Algorithmen für geographische Informationssysteme

Algorithmen für geographische Informationssysteme
Least Squares Adjustment

Carl Friedrich Gauß (1777 Braunschweig – 1855 Göttingen)

Ausgleichungsrechnung

( …, …) 5 89.99…° 36,87° 90° (0, 0) 4 (4, 0)

(4, …) … 5 36,87° 90° (0, 0) 4 (4, 0)

( …, …) 5 36,87° 90° (0, 0) 4 ( …, 0) …

Gaußsche Gradmessung, Ablesegenauigkeit: 4 Bogensekunden

Gaußsche Gradmessung, Ablesegenauigkeit: 4 Bogensekunden Grundidee: Redundante Messung zur Steigerung der Genauigkeit

Gaußsche Gradmessung, Ablesegenauigkeit: 4 Bogensekunden Grundidee: Redundante Messung zur Steigerung der Genauigkeit Genauigkeit nach Ausgleichung: 0.5 Bogensekunden

Problemdefinition Gegeben
ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) a function 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 that, given the true unknowns 𝑿 , yields the true observations as 𝑳 =𝛷 𝑿 . finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 .

normalerweise: 𝑛> nötig
Problemdefinition Gegeben ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) a function 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 that, given the true unknowns 𝑿 , yields the true observations as 𝑳 =𝛷 𝑿 . finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 . normalerweise: 𝑛> nötig

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 .

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert. find vector 𝒙 of 𝑢 unknowns (coordinates) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 . Beispiel: 𝑥 3 , 𝑦 3 𝑑 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 =𝛷 𝑥,𝑦 = 𝑥 1 −𝑥 𝑦 1 −𝑦 𝑥 2 −𝑥 𝑦 2 −𝑦 𝑥 3 −𝑥 𝑦 3 −𝑦 2 𝑥,𝑦 𝑑 1 𝑑 2 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑥 2 , 𝑦 2

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert. find vector 𝒙 of 𝑢 unknowns (coordinates) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 . Beispiel: 𝑥 3 , 𝑦 3 𝑑 3 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 =𝛷 𝑥,𝑦 = 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 𝑥−𝑥 𝑦−𝑦 3 2 𝑥,𝑦 𝑑 1 𝑑 2 𝑥 1 , 𝑦 1 𝑥 2 , 𝑦 2

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) such that that 𝒗 𝑇 𝒗 is minimal, where 𝒗= 𝑳 −𝑳 and 𝑳 =𝛷 𝒙 .

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) und Vektor 𝑳 =𝑳+𝒗 von ausgeglichenen Beobachtungen such that 𝑳 =𝛷 𝑿 and 𝒗 T 𝒗 is minimal.

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) und Vektor 𝑳 =𝑳+𝒗 von ausgeglichenen Beobachtungen so dass 𝑳 =𝛷 𝑿 gilt und 𝒗 T 𝒗 minimal ist.

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) und Vektor 𝑳 =𝑳+𝒗 von ausgeglichenen Beobachtungen so dass 𝑳 =𝛷 𝑿 gilt und 𝒗 T 𝒗 minimal ist. Methode der kleinsten Quadrate

ein Vektor 𝑳 von 𝑛 Beobachtungen (Strecken, Winkel,...) eine Funktion 𝛷: ℝ 𝑢 → ℝ 𝑛 , die für wahre Unbekannte 𝑿 die wahren Beobachtungen durch 𝑳 =𝛷 𝑿 liefert finde Vektor 𝑿 von 𝑢 Unbekannten (Koordinaten) und Vektor 𝑳 =𝑳+𝒗 von ausgeglichenen Beobachtungen so dass 𝑳 =𝛷 𝑿 gilt und 𝒗 T 𝑷𝒗 minimal ist. Methode der kleinsten Quadrate

Spezialfall: Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell (= linearer Zusammenhang zwischen Beobachtungen & Unbekannten) 𝑳 =𝛷 𝑿 =𝑨 𝑿

Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell
𝑳 =𝛷 𝑿 =𝑨 𝑿 Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑳= 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 mit 𝐿 𝑖 =𝑖-te Messung der Strecke Gesucht: Ausgeglichene Strecke 𝑋 , Verbesserungen 𝒗 Bedingung: 𝑳 =𝑳+𝒗=𝑨 𝑋 = 1 ⋮ 1 𝑋 und 𝒗 𝑇 𝒗→Min

Lösung… 𝑨 𝑿 = 𝑳 = 𝑳 + 𝒗 𝒗 = 𝑨 𝑿 −𝑳 Minimiere 𝒗 𝑇 𝒗… ⇒ 𝒗 𝑇 𝒗 = 𝑨 𝑿 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 −𝑳 = 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑳+ 𝑳 𝑇 𝑳 notwendige Bedingung für Optimum: Gradient der Zielfunktion = Nullvektor

Lösung… 𝐹( 𝑿 ) = 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑳+ 𝑳 𝑇 𝑳 grad 𝐹 𝑿 = 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 1 ⋮ 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 𝑢 =2 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑨 𝑇 𝑳 notwendige Bedingung für Optimum: Gradient der Zielfunktion = Nullvektor

Lösung… 𝐹( 𝑿 ) = 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑳+ 𝑳 𝑇 𝑳 grad 𝐹 𝑿 = 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 1 ⋮ 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 𝑢 =2 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑨 𝑇 𝑳=𝟎 ! notwendige Bedingung für Optimum: Gradient der Zielfunktion = Nullvektor

Lösung… 𝐹( 𝑿 ) = 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑳+ 𝑳 𝑇 𝑳 grad 𝐹 𝑿 = 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 1 ⋮ 𝜕𝐹 𝜕 𝑋 𝑢 =2 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑨 𝑇 𝑳=𝟎 ⟺ 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 ! 𝑨 𝑇 𝑨𝑥= 𝑨 𝑇 𝑏 Gauß-Normalgleichung Lösung durch Gaußsches Eliminationsverfahren

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑳= 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 mit 𝐿 𝑖 =𝑖-te Messung der Strecke Gesucht: Ausgeglichene Strecke 𝑋 , Verbesserungen 𝒗 Bedingung: 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 𝑳 =𝑳+𝒗=𝑨 𝑋 = 1 ⋮ 1 𝑋 und 𝒗 𝑇 𝒗→Min

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛 𝑨 𝑇 𝑳= 1,…,1 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 =

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛 𝑨 𝑇 𝑳= 1,…,1 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛 𝑨 𝑇 𝑳= 1,…,1 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 𝑨 𝑇 𝑨 𝑋 = 𝑨 𝑇 𝑳 ⟹ 𝑛 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛 𝑨 𝑇 𝑳= 1,…,1 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 𝑨 𝑇 𝑨 𝑋 = 𝑨 𝑇 𝑳 ⟹ 𝑛 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 ⟺ 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 𝑛

Beispiel 1: Mehrfache Beobachtung einer Strecke 𝑨 𝑇 𝑨= 1,…,1 1 ⋮ 1 =𝑛 𝑨 𝑇 𝑳= 1,…,1 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 𝑨 𝑇 𝑨 𝑋 = 𝑨 𝑇 𝑳 ⟹ 𝑛 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 ⟺ 𝑋 = 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 𝑛 Ausgleichung entspricht Berechnung des Mittelwerts!

immer lösbar? wirklich optimal? optimale Lösung eindeutig?

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Zielfunktion 𝑣 𝑇 𝑣 =𝐹( 𝑿 )= 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 −2 𝑿 𝑇 𝑨 𝑇 𝑳+ 𝑳 𝑇 𝑳

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal).

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥−7

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥−7 = 𝑥 2 +6𝑥+9−16

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥−7 = 𝑥 2 +6𝑥+9−16 = 𝑥 −16

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥−7 = 𝑥 2 +6𝑥+9−16 = 𝑥 −16 = 𝜉 2 −16 mit 𝜉=𝑥+3

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 = 𝑎 𝑥+ 𝑏 2𝑎 2 +(𝑐− 𝑏 2 4𝑎 )

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Da 𝐹 𝑿 = 𝒗 𝑇 𝒗 gilt 𝐹 𝑿 ≥0. Also hat 𝐹 die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 2 +𝛾 mit 𝛼 1 ,…, 𝛼 𝑢 ,𝛾≥0.

Satz: Die Funktion 𝐹 hat immer eine Minimalstelle. Jede quadratische Funktion in den Variablen 𝑋 1 ,…, 𝑋 𝑢 lässt sich durch Drehung und Verschiebung des Koordinatensystems in die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑟 𝜉 𝑟 2 + 𝛼 𝑟+1 𝜉 𝑟+1 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 +𝛾 bringen (d.h. keine gemischten Terme, jede Variable nur einmal). Da 𝐹 𝑿 = 𝒗 𝑇 𝒗 gilt 𝐹 𝑿 ≥0. Also hat 𝐹 die Normalform 𝑓 𝜉 1 ,…, 𝜉 𝑢 = 𝛼 1 𝜉 1 2 +…+ 𝛼 𝑢 𝜉 𝑢 2 +𝛾 mit 𝛼 1 ,…, 𝛼 𝑢 ,𝛾≥0. Damit ist der Punkt 𝜉 1 =⋯= 𝜉 𝑢 =0 eine Minimalstelle. Der Funktionswert an dieser Stelle ist 𝛾.

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. D.h. für jede Lösung 𝑿 der Gauß-Normalgleichung ist 𝒗 𝑇 𝒗 global minimal.

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +2 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳 + 𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +2 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳 + 𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳 =0

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 + 𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 + 𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝐹 𝑿 0

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist hinreichend. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 + 𝑨 𝑿 0 −𝑳 𝑇 𝑨 𝑿 0 −𝑳 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝐹 𝑿 0 ≥𝐹 𝑿 0

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist eindeutig lösbar, wenn rang 𝐴 =𝑢.

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist eindeutig lösbar, wenn rang 𝐴 =𝑢. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt: 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝐹 𝑿 0 ≥𝐹 𝑿 0

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist eindeutig lösbar, wenn rang 𝐴 =𝑢. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt: 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝐹 𝑿 0 ≥𝐹 𝑿 0 Wenn 𝐹 𝑿 =𝐹 𝑿 0 , dann: 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 =0 ⇔ 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 =𝑨 𝑿− 𝑿 0 =𝟎

Satz: Die Gauß-Normalgleichung ist eindeutig lösbar, wenn rang 𝐴 =𝑢. Sei 𝑿 0 ∈ ℝ 𝑢 eine Lösung der Gauß-Normalgleichung. Für jedes 𝑿∈ ℝ 𝑢 gilt: 𝐹 𝑿 = 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 +𝐹 𝑿 0 ≥𝐹 𝑿 0 Wenn 𝐹 𝑿 =𝐹 𝑿 0 , dann: 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 𝑇 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 =0 ⇔ 𝑨𝑿−𝑨 𝑿 0 =𝑨 𝑿− 𝑿 0 =𝟎 mit rang 𝐴 =𝑢 ⇒ 𝑿= 𝑿 0

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Nivelliergerät Quelle: wikipedia

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑃 2 Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 3 Δℎ 4,2 =5.4 m Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 ℎ 1 =0 m Gesucht: ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑳= Δℎ 1,2 Δℎ 2,3 Δℎ 3,4 Δℎ 4,1 Δℎ 4,2 = 4.1 − m 𝑃 2 Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 3 Δℎ 4,2 =5.4 m Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 ℎ 1 =0 m Gesucht: ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑳= Δℎ 1,2 Δℎ 2,3 Δℎ 3,4 Δℎ 4,1 Δℎ 4,2 = 4.1 − m 𝑃 2 Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 3 Δℎ 4,2 =5.4 m Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m 𝑿 = ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 ℎ 1 =0 m 𝜱 𝑿 = 𝑳 Gesucht: ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑳= Δℎ 1,2 Δℎ 2,3 Δℎ 3,4 Δℎ 4,1 Δℎ 4,2 = 4.1 − m 𝑿 = ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 2 ℎ 4 − ℎ 3 − ℎ 4 ℎ 2 − ℎ 4 𝜱 𝑿 = 𝑳 =

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑳= Δℎ 1,2 Δℎ 2,3 Δℎ 3,4 Δℎ 4,1 Δℎ 4,2 = 4.1 − m 𝑿 = ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 𝑨 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 2 ℎ 4 − ℎ 3 − ℎ 4 ℎ 2 − ℎ 4 = − − −1 1 0 −1 ⋅ ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 𝜱 𝑿 = 𝑳 =

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝑳= Δℎ 1,2 Δℎ 2,3 Δℎ 3,4 Δℎ 4,1 Δℎ 4,2 = 4.1 − m Gauß-Normalgleichung: 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 𝑿 = ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 𝑨 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 2 ℎ 4 − ℎ 3 − ℎ 4 ℎ 2 − ℎ 4 = − − −1 1 0 −1 ⋅ ℎ 2 ℎ 3 ℎ 4 𝜱 𝑿 = 𝑳 =

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Gauß-Normalgleichung: 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 𝑨 1 0 0 − − −1 1 0 −1 1 − − −1 −1 3 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 𝑨 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Gauß-Normalgleichung: 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 𝑳 4.1 − m 1 − − −1 −1 3 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 16.5 −8.1 − m 𝑨 𝑇 𝑨 𝑇 𝑨 𝑨 𝑇 𝑳

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Gauß-Normalgleichung: 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 3 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 16.5 −8.1 − m ⋅ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑨 𝑨 𝑇 𝑳

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Gauß-Normalgleichung: 4.2 m −2.6 m Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 2 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳 𝑃 3 Δℎ 4,2 =5.4 m Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 0 m −1.3 m 3 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 16.5 −8.1 − m 4.2 −2.6 − m ⋅ 𝑿 = ⇒ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑨 𝑨 𝑇 𝑳

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: 𝑳 =𝑨 𝑿 𝑿 4.2 −2.6 − m 1 0 0 − − −1 1 0 −1 4.2 − m 𝑨 𝑳

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: 𝑳 =𝑨 𝑿 𝑿 Δℎ 2,3 =−7.0 m 4.2 −2.6 − m 𝑃 2 𝑃 3 1 0 0 − − −1 1 0 −1 4.2 − m Δℎ 4,2 =5.4 m Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 𝑨 𝑳 0 m

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: 𝑳 =𝑨 𝑿 𝑿 −6.8 Δℎ 2,3 =−7.0 m 4.2 −2.6 − m 𝑃 2 𝑃 3 5.5 1 0 0 − − −1 1 0 −1 4.2 − m 1.3 Δℎ 4,2 =5.4 m 4.2 Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m 1.3 Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 𝑨 𝑳 0 m

Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen Ausgeglichene Beobachtungen: 𝑳 =𝑨 𝑿 𝑿 −6.8 4.2 m −2.6 m Δℎ 2,3 =−7.0 m 4.2 −2.6 − m 𝑃 2 𝑃 3 5.5 1 0 0 − − −1 1 0 −1 4.2 − m 1.3 Δℎ 4,2 =5.4 m 4.2 Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m 1.3 Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 𝑨 𝑳 0 m −1.3 m

Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell (1)
Wenn 𝑳 =𝛷 𝑿 =𝑨 𝑿 dann erfüllt Optimum 𝑨 T 𝑨 𝑿 =𝑨 𝑳

Ausgleichung bei linearem funktionalen Modell (2)
Wenn 𝑳 =𝛷 𝑿 =𝛷 𝑿 0 +𝑨 𝑿 − 𝑿 0 dann erfüllt Optimum 𝑨 T 𝑨 𝒙 =𝑨ℓ mit ℓ=𝑳−𝛷 𝑿 0 und 𝑿 = 𝑿 0 + 𝒙 .

Der Ausgleichungsalgorithmus
Welche Beobachtungen liegen vor? Vektor 𝑳, 𝑛 Elemente Welche Unbekannte sind gesucht? Vektor 𝑿 , 𝑢 Elemente Wie ließen sich die wahren Beobachtungen 𝑳 bei gegebenen wahren Unbekannten 𝑿 berechnen? funktionales Modell 𝜱: 𝑿 ⟼ 𝑳 bzw. 𝑳 =𝜱 𝑿 =𝑨 𝑿 Designmatrix 𝑨, 𝑛 Zeilen, 𝑢 Spalten Zeile 𝑖, Spalte 𝑗: Ableitung von 𝐿 𝑖 nach 𝑋 𝑗 4. Löse Normalgleichung 𝑨 𝑇 𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑳. Liefert ausgeglichene Unbekannte 𝑿

Genauigkeit Quelle: wikipedia

Genauigkeit Jede Beobachtung ist die Realisierung einer
Zufallsvariablen 𝑋. Gelegentlich ist eine a-priori-Genauigkeit der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz 𝜎 2 :=E 𝑋−E 𝑋 Quelle: wikipedia Erwartungswert

Genauigkeit Jede Beobachtung ist die Realisierung einer
Zufallsvariablen 𝑋. Gelegentlich ist eine a-priori-Genauigkeit der Beobachtung bekannt, gegeben als Varianz 𝜎 2 :=E 𝑋−E 𝑋 Quelle: wikipedia Bei mehreren Beobachtungen (Vektor 𝑳): Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 .

Genauigkeit Bei mehreren Beobachtungen (Vektor 𝑳):
Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 . Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜎

Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 . Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜎 Varianzen

Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 . Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜎 Kovarianzen

Korrelationskoeffizienten
Genauigkeit Bei mehreren Beobachtungen (Vektor 𝑳): Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 . Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜎 Korrelationskoeffizienten −1 ≤𝜌 12 ≤1 Maß für stochastische Abhängigkeit

Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 :=E 𝑿−E 𝑿 ⋅ 𝑿−E 𝑿 𝑇 . Bei zwei Beobachtungen: Kovarianzmatrix Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜌 12 ⋅𝜎 1 ⋅ 𝜎 2 𝜎 In der Regel: Σ 𝑳𝑳 = 𝜎 𝜎

Genauigkeit 𝜮 𝑳𝑳 oft schwer a priori abzuschätzen,
aber Genauigkeitsrelationen bekannt: 𝜮 𝑳𝑳 = 𝜎 0 2 ⋅𝑸 𝑳𝑳 Varianz der Gewichtseinheit (unbekannte Konstante) Kofaktormatrix (lässt sich gut abschätzen)

Genauigkeit Ausgleichungsziel: 𝒗 𝑇 𝒗→Min

Genauigkeit Ausgleichungsziel: 𝒗 𝑇 𝒗→Min 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min mit 𝑷 = 𝑸 −1
Quelle: wikipedia Verbesserungen genauer Beobachtungen werden besonders bestraft.

Genauigkeit Ausgleichungsziel: Gauß-Normalgleichung: 𝒗 𝑇 𝒗→Min
mit 𝑷 = 𝑸 −1 Gauß-Normalgleichung: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳

Genauigkeit Beispiel 1: 𝜎 0 2 lässt sich mittels 𝒗 abschätzen.
𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 ist ein erwartungstreuer Schätzer für 𝜎 0 2 . (ohne Beweis) Beispiel 1: 𝒗=𝑨 𝑿 −𝑳= 1 ⋮ 1 𝑋 − 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑋 −𝐿 1 ⋮ 𝑋 − 𝐿 𝑛 Stichprobenvarianz 𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 = 𝒗 𝑻 𝒗 𝑛−1 = 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝐿 𝑖 𝑛−1

Genauigkeit 𝜎 0 2 sagt etwas darüber aus, wie genau meine einzelnen Messungen sind. Beim nächsten Mal: Wie genau sind die Unbekannten die Beobachtungen

Kovarianzfortpflanzungsgesetz
Genauigkeit Wie genau sind Größen, die aus Beobachtungen abgeleitet wurden? Kovarianzfortpflanzungsgesetz

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors 𝒇 𝜮 𝒇𝒇

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 Gesucht: Kovarianzmatrix des Vektors 𝒇 𝜮 𝒇𝒇 Beispiel: 𝐿 1 𝐿 2 𝑓= 𝑙 1 +𝑙 2 = 𝐿 1 𝐿 2 𝜮 𝑳𝑳 = [ cm 2 ]

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =E 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 𝑇

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =E 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 𝑇 =E 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 𝑇 Linearität des Erwartungswerts!

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =E 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 𝑇 =E 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 𝑇 =E 𝑭⋅ 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 ⋅ 𝑭 𝑇 Linearität des Erwartungswerts!

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =E 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 𝑇 =E 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 𝑇 =E 𝑭⋅ 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 ⋅ 𝑭 𝑇 =𝑭⋅E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 ⋅ 𝑭 𝑇 Linearität des Erwartungswerts!

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =E 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−E 𝑭𝑳 𝑇 =E 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 ⋅ 𝑭𝑳−𝑭E 𝑳 𝑇 =E 𝑭⋅ 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 ⋅ 𝑭 𝑇 =𝑭⋅E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 ⋅ 𝑭 𝑇 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑇 Linearität des Erwartungswerts!

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑇

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Gegeben: Kovarianzmatrix des Vektors 𝑳 Vektor 𝒇 als lin. Funktion von 𝑳 =E 𝑳−E 𝑳 ⋅ 𝑳−E 𝑳 𝑇 𝜮 𝑳𝑳 𝒇=𝑭𝑳 𝜮 𝒇𝒇 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑇 𝑓= 𝐿 1 +𝐿 2 = 𝐿 1 𝐿 2 𝜮 𝑳𝑳 = [ cm 2 ] Beispiel: 𝜮 𝒇𝒇 = cm cm = 7 cm 2

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz für 𝑿 ? Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min:

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz für 𝑿 ? Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 ⟺ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑳

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 ⟺ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑳

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 ⟺ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 Also: 𝜮 𝑿 𝑿 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑻

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 ⟺ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 Also: mit 𝜮 𝑿 𝑿 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑻 𝑭= 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 ⟺ 𝑿 = 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑳 Also: mit 𝜮 𝑿 𝑿 =𝑭 𝜮 𝑳𝑳 𝑭 𝑻 = 𝜎 0 2 𝑭 𝑸 𝑳𝑳 𝑭 𝑻 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷 𝑸 𝑳𝑳 𝑭 𝑻 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑭 𝑻 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑭= 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 𝑨 𝑇 𝑷

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: Genauigkeit der ausgeglichenen Unbekannten: 𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: Genauigkeit der ausgeglichenen Unbekannten: 𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 Genauigkeit der ausgeglichenen Beobachtungen: 𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻 wegen 𝑳 =𝑨 𝑿

Genauigkeit Problem: Berechnung von 𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 0 2 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1
𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 erfordert Kenntnis von 𝜎 0 2 . Lösung: Schätze 𝜎 0 2 durch Ausgleichung (Kenntnis von Genauigkeitsrelationen 𝑸 𝑳𝑳 vorausgesetzt)

Genauigkeit 𝜎 0 2 lässt sich mittels 𝒗 abschätzen. 𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢
𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 ist ein erwartungstreuer Schätzer für 𝜎 0 2 . (ohne Beweis)

𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 ist ein erwartungstreuer Schätzer für 𝜎 0 2 . (ohne Beweis) Beispiel 1: 𝒗=𝑨 𝑿 −𝑳= 1 ⋮ 1 𝑋 − 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑋 −𝐿 1 ⋮ 𝑋 − 𝐿 𝑛

𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 ist ein erwartungstreuer Schätzer für 𝜎 0 2 . (ohne Beweis) Beispiel 1: 𝒗=𝑨 𝑿 −𝑳= 1 ⋮ 1 𝑋 − 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑋 −𝐿 1 ⋮ 𝑋 − 𝐿 𝑛 𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 = 𝒗 𝑻 𝒗 𝑛−1 = 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝐿 𝑖 𝑛−1

𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 ist ein erwartungstreuer Schätzer für 𝜎 0 2 . (ohne Beweis) Beispiel 1: 𝒗=𝑨 𝑿 −𝑳= 1 ⋮ 1 𝑋 − 𝐿 1 ⋮ 𝐿 𝑛 = 𝑋 −𝐿 1 ⋮ 𝑋 − 𝐿 𝑛 Stichprobenvarianz 𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 = 𝒗 𝑻 𝒗 𝑛−1 = 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝐿 𝑖 𝑛−1

Beweis für Spezialfall Mittelwert
Genauigkeit Beweis für Spezialfall Mittelwert 𝐸 𝜎 =𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝐿 𝑖 𝑛−1

Beweis für Spezialfall Mittelwert
Genauigkeit Beweis für Spezialfall Mittelwert 𝐸 𝜎 =𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝐿 𝑖 𝑛−1 = 1 𝑛−1 𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝜇+𝜇−𝐿 𝑖 2 = 1 𝑛−1 𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝜇 2 −2 𝑋 −𝜇 𝐿 𝑖 −𝜇 + 𝐿 𝑖 −𝜇 2 = 1 𝑛−1 𝐸 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝜇 2 −2 𝑖=1 𝑛 𝑋 −𝜇 𝐿 𝑖 −𝜇 + 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 −𝜇 2 = 1 𝑛−1 𝐸 𝑛 𝑋 −𝜇 2 −2𝑛 𝑋 −𝜇 𝑋 −𝜇 + 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 −𝜇 2 = 1 𝑛−1 𝐸 𝑖=1 𝑛 𝐿 𝑖 −𝜇 2 − 𝑛 𝑋 −𝜇 2 = 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑛 𝐸 𝐿 𝑖 −𝜇 2 −𝑛𝐸 𝑋 −𝜇 2 = 1 𝑛−1 𝑛 𝜎 0 2 −𝑛 𝜎 𝑋 2 = 1 𝑛−1 𝑛 𝜎 0 2 −𝑛 𝜎 0 2 𝑛 = 𝜎 0 2 𝜇=𝐸 𝑋

Genauigkeit Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen 𝜎 0 =0.23 m
𝒗= 𝑳 −𝑳 = 4.2 − m − 4.1 − m = m −6.8 Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 2 𝑃 3 5.5 1.3 Δℎ 4,2 =5.4 m 𝜎 0 2 = 𝒗 𝑻 𝑷𝒗 𝑛−𝑢 = m 2 5−3 = m 2 4.2 Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m 1.3 Δℎ 4,1 =1.2 m 𝜎 0 =0.23 m 𝑃 1 𝑃 4

Genauigkeit Beispiel 2: Ausgleichung von Höhendifferenzen
𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 0 2 ⋅ 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 = m 2 ⋅ = m 2

𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 0 2 ⋅ 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 = m 2 ⋅ = m 2 𝜎 ℎ 2 = 𝜎 ℎ 4 = m 2 =0.185 m 𝜎 ℎ 3 = m 2 =0.235 m

−6.8 4.2 m −2.6 m Δℎ 2,3 =−7.0 m 𝑃 2 𝑃 3 5.5 1.3 Δℎ 4,2 =5.4 m 4.2 Δℎ 3,4 =1.1 m Δℎ 1,2 =4.1 m 1.3 Δℎ 4,1 =1.2 m 𝑃 1 𝑃 4 0 m −1.3 m 𝜎 ℎ 2 = 𝜎 ℎ 4 = m 2 =0.185 m 𝜎 ℎ 3 = m 2 =0.235 m

Genauigkeit 𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻
𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻 = − − − − − − − − − − − − − − − − m 2

Genauigkeit Genauigkeitsgewinn durch Ausgleichung 𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻
𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻 = − − − − − − − − − − − − − − − − m 2 𝜎 Δℎ 1,2 = 𝜎 Δℎ 2,3 = 𝜎 Δℎ 3,4 = 𝜎 Δℎ 4,1 = m 2 =0.185 m 𝜎 Δℎ 4,2 = m 2 =0.166 m Genauigkeitsgewinn durch Ausgleichung Vergleich: 𝜎 0 =0.23 m ⟶

Genauigkeit Kovarianzfortpflanzungsgesetz Ausgleichung mit Ziel 𝒗 𝑇 𝑷𝒗→Min: Genauigkeit der ausgeglichenen Unbekannten: 𝜮 𝑿 𝑿 = 𝜎 𝑨 𝑇 𝑷𝑨 −1 Genauigkeit der ausgeglichenen Beobachtungen: 𝜮 𝑳 𝑳 =𝑨 𝜮 𝑿 𝑿 𝑨 𝑻 wegen 𝑳 =𝑨 𝑿

Literatur Meyberg, K. & Vachenauer, P. (1997): Höhere Mathematik 1, Springer, Berlin. Niemeier, W. (2008): Ausgleichungsrechnung, de Gruyter, Berlin. Torge, W. (2009): Geschichte der Geodäsie in Deutschland, de Gruyter, Berlin.

Algorithmen für geographische Informationssysteme

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