Determinanten und Cramer‘sche Regel

Präsentation zum Thema: "Determinanten und Cramer‘sche Regel"—  Präsentation transkript:

1 Determinanten und Cramer‘sche Regel
von Jasmin Boeß

2 Gliederung Wozu benötigen wir Determinanten?
Herleitung der Cramer‘schen Regel Was ist eine Determinante? Cramer‘sche Regel (2x2 Matrizen) Übungsbeispiele Regel von Sarrus Cramer‘sche Regel (3x3 Matrizen)

3 Wozu benötigen wir Determinanten?
zum Lösen von Gleichungssystemen Gauss-Verfahren Bsp: 2x1 – 3x2 = | *7 7x1 + 5x2 = | *2 2x x2 = 5 - 31x2 = 17 x2 = 17/-31 x1 = 52/31 -

4 Herleitung der Cramer‘schen Regel (2x2 Matrix)
I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a22 II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a12 Ia: a11a22x1 + a12a22x2 = a22b1 IIa: a21a12x1 + a22a12x2 = a12b2 a11a22x1 – a21a12x1 = a22b1 – a12b2 x1(a11a22-a21a12) = a22b1 – a12b2 x1 = Ia – IIa a22b1 – a12b2 a11a22-a21a12

5 Herleitung der Cramer‘schen Regel (2x2 Matrix)
I: a11x1 + a12x2 = b1 | *a21 II: a21x1 + a22x2 = b2 | *a11 Ia: a11a21x1 + a12a21x2 = a21b1 IIa: a21a11x1 + a22a11x2 = a11b2 a22a11x2 – a12a21x2 = a11b2 – a21b1 x2(a22a11-a12a21) = a11b2 – a21b1 x2 = IIa – Ia a11b2 – a21b1 a22a11-a12a21

6 Was ist eine Determinante?
Definition Eine Determinante ordnet einer (n;n)-Matrix A eindeutig eine reelle oder komplexe Zahl det A zu. Schreibweise ● = a11 a12 => Determinante a11a22-a12a21 a21 a22 - +

7 Cramer‘sche Regel a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2
a22b1 - a12b2 a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 a11a22 - a21a12 a11b2 - a21b1 a22a11 - a12a21 inhomogene Gleichungssysteme; LGS mit genau einer Lösung b1 a12 b2 a22 b1a22 - b2a12 x1 = = a11a22 - a21a12 a11 a12 a21 a22 Cramer‘sche Regel a11 b1 a21 b2 a11b2 - a21b1 x2 = = a11 a12 a21 a22 a11a22 - a12a21

8 Übungsbeispiel 2x1 – 3x2 = 5 7x1 + 5x2 = 9
Zähler: Ergebnis + anderer x-Wert Nenner: Koeffizienten der x-Werte 7x1 + 5x2 = 9 52 5*5-(-3)*9 x1 = = = -3 2*5-(-3)*7 31 2 5 7 9 2*9-5*7 17 x2 = = = - -3 31 2*5-(-3)*7

9 Und jetzt ihr! 11x1 - 13x2 = 20 5x1 - 12x2 = 1 7x1 + 7x2 = 10
rx1 - rx2 = 1

10 Lösungen 11x1 - 13x2 = 20 5x1 - 12x2 = 1 x1 = = = x2 = = = -13 1 -12
20*(-12)-(-13)*1 227 -13 11*(-12)-(-13)*5 67 11*1-20*5 89 67 -13 11*(-12)-(-13)*5

11 7x1 + 7x2 = 10 rx1 - rx2 = 1 x1 = = = = x2 = = = 10 7 1 -r 10*(-r)-7*1
1 -r 10*(-r)-7*1 -10r-7 10r+7 r -r 7*(-r)-7*r -14r 14r r 7*1-10*r -10r+7 r r 7*(-r)-7*r -14r

12 Regel von Sarrus a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a33
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 = - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 - - - + + +

13 Cramer‘sche Regel a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 1 1 x1 = x2 = D D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 1 D = x3 = D

14 Übungsbeispiel 3 5 - 7 6 4 -12 3 -3 - 6 3x1 + 5x2 - 7x3 = 4
3x1 + 5x x3 = 4 6x1 + 4x2 - 12x3 = 9 3x1 - 3x x3 = 2 D = 1 155 31 x1 = = = D 30 6 1 15 1 x2 = = = D 30 2 1 60 x1 = = = 2 D 30

15 Und jetzt ihr! x1 + x2 + x3 = 10 5x1 + 7x2 - 9x3 = 11 3x1 + 2x2 - 25x3 = 30

16 Lösungen x1 + x2 + x3 = 10 5x1 + 7x2 - 9x3 = 11 3x1 + 2x2 - 25x3 = 30
D = 1 -1753 1753 x1 = = = D -70 70 1 1092 -78 x2 = = = D -70 5 1 -39 x1 = 39 = = D -70 70

17 ?

18 Quellen Analytische Geometrie mit linearer Algebra; Lambacher Schweizer; S materialien/klaus.berger/files/Matrizen/determinante.pdf

19 Danke für eure Aufmerksamkeit!