Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Geometrie II 2 Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de.

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1 Abiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Geometrie II 2 Lösungen

2 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Aufgabe II 2 In einem Koordinatensystem beschreibt die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene die Meeresober- fläche (1 LE entspricht 1 m). Zwei U-Boote 𝑈 1 und 𝑈 2 bewegen sich geradlinig jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. Die Position von 𝑈 1 zum Zeitpunkt 𝑡 ist gegeben durch 𝑥 = −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 (𝑡 in Minuten seit Beginn der Beobachtung). 𝑈 2 befindet sich zu Beobachtungsbeginn im Punkt 𝐴( −68) und erreicht nach drei Minuten den Punkt 𝐵(−202 −405 −248).

3 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Wie weit bewegt sich 𝑈 1 in einer Minute? Woran erkennen Sie, dass sich 𝑈 1 von der Meeresoberfläche weg bewegt? Welchen Winkel bildet die Route von 𝑈 1 mit der Meeresoberfläche? (4 VP) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von 𝑈 2 in m min . Begründen Sie, dass sich die Position von 𝑈 2 zum Zeitpunkt 𝑡 beschreiben lässt durch 𝑥 = −68 +𝑡∙ −90 −180 − Zu welchem Zeitpunkt befinden sich beide U-Boote in gleicher Tiefe? (4 VP)

4 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Welchen Abstand haben die beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn? Aus Sicherheitsgründen dürfen sich die beiden U-Boote zu keinem Zeitpunkt näher als 100 m kommen. Wird dieser Sicherheitsabstand eingehalten? (4 VP) Die Routen der beiden U-Boote werden von einem Satelliten ohne Berücksichtigung der Tiefe als Strecken aufgezeichnet. Diese beiden Strecken schneiden sich. Wie groß ist der Höhenunterschied der zwei Routen an dieser Stelle? (4 VP)

5 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Lösung: Wie weit bewegt sich 𝑼 𝟏 in einer Minute In einer Minute legt 𝑈 1 genau einmal die Länge des Richtungsvektors zurück. Es folgt −60 −90 −30 = − − − = ≈112,25. Ergebnis: 𝑈 1 legt in einer Minute etwa 112,25m zurück. Wegbewegung von der Meeresoberfläche Die Höhenkoordinate ist für jede Minute 𝑡 gegeben durch 𝑥 3 =−170−30𝑡. Mit größer werdendem 𝑡 nimmt 𝑥 3 immer mehr ab, d.h. 𝑈 1 entfernt sich von der Meeresoberfläche (nach unten). 𝑈 1 : 𝑥 = −170 +𝑡∙ −60 −90 −30

6 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Winkel zwischen der Route von 𝑼 𝟏 und der Meeresoberfläche 𝐸: 𝑥 3 =0 ist eine Gleichung die 𝑥 1 𝑥 2 -Ebene (der Meeresoberfläche). Winkelformel Gerade/Ebene: sin 𝛼 = 𝑛 ⋅ 𝑢 𝑛 ⋅ 𝑢 wobei 𝑢 der Richtungsvektor der Geraden und 𝑛 der Normalenvektor der Ebene ist. Es gilt 𝑛 = und 𝑢 = −60 −90 −30 und somit 𝑛 =1, 𝑢 =112,25 und 𝑛 ⋅ 𝑢 = 0⋅ −60 +0⋅ −90 +1⋅ −30 =30. Es folgt sin 𝛼 = ,25 ≈0,267. Mit dem GTR erhält man 𝛼≈15,5°. Ergebnis: Der Winkel zwischen der Route von 𝑈 1 und dem Meeresspiegel beträgt etwa 15,5°.

7 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
𝐴( −68) 𝐵(−202 −405 −248) Geschwindigkeit von 𝑼 𝟐 Es gilt 𝐴𝐵 = −202 −405 −248 − −68 = −270 −540 − = − − − =630 In 3 Minuten werden 630m zurückgelegt, in einer Minute sind es dann 210m. Ergebnis: 𝑈 2 hat eine Geschwindigkeit von 210 m min .

8 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
𝑈 2 : 𝑥 = −68 +𝑡∙ −90 −180 −60 Begründung für die Geradengleichung von 𝑼 𝟐 In der Geradengleichung ist der Ortsvektor von A der Stützvektor. Einen Richtungsvektor habe wir oben mit 𝐴𝐵 = −270 −540 −180 bestimmt. Wenn wir durch 3 teilen, ändert sich dadurch lediglich die Länge des Richtungsvektors aber nicht die Richtung. Daher ist 𝑢 = −90 −180 −60 wie in der Geradengleichung ebenfalls ein möglicher Richtungsvektor. 𝐴( −68)

9 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
𝑈 1 : 𝑥 = −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 Zeitpunkt für gleiche Tiefe Höhenkoordinaten von 𝑈 1 : 𝑥 3 =−170−30𝑡 Höhenkoordinaten von 𝑈 2 : 𝑥 3 =−68−60𝑡 Gleichsetzen und t bestimmen: −170−30𝑡=−68−60𝑡 ⇒ 30𝑡=102 ⇒ 𝑡=3,4 Ergebnis: Nach 3,4 Minuten befinden sich 𝑈 1 und 𝑈 2 in gleicher Tiefe. 𝑈 2 : 𝑥 = −68 +𝑡∙ −90 −180 −60

10 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
𝑈 1 : 𝑥 = −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 c) Abstand der beiden U-Boote zu Beobachtungsbeginn Zu Beobachtungsbeginn befindet sich 𝑈 1 im Punkt 𝐶 −170 und 𝑈 2 im Punkt 𝐴 −68 . Der Abstand dieser beiden Punkte ist 𝐴𝐶 = −170 − −68 = 72 −30 −102 = − −102 2 ≈128,4 Ergebnis: Bei Beobachtungsbeginn haben die U-Boote einen Abstand von etwa 128,4m.

11 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Werden die Sicherheitsbestimmungen eingehalten? Aus der Geradengleichung liest man ab, dass 𝑈 1 sich zum Zeitpunkt 𝑡 im Punkt 𝑃 𝑡 140−60𝑡 105−90𝑡 −170−30𝑡 und 𝑈 2 im Punkt 𝑄 𝑡 68−90𝑡 135−180𝑡 −68−60𝑡 68−90𝑡 135−180𝑡 −68−60𝑡 befindet. Der Abstand ist 𝑑 𝑡 = 𝑃𝑄 = 68−90t 135−180t −68−60t − 140−60t 105−90t −170−30t = −72−30t 30−90t 102−30t = −72−30t −90t −30t 2 Das Minimum dieses Abstands lässt sich mit dem GTR bestimmen. 𝑈 1 : 𝑥 = −170 +𝑡∙ −60 −90 −30 𝑈 2 : 𝑥 = −68 +𝑡∙ −90 −180 −60

12 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Geben Sie obigen Ausdruck bei Y1 im GTR ein uns lassen Sie sich den Graphen im 𝑥-Intervall 0;100 und im 𝑦-Intervall 0;300 zeichnen. Mit {2ND CALC minimum} bestimmen Sie im Intervall 0;100 den minimalen Abstand der beiden U-Boote. Sie erhalten bei 𝑡=0,32 den Wert 123,28. Hinweis: Streng genommen ist dies noch kein Beweis dafür, dass die Sicherheitsbestimmungen eingehalten werden, da wir mit dem GTR nur den Zeitabschnitt zwischen 0 und 100 Minuten untersucht haben. Formal müssten wir 𝑑′ 𝑡 =0 setzen und damit das Minimum finden. Das Ergebnis ist dasselbe, wir ersparen uns aber hier die Details. Ergebnis: Der minimale Abstand zwischen den beiden U-Booten beträgt 123,28m, d.h. die Sicherheitsbestimmungen werden eingehalten.

13 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Höhenunterschied Ohne Berücksichtigung der Tiefenkoordinate sind die Geradengleichungen für die U-Boote wie folgt gegeben: U 1 : 𝑥 = 𝑠⋅ −60 −90 und U 2 : 𝑥 = 𝑡⋅ −90 −180 ; 𝑠,𝑡∈ℝ Gleichsetzen liefert: 𝑠⋅ −60 −90 = 𝑡⋅ −90 −180 ⇔ 72 −30 =𝑠⋅ 𝑡⋅ −90 −180

14 Wahlteil 2012 – Geometrie II 2
Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem: I. 60𝑠−90𝑡 = 72 II. 90𝑠−180𝑡 = −30 Lösung: 𝑠=5,8 und 𝑡=3,067 (ermittelt mit dem GTR). Die 𝑥 3 -Koordinate von 𝑈 1 erhalten Sie, indem Sie den Wert 5,8 in die Geradengleichung einsetzen. Es gilt 𝑥 3 =−344. Analog erhalten Sie die 𝑥 3 -Koordinate für 𝑈 2 mit 𝑥 3 =−252. Der Höhenunterschied beträgt dann −252− −344 =92. Ergebnis: Der Höhenunterschied der beiden U-Boote beträgt 92m.