3 4 Belegung F1 F2 (F1  F2)  (F2 F1) 1 0 > 1 < 0 2 3 4  M((F1 F2)  (F2 F1))() = M((F1  F2))() f.a.  □

Beispiel: Vorgelegt sei der aussagenlogische Ausdruck A(x1,x2,x3,x4) gemäß (x1   x2 → x3) ↔ x4 und die Variabelenbelegung    mit (x1) = W, (x2) = W, (x3) = F, (x4) = W. Damit geht die Aussageformel A(x1,x2,x3,x4) in die Aussage A(W,W,F,W) über, deren Wahrheitswert wir im folgenden berechnen.

Beispiel: Zunächst ersetzen wir alle Aussagevariablen der Aussageformel mit den festgelegten Wahrheitswerten. Daraus ergibt sich folgende Form:

Beispiel: A(W,W,F,W) = (W   W → F) ↔ W

Beispiel: A(W,W,F,W) = (W   W → F) ↔ W = (W  F→ F) ↔ W

Beispiel: A(W,W,F,W) = (W   W → F) ↔ W = (W  F→ F) ↔ W = (W → F) ↔ W

Beispiel: A(W,W,F,W) = (W   W → F) ↔ W = (W  F→ F) ↔ W = (W → F) ↔ W = F ↔ W

Beispiel: A(W,W,F,W) = (W   W → F) ↔ W = (W  F→ F) ↔ W = (W → F) ↔ W = F ↔ W = F

Erfüllungsmenge Definition: Sei F  AForm, dann sei E(F) = {| M(F)() =1}. E(F) heißt die Erfüllungsmenge von F. Es ist die Menge aller Belegungen, die F wahr machen. Die Erfüllungsmenge einer beliebigen Formel A könnten wir so ermitteln, daß wir für alle möglichen Belegungen die oben dargestellten Rechenschritte wiederholen und alle  für Aussagen mit A( (x1), (x2), …) = W aufsammeln.

Semantik Formel Leichter ist die Erfüllungsmenge allerdings mit Hilfe einer Wahrheitswertetabelle zu ermitteln, oder es werden Sätze benutzt wie die folgenden: Satz E(F1  F2) = E(F1)  E(F2) E(F1  F2) = E(F1)  E(F2) E( F) =  \ E(F) E(F1  F2) = E(F2)  ( \ E(F1))

Semantik Formel Beweis von E(F1  F2) = E(F1)  E(F2): Sei   E(F1  F2). Dann ist M(F1  F2)() = 1, also auch M(F1)()  M(F2)() = 1 und dann M(F1)() = 1 und M(F2)() = 1. Also ist   E(F1) und   E(F2) und somit   E(F1)  E(F2). Alle Schlüsse sind auch umkehrbar. □

Erfüllungsmenge Konstruktion einer Wahrheitswertetabelle:
Schritt1: Ermittlung der Größe Bekanntlich ist die Wahrheitswertetabelle einer zusammengesetzten Aussagen 2Anzahl der Aussagenvariablen Zeilen groß. Eine Aussageformel A(x1,x2,x3,x4,x5) beispielsweise hat 5 Variablen, also ist die Wahrheitswertetabelle 25 = 32 Zeilen groß. Schritt2: Anordnung der Zeilen

Bekannt ist, daß jede der Variablen genauso oft wahr wie falsch sein muß, damit alle Wahrheitswertkombinationen zu ermittelt werden können. Bei 32 Möglichkeiten muß jede der Variablen jeweils 16-mal wahr und 16-mal falsch werden. Die Anordnung dieser F und W-Werte hat nun so zu erfolgen, daß keine Kombination doppelt vorkommt. Betrachtet man W als 1 und F als 0, so könnte man einfach von bis im Dualsystem hochzählen, um alle Kombinationen zu erhalten.

Ein kleiner Trick besteht darin, bei der 1. Variablen die Anzahl der möglichen Zeilen durch 21 zu teilen und genau die Hälfte als W, die andere Hälfte als F anzulegen. Bei der zweiten Variablen teilt man die Tabelle durch 22 = 4 und legt jeweils genauso viele W und F alternierend an, wie sich durch die Teilung ergibt. So verfährt man bis zur n. Variablen, bei der sich nach diesen Überlegungen ein ständiger Wechsel von W und F ergibt.

x1 x2 x3 x4 Anordnung im Beispiel oben:

x1 x2 x3 x4 W F Anordnung im Beispiel:

Beispiel (x1   x2 → x3) ↔ x4 x1 x2 x3 x4  x2 x1   x2
W F

Erfüllungsmenge Die Erfüllungsmenge der Aussageformel (x1   x2 → x3) ↔ x4 ist zu berechnen: A(W,W,W,W) = A(W,W,F,F) = A(W,F,W,W) = A(W,F,F,F) = A(F,W,W,W) = A(F,W,F,W) = A(F,F,W,W) = A(F,F,F,F) = W Für alle anderen Belegungen ist A falsch. E(A(x1,x2, x3,x4)) = {(W,W,W,W),(W,W,F,F),(W,F,W,W), (W,F,F,F), F,W,W,W),(F,W,F,W),(F,F,W,W) (F,F,F,F)}

Erfüllungsmenge Berechnen Sie die Erfüllungsmenge der Aussageformel x1   x2 → x3 mit Hilfe der Formeln von oben.

2.4 Gültigkeit und Gesetze der Aussagenlogik

Der logische Folgerungsbegriff
Merksatz Ein Modell ist (bei jeder Logik) eine feste Interpretation der interpretationsfähigen Bestandteile. Die Aussage „M ist ein Modell für die Formelmenge S“ wird abgekürzt durch M╞ S. Definition Seien S eine Formelmenge und G eine Formel (in einer beliebigen Logik). Dann ist G eine Folgerung aus S (S╞ G), wenn jedes Modell, das S wahr macht, auch G wahr macht. S╞ G  (Für alle M: M╞ S  M╞ G)

Gültigkeiten Definition Eine n-stellige Aussageformel F heißt: allgemeingültig oder Tautologie, wenn sie für alle 2n möglichen Belegungen wahr ist; alternativ: M╞ F gilt für jedes Modell M. ungültig (unerfüllbar) oder Kontradiktion, wenn F für alle 2n möglichen Belegungen falsch ist. Alternative Formulierungen: „M╞ F gilt für jedes Modell M.“ oder „ M╞  F ist eine Tautologie.“.

Gültigkeiten Eine Aussageformel F heißt teilgültig oder kontingent, wenn sie nur für einen Teil der 2n möglichen Belegungen wahr ist und Eine Aussageformel ist erfüllbar, wenn sie wenigstens für eine Belegung wahr ist. Sonst ist sie unerfüllbar (Kontradiktion).

Aussagenlogische Gesetze
Aus den aussagenlogischen Verknüpfungen und deren Erfüllbarkeit lassen sich die aussagenlogischen Gesetze herleiten, die wir letztlich zum aussagenlogischen Schließen benötigen.

Ist A(x1,…,xn) eine allgemeingültige Aussageformel, so schreiben wir dafür A(x1,…,xn)  W lies : A ist äquivalent zu W. Das Äquivalenzeichen  beschreibt, daß für alle möglichen Belegungen der Aussagenvariablen x1,…,xn der Ausdruck A(x1,…,xn) wahr ist. A(x1,…,xn) stellt damit also eine Tautologie dar.

Objektsprache vs Metasprache
Das Zeichen  stellt dabei – wie schon oben gesagt – keinen Junktor dar, sondern beschreibt eine Eigenschaft eines aussagenlogischen Ausdrucks. Er gehört damit einer Beschreibungssprache an in der über die Aussagenlogik gesprochen wird und nicht zum Zeichenvorrat der Aussagenlogik selbst. Bestandteile der Aussagenlogik werden als Objektsprache bezeichnet, die Sprache mit der über die Aussagelogik gesprochen wird als Metasprache. Es sei darauf hingewiesen, daß die Metasprache wiederum ebenfalls von einer Sprache beschrieben werden kann – hier zum Beispiel durch die deutsche Sprache. Es existieren also normalerweise mehrere Stufen der Metasprache.

Objektsprache vs Metasprache
Beispiel: Der korrekte aussagenlogische Ausdruck: (x1   x2 → x3) ist Bestandteil der Objektsprache. Der Satz „(x1   x2 → x3) ist teilgültig bzw. erfüllbar.“ ist Bestandteil der Metasprache.

Definition: Hat eine allgemeingültige Aussageform A die Gestalt einer Äquivalenz B ↔ C, so schreibt man für B ↔ C  W die Äquivalenz B  C (lies: B ist äquivalent zu C). Es sei darauf hingewiesen, daß der Wahrheitswert einer Äquivalenz genau dann W ist, wenn Vorder- und Hinterglied den gleichen Wahrheitswert besitzen. Daraus folgt, daß B ↔ C genau dann allgemeingültig ist, wenn B und C den gleichen Wahrheitswerteverlauf haben.

Beispiel: Vorgelegt sei der aussagenlogische Ausdruck A(a, b) gemäß a  b ↔ a → b, der allgemeingültig ist. Herleitung mit Wahrheitswertetafel: a b  a a  b (1)  a → b (2) (1) ↔ (2) W F

Aus dem gleichen Wahrheitswerteverlauf von Vorder- und Hinterglied innerhalb einer allgemeingültigen Äquivalenz ergibt sich in der AL, daß die beiden Glieder sich gegenseitig ersetzen können. Die Äquivalenz besagt also: Ohne Änderung des Wahrheitswerteverlaufs kann B durch C ersetzt werden. Dies hat vor allem im Bereich der Umformung aussagenlogischer Ausdrücke eine erhebliche Bedeutung.

Das Prinzip, das hier benutzt wurde, heißt Leibnizsches Ersetzungsprinzip. Es besagt, daß ein Teil einer Formel, der semantisch gleich zu einem anderen Ausdruck ist, durch diesen Ausdruck ersetzt werden kann, ohne daß der Wahrheitswert der Gesamtformel sich ändert. In der AL gilt das Leibnizsche Ersetzungsprinzip. In anderen Logiken und auch in der täglichen Sprache ist es falsch.

Definition: Hat eine allgemeingültige aussagenlogische Aussageformel die Gestalt B → C, so schreiben wir für B → C  W die Implikation B  C (lies: B impliziert C). Dabei gehört auch das Zeichen  wie das Äquivalenzzeichen zur Metasprache.

Beispiel: Vorgelegt sei der aussagenlogische Ausdruck A(a, b) gemäß  b  (a → b) →  a (Widerlegungsgesetz modus tollens), der allgemeingültig ist. Herleitung mit Wahrheitswertetafel: a b  a  b a → b (1)  b  (1) (2) (2) →  a W F

Aus der Wahrheitswertetabelle ergibt sich die Allgemeingültigkeit des Ausdrucks, so daß man schreiben kann:  b  (a → b)   a Außerdem ergibt sich aus der Wahrheitswertetabelle, daß E( b  (a → b)) = {(F,F)}, E( a) = {(F,W),(F,F)}. Damit ist E( b  (a → b)) eine Teilmenge von E( a).

Satz: Zwischen den aussagenlogischen Ausdrücken B und C besteht eine Implikation B  C genau dann, wenn die Erfüllungsmenge E(B) des Vordersatzes eine Teilmenge der Erfüllungsmenge E(C) des Hintergliedes ist.

2.5 Normalformender Aussagenlogik

Normalformen Die Verwendung von Wahrheitswertetabellen zur Bestimmung des Wahrheitswerteverlaufs wird bei großer Variablenanzahl schnell aufwendig und unübersichtlich. Das Wachstum ist exponentiell. Mit Hilfe der aussagenlogischen Gesetze kann man stattdessen gegebene aussagenlogische Ausdrücke durch systematische Äquivalenzumformungen so vereinfachen, daß sie leichter beherrschbar werden.

Normalformen Bei dieser Umformung strebt man eine gleichartige Struktur (Normierung) der Ausdrücke an. Man strebt für diese Normalisierung an, mit möglichst wenigen und dabei leicht beherrschbaren Operatoren auszukommen. Ersetzung semantischer Argumente durch syntaktische

Normalformen Die Operatoren ,  und  (die sogenannte Boolesche Verknüpfungsbasis oder Junktorbasis) erweisen sich hier als besonders effizient und bieten auch den Vorteil, leicht automatisiert werden zu können. Unter Berücksichtigung der dann wesentlich schwierigeren Struktureigenschaften wären aber auch andere Verknüpfungsbasen zur Erstellung von Normalformen möglich.

Normalformen Literale
Ein Literal ist eine Aussagenvariable (positives Literal) oder die Negation einer Aussagenvariablen (negatives Literal). Die Formeln p und ¬p (und nur solche) sind Literale.

Normalformen Um die Verwendung von unnötig vielen Klammern zu vermeiden untersuchen wir zunächst Ausdrücke wie (a  b)  c und (a  b)  c auf Vereinfachung. Nach den Assoziativgesetzen der Disjunktion bzw. Konjunktion gilt: a  (b  c)  (a  b)  c a  (b  c)  (a  b)  c Diese Gesetze besagen, daß bei der Berechnung mehrgliedriger Disjunkte bzw. Konjunkte der Wahrheitswert unabhängig von der Klammersetzung ist.

Normalformen Nur mit Hilfe des Assoziationsgesetzes der Konjunktion bzw. Disjunktion können wir den Ausdruck ohne Klammern einführen: Definition: Seien a, b, c Aussagenvariablen einer zweistelligen Konjunktion bzw. Disjunktion so schreiben wir: . a  (b  c)   (a  b)  c  a  b  c a  (b  c) (a  b)  c  a  b  c

x1  x2  x3 …  xn und x1  x2  x3 …  xn
Normalformen . Als Folgerung hieraus können die Klammern in beliebigen n-gliedrigen Konjunkten bzw. Disjunkten weggelassen werden: x1  x2  x3 …  xn und x1  x2  x3 …  xn Da die Negation Vorrang vor allen anderen Junktoren hat, können statt Aussagenvariablen auch beliebige Literale vorkommen.

Normalformen Disjunktive Normalform
Ein Konjunktsterm ist eine Konjunktion aus positiven oder negativen Literalen, also ein Term der Form (p1  p2  …  pm  q1  q2   qn) mit Aussagevariablen pi und qj.

Normalformen Disjunktive Normalform
Die DNF ist eine Disjunktion aus Konjunktstermen, also ein Term der Form (p11  p12  …  p1m1  q11  q12   q1n1) (p21  p22  …  p2m2  q21  q22   q2n2) ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ( pk1  pk2  …  pkmk  qk1  qk2   qknk) mit positiven Literalen pij und qij

Disjunktive Normalform
Beispiele: (x1  x2)  ( x2  x1  x1)  ( x2  x2  x1)  x2 Beachte: Konjunktionsterme können ein Literal doppelt enthalten ( x2  x1  x1). Beachte: Konjunktionsterme können ein Literal und auch seine Negation enthalten ( x2  x2  x1). Beachte: Konjunktionsterme können auf ein einzelnes Literal zusammenschrumpfen (x2).  x3  x4  x3 Beachte: Auch ein einzelner Konjunktionsterm ist eine DNF. Satz: Jede aussagenlogische Aussageformel läßt sich in eine disjunktive Normalform äquivalent umformen.

Die Umformung in eine DNF kann mit Hilfe von wenigen aussagenlogischen Äquivalenzen vorgenommen werden. 1. Elimination der Äquivalenzen gemäß B ↔ C  (B C)  ( B  C) B und C stellen dabei Teilausdrücke des durch Äquivalenz verknüpften Gesamtausdrucks dar. 2. Elimination der Implikationen gemäß B → C   B  C B und C stellen dabei Teilausdrücke des durch Implikation verknüpften Gesamtausdrucks dar.

3. Auflösung negierter Konjunkte mit einem der de Morgan Gesetze:  (B  C)   B   C Auflösung negierter Disjunkte mit dem anderen der de Morgan Gesetze:  (B  C)   B   C 4. Anwendung eines der Distributivgesetze zur Umformung von Konjunkten der Gestalt B  (C  D) gemäß B  (C  D)  (B  C)  (B  D) Distributivität von „“ über „“. B, C und D stellen dabei Teilausdrücke des Gesamtausdrucks dar.

Bei jedem Schritt kann ein weiteres Gesetz notwendig werden, das Gesetz der doppelten Negation:   B  B

DNF Beispiel A (a, b, c) = (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß B ↔ C  (B  C)  ( B   C) mit B = C =

DNF Beispiel A (a, b, c) = (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß B ↔ C  (B  C)  ( B   C) mit B = a  b C = c

DNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß
B ↔ C  (B  C)  ( B   C) mit B = a  b C = c ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b Man beachte, daß im zweiten Term die Negation stärker bindet als die Konjunktion, daher müssen die Klammern stehen bleiben.

2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = C =
DNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b 2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = C =

2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit
DNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b 2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = (a  b  c)  ( (a  b )   c) C =  b

DNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b  ((a  b  c)  ( (a  b )   c))   b

DNF Beispiel  ((a  b  c)  ( (a  b )   c))   b 3. Anwendung von de Morgan gemäß  (B  C)   B   C mit B = (a  b  c) C = ( (a  b )   c) ( (a  b  c)   ( (a  b )   c)))   b

DNF Beispiel ( (a  b  c)   ( (a  b )   c)))   b Anwendungen von de Morgan gemäß  (B  C)   B   C (( a   b   c)  ((a  b )  c))   b Was muß an welcher Stelle für B, C eingesetzt werden?

DNF Beispiel Aus 3. Anwendungen von de Morgan
(( a   b   c)  ((a  b )  c))   b 4. Anwendung des Distributivgesetzes gemäß B  (C  D)  (B  C)  (B  D) mit B = C = D =

DNF Beispiel Aus 3. Anwendungen von de Morgan
(( a   b   c)  ((a  b )  c))   b 4. Anwendung des Distributivgesetzes gemäß B  (C  D)  (B  C)  (B  D) mit B = ( a   b   c) C = (a  b ) D = c (( a   b   c)  (a  b ))  (( a   b   c)  c))   b

DNF Beispiel (( a   b   c)  (a  b ))  (( a   b   c)  c))   b gemäß B  (C  D)  (B  C)  (B  D) an einer Reihe von Stellen ergibt 20) (a  a  b)  ( b  a  b)  ( c  a  b )  ( a  c)  ( b  c)  ( c  c)   b Dies ist eine DNF von (a  b ↔ c) →  b.

DNF Beispiel An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß einfache Normalformen nicht eindeutig sind, dies gilt erst für Kanonische Normalformen. Je nach Reihenfolge der Äquivalenzumformungen können sich andere Formeln ergeben. Es sollen noch einige kleine Vereinfachungen angegeben werden.

DNF Beispiel Beachten Sie, daß Konjunkte der Form ( c  c)  F und (F  c)  F bezüglich der Disjunktion neutral sind und entfallen können. (a  a  b)  ( b  a  b)  ( c  a  b )  ( a  c)  ( b  c)  ( c  c)   b Damit ergibt sich als einfachere DNF: ( c  a  b )  ( a  c)  (b  c)  b

Normalformen Konjunktive Normalform
Ein Disjunktsterm ist eine Disjunktion aus positiven oder negativen Literalen, also ein Term der Form (p1  p2  …  pm  q1  q2  …   qn) mit Aussagevariablen pi und qj.

Normalformen Konjunktive Normalform
Die KNF ist eine Konjunktion aus Disjunktstermen, also ein Term der Form (p11  p12  …  p1m1  q11  q12   q1n1) (p21  p22  …  p2m2  q21  q22   q2n2) ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ( pk1  pk2  …  pkmk  qk1  qk2   qknk) mit positiven Literalen pij und qij

Konjunktive Normalform
Beispiele: (x1  x2)  ( x2  x1  x1)  ( x2  x2  x1)  x2 Beachte: Disjunktionsterme können ein Literal mehrfach enthalten ( x2  x1  x1). Beachte: Disjunktionsterme können ein Literal und auch seine Negation enthalten ( x2  x2  x1). Beachte: Disjunktionsterme können auf ein einzelnes Literal zusammenschrumpfen (x2).  x3  x4  x3 Beachte: Auch ein einzelner Disjunktionsterm ist eine KNF. Satz: Jede aussagenlogische Aussageformel läßt sich in eine konjunktive Normalform äquivalent umformen.

Die Umformung in eine KNF kann mit Hilfe von wenigen aussagenlogischen Äquivalenzen vorgenommen werden. 1. Elimination der Äquivalenzen gemäß B ↔ C  (B  C)  ( B  C) B und C stellen dabei Teilausdrücke des durch Äquivalenz verknüpften Gesamtausdrucks dar. 2. Elimination der Implikationen gemäß B → C   B  C B und C stellen dabei Teilausdrücke des durch Implikation verknüpften Gesamtausdrucks dar.

3. Auflösung negierter Konjunkte mit einem der de Morgan Gesetze:  (B  C)   B   C Auflösung negierter Disjunkte mit dem anderen der de Morgan Gesetze:  (B  C)   B   C 4. Anwendung eines der Distributivgesetze zur Umformung von Konjunkten der Gestalt B  (C  D) gemäß B  (C  D)  (B  C)  (B  D) Distributivität von „“ über „ “. B, C und D stellen dabei Teilausdrücke des Gesamtausdrucks dar.

Bei jedem Schritt kann ein weiteres Gesetz notwendig werden, das Gesetz der doppelten Negation:   B  B

KNF Beispiel A (a, b, c) = (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß B ↔ C  (B   C)  ( B  C) mit B = C =

KNF Beispiel A (a, b, c) = (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß B ↔ C  (B   C)  ( B  C) mit B = a  b C = c

KNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b 1. Elimination der Äquivalenz gemäß
B ↔ C  (B  C)  ( B   C) mit B = a  b C = c ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b Man beachte, daß im zweiten Term die Negation stärker bindet als die Konjunktion, daher müssen die Klammern stehen bleiben.

2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = C =
KNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b 2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = C =

2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit
KNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b 2. Elimination der Implikation gemäß B → C   B  C mit B = (a  b  c)  ( (a  b )   c) C =  b

KNF Beispiel (a  b ↔ c) →  b ((a  b  c)  ( (a  b )   c)) →  b  ((a  b  c)  ( (a  b )   c))   b

KNF Beispiel  ((a  b  c)  ( (a  b )   c))   b 3. Anwendung von de Morgan gemäß  (B  C)   B   C mit B = (a  b  c) C = ( (a  b )   c) ( (a  b  c)   ( (a  b )   c)))   b

KNF Beispiel ( (a  b  c)   ( (a  b )   c)))   b Anwendungen von de Morgan gemäß  (B  C)   B   C ( a   b   c)  ((a  b )  c))   b

KNF Beispiel Aus 3. Anwendungen von de Morgan (( a   b   c)  ((a  b )  c))   b 4. Anwendung des Distributivgesetzes gemäß (A  B)  C)  (A  C)  (B  C) (( a   b   c)  (a c)  (b  c))   b

KNF Beispiel Aus 4. Anwendung des Distributivgesetzes (( a   b   c)  (a c)  (b  c))   b Erneut 4. Anwendung des Distributivgesetzes gemäß (A  B)  C)  (A  C)  (B  C) (( a   b   c   b)  (a c   b)  (b  c   b))

KNF Beispiel Aus 4. Anwendung des Distributivgesetzes (( a   b   c   b)  (a c   b)  (b  c   b)) Dies ist eine DNF von (a  b ↔ c) →  b. Auch hier sollen noch einige kleine Vereinfachungen angegeben werden.

KNF Beispiel Beachten Sie, daß Disjunkte der Form ( c  c)  W (c  c)  c (Idempotenzgesetz) (W  c)  W benutzt und entsprechend behandelt werden können. Ebenso wird die Kommutativität benutzt, ebenso (c  W)  c. Damit ergibt sich als einfachere KNF: (( a   b   c)  (a   b  c))

Kanonische Normalformen
Der Mangel der einfachen Normalformen besteht in ihrer Mehrdeutigkeit. Zu einer Aussageform gibt es prinzipiell unendlich viele disjunktive und konjunktive Normalformen. Je nach verwendeter äquivalenter Umformung können sich zwar äquivalente, aber nur schwer direkt vergleichbare Formen ergeben. Die kanonischen Normalformen besitzen neben dem Vorteil der Eindeutigkeit auch eine direkte Beziehung zur Erfüllungsmenge und zu den Wahrheitswertetafeln.

Kanonische Disjunktive Normalformen
Definition: Ein Konjunktionsterm M(x1, x2,…, xn) heißt Minterm, wenn jede Variable – entweder negiert oder nicht negiert – genau einmal vorkommt. Hat eine aussagenlogische Aussageformel A(x1, x2,…, xn) die Gestalt eines Disjunktes mit lauter paarweise nicht-äquivalenten Mintermen A(x1, x2,…, xn) = M1(x1, x2,…, xn)  M2(x1, x2,…, xn)  … Mk(x1, x2,…, xn), so heißt die Darstellung kanonische disjunktive Normalform von A, auch geschrieben als KDNF(A).

Kanonische Disjunktive Normalformen
Bei der Konstruktion einer kanonischen disjunktiven Normalform, geht man von einer einfachen Normalform aus, vereinfacht diese in der Form, in der dies in den Beispielen vorgenommen wurde, und erweitert die verbleibenden Konjunktionsterme so, daß sie zu Mintermen werden.

Beispiel Gegeben die DNF Der Term 1 entfällt wegen der Äquivalenzen:
(a   a  b)  (b  b  c)  (a  b  c)  c Der Term 1 entfällt wegen der Äquivalenzen: a   a  F, (F  b)  F und F  d  d, also (b  b  c)  (a  b  c)  c Der nächste Term wird zu (b  c) vereinfacht. Damit ergibt sich als neue DNF (nicht KDNF!) (b  c)  (a  b  c)  c.

Beispiel Bei Mintermen muß jede Variable genau einmal in negierter oder nicht negierter Form vorkommen. Dies trifft in unserer Normalform aber nur auf einen Term zu. Wir müssen die anderen Terme so erweitern, daß alle Variablen im Term vorkommen, ohne jedoch die Erfüllungsmenge des Ausdrucks zu ändern. Erweitert man die Terme mit W als dem neutralen Element der Konjunktion, so ändert sich der Wert der Formel nicht. Setzen wir nun den Wert W im Term genau an den Stellen ein, an denen Variablen fehlen, so erhalten wir: (W  b  c)  (a  b  c)  ( W  W  c)

Beispiel Wir nutzen nun das Gesetz ( c  c)  W aus und erweitern die Formel wie folgt: ((a   a)  b  c)  (a  b  c)  ((a   a)  (b   b)  c) Unter Verwendung des Distributivgesetzes ergibt sich dann: (a  b  c)  ( a  b  c)  (a  b  c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c)

Beispiel (a  b  c)  ( a  b  c)  (a  b  c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) Aufgrund des Idempotenzgesetzes können mehrfach auftretende Terme gestrichen werden. Somit ergibt sich die Kanonische Disjunktive Normalform zu: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c)

KDNF und Wahrheitswertetabelle
Wir weisen den Aussagenvariablen eines ausgewählten Mintermes nun Wahrheitswerte in der Form zu, daß negierte Variablen mit F nicht-negierte Variablen mit W belegt werden. Wie man zeigen kann, wird mit dieser Belegung genau dieser Minterm wahr, während alle anderen Minterme der kanonischen Normalform zu F werden.

Beispiel: Es sei M(a, b,c)= (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) Dann sind M(a =W, b=W,C=W) (W  W  W)  (W   W  W)  ( W  W  W)  ( W   W  W) M(a =W, b=F,C=W) (W  F  W)  (W   F  W)  ( W  F  W)  ( W   F  W)

In der kanonischen disjunktiven Normalform führen wir diesen Schritt nun für jeden Minterm durch und erhalten für die vier Minterme folgende Belegung, die den Ausdruck wahr macht: A(W,W,W) = W wegen M(W,W,W) = W A(W,F,W) = W wegen M(W,F,W) = W A(F,W,W) = W wegen M(F,W,W) = W A(F,F,W) = W wegen M(F,F,W) = W Damit kann unmittelbar auf die Wahrheitswertetabelle geschlossen werde, denn da die kanonische Normalform eindeutig ist, kann kein weiterer Term mehr zu W führen.

c (b  c)  (a  b  c)  c [ursprüngliche Ausdruck] A(a, b, c) zugeordneter Minterm W a  b  c F a   b  c  a  b  c  a   b  c

Kanonische Konjunktive Normalform
Definition: Ein Disjunktionsterm N(x1, x2,…, xn) heißt Maxterm, wenn jede Variable – entweder negiert oder nicht negiert – genau einmal vorkommt. Hat eine aussagenlogische Aussageformel A(x1, x2,…, xn) die Gestalt eines Konjunktes mit lauter paarweise nicht-äquivalenten Maxtermen A(x1, x2,…, xn) = N1(x1, x2,…, xn)  N2(x1, x2,…, xn)  … Nk(x1, x2,…, xn), so heißt die Darstellung kanonische konjunktive Normalform von A, geschrieben als KKNF(A).

Kanonische Konjunktive Normalform
Bei der Konstruktion einer kanonischen konjunktiven Normalform, geht man von einer einfachen Normalform aus, vereinfacht diese in der Form, in der dies in den Beispielen vorgenommen wurde, und erweitert die verbleibenden Disjunktionsterme so, daß sie zu Maxtermen werden.

Beispiel Ganz bewußt wählen wir das Beispiel zur Herleitung der kanonischen konjunktiven Normalform nochmals, um die kleinen Unterschiede beim sonst gleichen Lösungsverlauf beachten zu können. Gegeben sei wieder die (disjunktive) Normalform von oben: A(a, b, c) = (a   a  b)  (b  b  c)  (a  b  c)  c

Beispiel A(a, b, c) = (a   a  b)  (b  b  c)  (a  b  c)  c Der Term 1 entfällt wegen folgender Überlegung: a   a  W (W  b)  W, daraus folgt: A(a, b, c) = W  (b  b  c)  (a  b  c)  c und dann A(a, b, c) = (b  b  c)  (a  b  c)  c Term 2 wird zu (b  c) vereinfacht.

Beispiel Damit wird A(a, b, c) = (b  c)  (a  b  c)  c. Um die fehlenden Variablen zu erhalten, erweitern wir nun mit dem neutralen Element bezüglich der Disjunktion, nämlich mit F. (F  b  c)  (a  b  c)  (F  F  c)

Beispiel (F  b  c)  (a  b  c)  (F  F  c) Wir nutzen nun ( c  c)  F aus und erweitern A wie folgt: ( (a   a)  b  c)  (a  b  c)  ( (a   a)  (b   b)  c) unter Verwendung des Distributivgesetzes ergibt sich dann: (a  b  c)  ( a  b  c)  (a  b  c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c)

Beispiel (a  b  c)  ( a  b  c)  (a  b  c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) Aufgrund des Idempotenzgesetzes können mehrfach auftretende Terme gestrichen werden. Somit ergibt sich die kanonische konjunktive Normalform zu: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c)

KKNF und Wahrheitswertetabelle
Die Beziehung zur Wahrheitswertetabelle ergibt sich, wenn die Belegung der Maxterme so erfolgt, daß der Term zu F wird. In einem Disjunkt ist das dann der Fall, wenn alle Variablen zu F evaluiert werden. Dies erreicht man, indem man die negierten Variablen mit W, die nicht negierten mit F belegt.

Es sei A(a,b,c) =(a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) A(F,F,F) = F wegen N1(F,F,F) = F A(F,W,F) = F wegen N2(F,W,F) = F A(W,F,F) = F wegen N3(W,F,F) = F A(W,W,F) = F wegen N4(W,W,F)= F mit N1(a,b,c) = (a  b  c) usw. Alle übrigen Maxterme werden zu W ausgewertet.

c (b  c)  (a  b  c)  c [ursprünglicher Ausdruck] A(a, b, c) zugeordneter Maxterm W F  a   b  c  a  b  c a   b  c a  b  c

Die erörterten Zusammenhänge machen es natürlich auch möglich, die kanonischen Normalformen direkt aus der Wahrheitswertetabelle abzulesen.Weitere Folgerungen sind, daß Tautologien keine kanonische konjunktive Normalform und Kontradiktionen keine kanonische disjunktive Normalform besitzen.

2.6 Kalküle der Aussagenlogik

aussagenlogisches Schließen
Logisches Schließen heißt, aus bekannten Voraussetzungen („Prämissen“) unter Verwendung bestimmter „Schlußregeln“ neue Aussagen („Konklusionen“) zu gewinnen. Stellen die Schlußregeln aussagenlogische Gesetze dar, spricht man von aussagenlogischem Schließen. Die in der KI benutzte „Regelverarbeitung“ ist hingegen im allgemeinen kein logisches Schließen, sondern beruht auf Erfahrungen bzw. Empirie. Dies bedeutet aber, daß Konklusionen in diesem Bereich auch falsch sein können. Im Bereich des logischen Schließens stellen die Schlußfolgerungsregeln aber sicher, daß aus wahren Aussagen auch wieder wahre Aussagen folgen.

Induktions- und Analogieschlüsse sind, da sie nicht auf den Gesetzen der Logik beruhen, nicht „unlogisch“, sondern „nicht logisch“. Als „unlogisch“ bezeichnet man hingegen Schlüsse, die den Gesetzen der Logik widersprechen. Wer aus der Erfahrungstatsache, daß die Sonne im Osten aufgeht, den Schluss zieht, daß die Sonne auch morgen wieder im Osten aufgeht, argumentiert nicht logisch. Wer aus der Aussage „Wenn der Akku leer ist, funktioniert der Laptop nicht“, den Schluß zieht „Wenn der Laptop nicht funktioniert, ist der Akku leer“ schließt unlogisch, denn er verstößt gegen das Kontrapositionsgesetz. Vielmehr lautet die korrekte Umkehr: „Wenn der Laptop funktioniert, ist der Akku nicht leer“.

Definition: Die Formel A(x1, x2,…, xn) heißt eine aussagenlogische Folgerung aus den aussagenlogischen Formeln A1(x1, x2,…, xn), A2(x1, x2,…, xn),…, Am(x1, x2,…, xn), wenn für jedes   , das alle Formeln Ai wahr werden läßt, also Ai(x1, x2,…, xn)() = W für alle i, auch A(x1, x2,…, xn)() = W wird.

Prämisse A1(x1, x2,…, xn)() = A2(x1, x2,…, xn)() = …= Am(x1, x2,…, xn)() = W Konklusion A(x1, x2,…, xn)() = W Man schreibt auch A1, A2,…,Am Ⱶ A Das Zeichen Ⱶ kennzeichnet dabei die durch die Regel geleitete Schlußfolgerung(den Schluß).

In allgemeinen Logiken wird der Begriff etwas weiter gefaßt: Definition Eine Regel ist ein Tripel 𝑃𝑟𝑒𝑐 𝐶𝑜𝑛𝑐 𝐶𝑜𝑛𝑑 Prec: endliche Menge von Formeln -> Prämisse, precondition, Vorbedingung Conc: eine Formel -> conclusion, (Schluß-)Folgerung Cond: eine entscheidbare Nebenbedingung -> condition, (Neben-) Bedingung

Definition Ein Kalkül ist eine Menge K von Regeln. Man schreibt auch A1, A2,…,Am ⱵK A falls es eine endliche Folge von Schlußfolgerungen gibt, die durch jeweils eine Regel in K geleitet werden. Dann spricht man auch von der Ableitbarkeit im Kalkül K.

Kalküle Beispiele: Jedes Axiomensystem ist ein Kalkül, z.B.:
𝑃1, 𝑃2 𝑠𝑖𝑛𝑑 𝑃𝑢𝑛𝑘𝑡𝑒, 𝑃1 ≠ 𝑃2 𝐸𝑥. 𝐺, 𝐺 𝑖𝑠𝑡 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒, 𝑃1 ∈ 𝐺, 𝑃2 ∈ 𝐺 SLD-Kalkül mit nur einer Regel 𝐵1, …, 𝐵𝑛, 𝐴 ←𝐴1 ⋀ 𝐴2 ⋀…⋀ 𝐴𝑚 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑚, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 ⊝ ⊝ ist allgemeinster Unifaktor von A und B1, n1, m0,… Verschiedene Kalküle für Aussagenlogik Prädikatenkalkül

Kalküle Regeln F  G ≙  F  G  (F  G) ≙  F   G   F ≙ F
FG ≙ GF (FG)H ≙ F(GH) (FG)H ≙ (FH)(GH) F  F ≙ true Ftrue ≙ F Ftrue ≙ true

Kalküle Im folgenden Beispiel wird die kalkülmäßige Ableitung der Formel (p  q)  ((r  p)  (r  q)) demonstriert. Die Ableitung erfolgt von unten nach oben. Man beachte, daß alle genannten Regeln umkehrbar sind.

Kalküle 1 (p  q)  ((r  p)  (r  p)) 2
 (p  q)  ((r  p)  (r  q)) 3  (p  q)  ( (r  p)  (r  q)) 4  ( p  q)  (( r  p)  ( r  q)) 5 ( p   q)  (( r   p)  ( r  q) 6 (p   q)  ((r   p)  ( r  q)) 7 ((p   q)  q)  ((r   p)   r) 8 ((p  q)  ( q  q))  (r   r)  ( p   r) 9 ((p  q)  true)  (true  ( p   r)) 10 (p  q)  ( p   r) 11 p  p  q   r 12 true  q   r 13 true

Kalküle Beobachtungen: viele Regeln genutzt
Versuche, Kalküle mit weniger Regeln zu finden. Hier wurde schon vorausschauend vorgegangen und nicht mechanisch. Bei mechanischem Vorgehen würde eine Lösung nicht in polynomieller Zeit gefunden werden. Man braucht eine weitere Regel der Form: „Wird in einer existierenden Regel/ in einem Kalkül, eine Formel an jeder Stelle durch eine andere Formel ersetzt, so ist auch das Ergebnis ein korrekter Schluß“. Leibnizsches Ersetzungsprinzip

Zwei fundamentale Prinzipien von Prädikaten- und Aussagenlogik
Kalküle Zwei fundamentale Prinzipien von Prädikaten- und Aussagenlogik Zweiwertigkeitsprinzip (wahr/ falsch) Extensionalitätsprinzip „Nach dem Extensionalitätsprinzip hängt der Wahrheitswert einer Aussage nur von den Wahrheitswerten ihrer Bestandteile ab, nicht jedoch vom inhaltlichen Sinn (ihrer Intension).“

Kalküle Modus Ponens: 𝑝, 𝑝→𝑞 𝑞 Hilbert-Kalkül für AL: (p  p)  p q  (p  q) (p  q)  (p  q) (p  r)  ((p  q)  (r  q)) + Extensionalitätsprinzip + MP

Kalküle Sei K ein Kalkül, dann bedeutet Ⱶk die Ableitbarkeit in K. Es muß also unterschieden werden zwischen M╞ F (Folgerung, logische Wahrheit) und M ⱵkF (Ableitbarkeit in K, operationelles Schließen)

Kalküle Definition Ein Kalkül k heißt korrekt, wenn für alle Formelmengen M und Formeln F gilt: M Ⱶk F => M ╞ F. Ein Kalkül k heißt vollständig, wenn für alle Formelmengen M und Formeln F gilt: M ╞ F => M Ⱶk F.

Kalküle Ein Beispiel für einen korrekten und vollständigen Kalkül ist der SLD-Kalkül. Grundlegender Schluß: Seien M eine Formelmenge, q eine Anfrage. Gilt M╞ q, dann auch M   q ╞ false Modus Tollens: 𝑝 →𝑞, ¬𝑞 ¬𝑝

Da sich jede aussagenlogische Aussageform in eine kanonische konjunktive Normalform äquivalent umformen läßt, kann man ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit der angegebenen Definition die Prämisse auch in Form konjunktiv verknüpfter Volldisjunkte ausdrücken. Damit läßt sich die aussagenlogische Folgerung auch auch als Implikation in der Form A1  A2  … Am → A Darstellen, wobei jeder Ausdruck A1 bis Am in seiner KKNF-Form dargestellt wird.

Satz: A ist eine Folgerung aus A1, A2,…, Am genau dann, wenn die Implikation A1  A2  … Am → A allgemeingültig ist. Dann besteht die Implikation A1  A2  … Am  A .

Aus dem Satz folgt, daß die Erfüllungsmenge des Vordersatzes E(A1  A2  … An ) eine Teilmenge der Erfüllungsmenge des Hintergliedes E(A) ist. Definition: die Prämissenmenge { A1, A2,…,Am } heißt konsistent, wenn das Konjunkt ihrer Elemente A1, A2,…,Am keine Kontradiktion ist. Man nennt ferner A eine triviale Folgerung, wenn A eine Tautologie ist.

Zusammenhang Schlußfolgerung Maxterme
Satz: Seien A1, A2,…, Am n-stellige aussagenlogische Formeln. Besitzt dann das Konjunkt A1  A2  …  Am eine kanonische konjunktive Normalform mit k Maxtermen (0 ≤ k ≤ 2n), so gilt: Die Gesamtheit aller nichtrivialen Folgerungen besteht aus allen Maxtermen und allen Konjunkten der Maxterme. Es gibt genau 2k paarweise nicht-äquivalente Folgerungen aus den A1, A2, …, Am Ist A1  A2  …  Am eine Tautologie, so gibt es nur die triviale Folge.

Beispiel(unser Beispiel zur Herleitung der KKNF): A(a, b, c) = (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) Es ist k = 4. Damit ergeben sich genau 16 mögliche Folgerungen, die ab jetzt mit C1 bis C16 bezeichnet werden. Die Quadrupel, z.B. (1101), geben dabei immer die zu berücksichtigenden Terme an (1 Term ist vorhanden, 0 Term ist nicht vorhanden). Besonders bei einer großen Anzahl von Termen erweist sich dieses Verfahren als hilfreich.

(a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) C1: ( a   b  c) (0001) C2: ( a  b  c) (0010) C3: ( a  b  c)  ( a   b  c) (0011) C4: (a  b  c) (0100) C5: (a   b  c)  ( a   b  c) (0101) C6: (a   b  c)  ( a  b  c) (0110) C7: (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) (0111) C8: (a  b  c) (1000) C9: (a  b  c)  ( a   b  c) (1001) C10: (a  b  c)  ( a  b  c) (1010) C11: (a  b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) (1011) C12: (a  b  c)  (a   b  c) (1100) C13: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a   b  c) (1101) C14: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c) (1110) C15: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b  c)  ( a   b  c) (1111) C16: W (triviale Folge) (0000)

Beispiel Gegeben seien die Sätze a : Wolfgang lernt Logik. b : Wolfgang trifft sich mit Edelgard. c : Wolfgang geht tanzen.

Folgende Prämissen mögen gesetzt werden: A1: Wolfgang lernt Logik oder trifft sich mit Edelgard. A2: Wolfgang geht niemals mit Edelgard tanzen. A3: Entweder lernt Wolfgang Logik oder er geht tanzen. Man berechne, welche der folgenden Sätze C1 bis C4 eine Folgerung aus diesen Prämissen ist: C1: Wolfgang geht nie tanzen. C2: Wolfgang geht ohne Edelgard tanzen. C3: Auf keinen Fall lernt Wolfgang Logik und geht dabei tanzen. C4: Wolfgang lernt keine Logik und geht tanzen.

A1: Wolfgang lernt Logik oder trifft sich mit Edelgard. A2: Wolfgang geht niemals mit Edelgard tanzen. A3: Entweder lernt Wolfgang Logik oder er geht tanzen. Nach der Formalisierung ergibt sich: A1: a  b  (a  b  c)  (a  b   c) A2:  (b  c)  (a   b   c)  ( a   b   c) A3: (a   c)  ( a  c)  (a   a)  (a  c)  ( c   a)  (c   c)  (a  c)  ( a   c)  (a  (b   b)  c)  ( a  (b   b)   c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b   c)  ( a   b   c)

A1: (a  b  c)  (a  b   c) A2: (a   b   c)  ( a   b   c) A3: (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) A1  A2  A3  (a  b  c)  (a  b   c)  (a   b   c)  ( a   b   c)  (a  b  c)  (a   b  c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) (a  b  c)  (a   b  c)  (a  b   c)  (a   b   c)  ( a  b   c)  ( a   b   c)

Formalisierung der zu untersuchenden Schlüsse C1: Wolfgang geht nie tanzen.  c  (a  b   c)  (a   b   c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) C2: Wolfgang geht ohne Edelgard tanzen.  b  c  (a   b  c)  ( a   b  c)  (a   b   c)  ( a   b   c)  (a  b  c)  ( a  b  c)

Formalisierung der zu untersuchenden Schlüsse C3: Auf keinen Fall lernt Wolfgang Logik und geht dabei tanzen.  (a  c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) C4: Wolfgang lernt keine Logik und geht tanzen.  a  c  (a  b  c )  (a   b  c)  ( a  b  c )  ( a  b   c)  ( a   b  c)  ( a   b   c)

A1  A2  A3  (a  b  c)  (a   b  c)  (a  b   c)  (a   b   c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) C1: (a  b   c)  (a   b   c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) E(C1) ist Teilmenge von E(A1  A2  A3), daher ist C1 ein gültiger Schluß aus A1  A2  A3 C2: (a   b  c)  ( a   b  c)  (a   b   c)  ( a   b   c)  (a  b  c)  ( a  b  c) E(C2) ist keine Teilmenge von E(A1 A2  A3), da die Terme ( a   b  c) und ( a  b  c) nicht in E(A1  A2  A3) enthalten sind. C2 ist kein gültiger Schluß aus A1  A2  A3.

A1  A2  A3  (a  b  c)  (a   b  c)  (a  b   c)  (a   b   c)  ( a  b   c)  ( a   b   c) C3: ( a  b   c)  ( a   b   c) E(C3) ist eine Teilmenge von E(A1  A2  A3), daher ist C3 ein gültiger Schluß aus A1  A2  A3. C4: (a  b  c )  (a   b  c)  ( a  b  c )  ( a  b   c)  ( a   b  c)  ( a   b   c) E(C4) ist keine Teilmenge von E(A1  A2  A3), da die Terme ( a  b  c) und ( a   b  c) nicht in E(A1  A2  A3) enthalten sind. Daher ist C4 kein gültiger Schluß aus A1  A2  A3.

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