Potenzen & Logarithmus

Präsentation zum Thema: "Potenzen & Logarithmus"—  Präsentation transkript:

1 Potenzen & Logarithmus
Hilfe B1 Potenzen & Logarithmus Produkte aus gleichen Faktoren schreibt man kürzer als Potenzen: 3∙3∙3∙3∙3 = 35 = allgemein: 𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙...∙𝑎 =𝑎𝑛 n Faktoren Dabei bezeichnet man 3 (bzw. a) als Basis, 5 (bzw. n) als Exponent, das Ergebnis als Potenz. Ein paar Rechenregeln: Es gilt… 108 = 10∙10∙10∙10∙10∙10∙10∙10= (insgesamt 8 Nullen!) 𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎 𝑎2 ∙ 𝑎4 = 𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 = 𝑎6 = 𝑎 „Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.“ (𝑎3)4= 𝑎3∙𝑎3∙𝑎3∙𝑎3 = 𝑎3∙4 =𝑎 „Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden.“ 𝑎 7 𝑎 5 = 𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎∙𝑎 = 𝑎 7−5 = 𝑎 2 „Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.“ 𝑎 −5 = 1 𝑎 5 Außerdem gilt: 𝑎 𝑥 =𝑏 dann gilt: 𝑥= log 𝑎 (𝑏) Beispiel: 3 𝑥 =10 also 𝑥= log =2, Lerntheke OER 11.1

2 Hilfe B2 Wurzelziehen Wurzel und Exponenten
𝑛 𝑎= 𝑎 1 𝑛 Beispiel: 3 2 = Produktregel 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎∙𝑏 2 ∙ 8 = 2∙8 = 16 =4 Quotientenregel 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 = = 1 =1 Teilweises Wurzelziehen 32 = 2∙16 = 2 ∙ 16 =4 2 Lerntheke OER 11.1

3 Hilfe B3 Bruchrechnen Um mit Brüchen rechnen zu können, musst du sie oft erweitern oder kürzen. Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl: = 2∙7 3∙7 = Das Erweitern benötigst du zum Beispiel, um den Hauptnenner zu finden. Beim Kürzen dividierst (d.h. teilst) du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl : : =3 Grundrechenarten Addition: = = (Hauptnenner finden, Zähler verrechnen) Subtraktion: − 1 3 = 9 12 − 4 12 = (Hauptnenner finden, Zähler verrechnen) Multiplikation: 3 4 ∙ 3 4 = („Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner“) Division: : 3 4 = 1 2 ∙ 4 3 = 4 6 = (Man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert.) Lerntheke OER 10.3

4 Hilfe B4 Binomische Formeln
Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) Lerntheke OER 11.1

5 Hilfe 1 Lineare Funktionen − 2 1 =𝑚 − 2 1 =𝑚 − 2 1 =𝑚 1 2
Normalform von linearen Funktion (Geraden): 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 Y- Achsenabschnitt (Startwert): b = 3 Steigung 𝑚: 1. Variante: Steigungsdreieck eine Einheit nach rechts 1 zwei Einheiten nach unten 2 Da die Funktion fällt ist m negativ (-). 2. Variante: Steigungsformel Da man nicht immer einen Graph vor sich hat nutzt die Formel: 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑚= 3−1 1−0 = 2 1 =2 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑒 𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑖𝑠𝑡 𝑚=−2 1 2 − 2 1 =𝑚 − 2 1 =𝑚 − 2 1 =𝑚 Lerntheke OER 11.1

6 Hilfe 2 Steigungswinkel Um den Steigungswinkel zu berechnen, brauchst
du die Steigung 𝑚, denn es gilt: 𝜶= 𝐭𝐚𝐧 −𝟏 ⁡(𝒎) Beispiel: α= tan −1 ⁡(1) α=45° Falls du den Steigungswinkel gegeben hast und die Steigung 𝑚 berechnen sollst gilt: 𝒎=𝐭𝐚𝐧⁡(𝜶) 𝑚=tan⁡(45°) 𝑚=1 − 2 1 =𝑚 Lerntheke OER 11.1

7 Hilfe 3 Lineare Funktionen − 2 1 =𝑚
Geradengleichungen mittels der Steigung und einem Punkt der Funktion bestimmen: Gegeben ist 𝑚=2 und 𝑃 3 7 Allgemeine Form aufschreiben: 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 Die Steigung kennst du: 𝑚=2 in 𝑓(𝑥) einsetzen →𝑓 𝑥 =2𝑥+𝑏 Jetzt weißt du, dass die Funktion durch 𝑃 3 7 verläuft: → x-Wert und y-Wert einsetzen (denk dran 𝑓 𝑥 ≜𝑦) →7=2∙3+𝑏 │𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑏 𝑎𝑢𝑓𝑙ö𝑠𝑒𝑛: −6 1=𝑏 𝑏=1 und 𝑚=2 einsetzen: →𝑓 𝑥 =2𝑥+1 − 2 1 =𝑚 Geradengleichungen mittel zweier Punkte bestimmen: Gegeben ist 𝑃 2 4 und 𝑄 3 8 Allgemeine Form aufschreiben: g 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏 Steigung mit der Formel 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 berechnen: 𝑚= 8−4 3−2 = 4 1 =4 Jetzt hast du 𝑚 und kannst jetzt b bestimmen (siehe oben Schritt 3+4) →𝑔 𝑥 =4𝑥−4 Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen: Gegeben ist 𝑓 𝑥 =2𝑥+1 und 𝑔 𝑥 =4𝑥−4 𝑓 𝑥 und 𝑔 𝑥 gleichsetzen: →2𝑥+1=4𝑥−4│−2𝑥 ;+4 Nach 𝑥 auflösen:  =2𝑥 │ :2  𝑥=2,5 𝑥 in 𝑓(𝑥) einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts 𝑆 𝑥 𝑦 : →𝑓 2,5 =2∙2,5+1=6 𝑥=2,5 und 𝑦=6 in 𝑆 𝑥 𝑦 einsetzten: 𝑆 2,5 6 Lerntheke OER 11.1

8 Allgemeine Funktionen
Hilfe 4 Allgemeine Funktionen Eine Zuordnung, die jedem Element einer Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zuordnet, nennt man Funktion 𝑓(𝑥 0 ) A zeigt den Graphen einer Funktion, da jedem x-Wert ein eindeutiger y-Wert zugeordnet ist. Die Zuordnung ist eindeutig. B ist kein Graph einer Funktion, da es x-Werte gibt, denen mehrere y-Werte zugeordnet sind. Die Zuordnung ist nicht eindeutig. 𝑓(𝑥 0 ) 𝑓(𝑥 0 ) 𝑓(𝑥 0 ) 𝑥 0 𝑥 0 𝑥 0 𝑓(𝑥 0 ) 𝑓(𝑥 0 ) A B Bei Funktionen unterscheidet man folgende Bezeichnungen: 𝑓;𝑔;ℎ … sind Bezeichnungen für Funktionen. 𝐷 𝑓 bezeichnet alle x-Werte, die durch eine Funktion 𝑓 ein Funktionswert (y-Wert) zugeordnet wird. -> Definitionsmenge; Definitionsbereich Beispiel: 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 ist für alle 𝑥-Werte außer 0 definiert (niemals durch 0 teilen!!) Schreibweise: 𝐷 𝑓 =ℝ\ 0 („alle reellen Zahlen ohne die 0“) 𝑓( 𝑥 0 ) sprich „𝑓 von 𝑥 0 “ Ist der Funktionswert (y-Wert) von 𝑓 an der Stelle jeweiligen Stelle 𝑥 0 auf der x-Achse. 𝑊 𝑓 Bezeichnet alle Funktionswerte, die durch die 𝑓 genau einem x-Wert zugeordnet werden. Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 beinhaltet alle positiven Funktionswerte (y-Werte) Schreibweise: 𝑊 𝑓 = ℝ + („alle positiven reellen Zahlen“) 𝑓:𝑥→5 𝑥 2 +3 Ist die Funktionsvorschrift. Sprich: „Jedem Wert von x wird die Summe aus 3 und dem fünffachen ihres Quadrates zugeordnet.“ 𝑓 𝑥 =5 𝑥 2 +3 Ist die Funktionsgleichung mit der man zu jedem Wert für x den zugehörigen Funktionswert (y-Wert) berechnen kann. Graph von 𝑓 Ist die Menge aller Punkte 𝑃 𝑥 𝑦 , die durch die Funktionsgleichung ermittelt werden können. Lerntheke OER 11.1

9 Quadratische Funktionen und ihre Transformationen
Hilfe 5 Quadratische Funktionen und ihre Transformationen Die Graphen der quadratischen Funktionen mit den Gleichungen 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 , 𝑔 𝑥 =2 𝑥 2 ;ℎ 𝑥 = 1 2 𝑥 2 ;𝑖 𝑥 =− 𝑥 2 und allgemein 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙² mit einer gegebenen Zahl 𝒂 heißen Parabeln. Der Scheitelpunkt ist der Ursprung des Koordinatensystems (0|0). Die y-Achse ist Symmetrieachse. Form und Öffnung der Parabel (oben oder unten) werden durch den Vorfaktor 𝑎 bestimmt. Merke dir: Ist 𝒂 negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet. Je größer der Betrag von 𝒂, desto gestreckter (schlanker) ist die Parabelform. Liegt 𝒂 zwischen 0 und 1, dann ist die Parabel gestaucht (breit). Je näher der Betrag an 0 liegt, desto gestauchter. Auf der y-Achse wird immer durch den y-Achsenabschnitt verschoben. Man subtrahiert oder addiert die Einheiten vom/zum y-Achsenabschnitt, um die man den Graph verschieben soll. Die Graphen der quadratischen Funktionen mit den Gleichungen j 𝑥 =2 𝑥 2 −4, 𝑘 𝑥 =−0,25 𝑥 2 +2, 𝑙 𝑥 =− 𝑥 2 +3 sind in Richtung y-Achse verschobene Parabeln. Sie haben allgemein die Gleichung: 𝒇 𝒙 =𝒂 𝒙 𝟐 +𝒄. Auf der x-Achse wird in entgegengesetzter Richtung des Vorzeichens verschoben! + in der Klammer heißt, die Parabel wird nach links verschoben. – in der Klammer heißt, die Parabel wird nach rechts verschoben Beispiel: Der Graph mit der Funktion 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 −4 soll um 2 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschoben werden: 𝑓 𝑥 =2 𝑥−2 2 −4+2 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 −8𝑥+6 Lerntheke OER 11.1

10 Allgemeine quadratische Funktion bestimmen
Hilfe 6 Allgemeine quadratische Funktion bestimmen Eine quadratische Funktion ist durch drei Punkte eindeutig bestimmbar. Beispiel: Schritt 1:Die Normalform einer quadratischen Funktion aufschreiben →𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Schritt 2: Man ließt 3 eindeutige ablesbare Punkte ab, wenn sie nicht gegeben sind. Achte dabei darauf, dass du am besten immer den Y-Achsenabschnitt abließt, dann hast du c. →𝐴 0 3 ;𝐵 −1 6 ;𝐶 2 3 Schritt 3: 𝒄 ist der Y-Achsenabschnitt. Also der Funktionswert an dem 𝑥=0 ist. Das gilt bei diesem Graph nur für den Punkt 𝐴 →𝒄=𝟑 Schritt 4: Jetzt muss man noch die Faktoren 𝒂 und 𝒃 bestimmen. Man setzt nun den Punkt 𝐵 −1 6 ; 𝐶 2 3 und 𝒄 jeweils in 𝑓(𝑥) ein. 𝐼 6=𝑎∙ −1 2 +𝑏∙ − │ -6 𝐼𝐼 3= 𝑎∙ 𝑏∙ │ -3 So umformen, dass auf der linken Seite der Gleichheitszeichen 0 steht. 𝐼 0=𝑎−𝑏−3 𝐼𝐼 0= 4𝑎+2𝑏 Jetzt nutzt man das Gleichsetzungsverfahren: 𝐼=𝐼𝐼 𝑎−𝑏−3=4𝑎+2𝑏 │ nach b umformen (+b │+3 │-4a │: (-3)) 𝑎=−𝑏− │ 𝑎 in 𝐼 einsetzen 𝐼 0= −𝑏−1 −𝑏−3 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑏 𝑢𝑚𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛 𝒃=−𝟐 𝑏=−2 𝑖𝑛 𝑎=−𝑏−1 𝑒𝑖𝑛𝑠𝑒𝑡𝑧𝑒𝑛 𝑎=− −2 −1=1 𝒂=𝟏 𝐒𝐜𝐡𝐫𝐢𝐭𝐭 𝟓:𝒂,𝒃,𝒄 𝒊𝒏 𝒇 𝒙 einsetzen: 𝒇 𝒙 =𝟏 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙+𝟑 Lerntheke OER 11.1

11 Lösen quadratischer Gleichungen
Hilfe 7 Lösen quadratischer Gleichungen Gleichungen vom Typ 𝑎 𝑥 2 +𝑐=0 1. 𝑥 2 alleine auf eine Seite bringen 2. Wurzelziehen (denk an die negative Lösung) Beispiel: 𝑥 2 −121= │+121 𝑥 2 =121 │ 121 ⇒ 𝑥 1 =−11 ; 𝑥 2 =11 Gleichungen vom Typ 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥=0 𝑥 ausklammern. (schau immer, ob in jedem Summand ein 𝑥 vorhanden ist.) Es entsteht 𝑥∙(𝑎𝑥+𝑏)=0 Damit die Gleichung erfüllt ist, muss entweder 𝑥=0 oder 𝑎𝑥+𝑏=0 sein. Denn 0∙(𝑎𝑥+𝑏)=0 oder 𝑥∙0=0. Wenn man 𝑥 ausgeklammert hat, weiß man direkt, das 𝑥 1 =0 ist und betrachtet den Teil in der Klammer. 𝑎𝑥+𝑏=0 nach 𝑥 auflösen. => 𝑥 2 Beispiel: 6 𝑥 2 −60𝑥=0 │𝑥 𝑎𝑢𝑠𝑘𝑙𝑎𝑚𝑚𝑒𝑟𝑛 𝑥∙ 6𝑥−60 =0 │⇒ 𝑥 1 =0 →6𝑥−60=0 ⇒6𝑥−60=0 │: 6 𝑥−10=0 │ 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑥 𝑎𝑢𝑓𝑙ö𝑠𝑒𝑛 ⇒ 𝑥 2 =10 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔𝑠𝑚𝑒𝑛𝑔𝑒 𝐿= −11;11 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔𝑠𝑚𝑒𝑛𝑔𝑒 𝐿= 0;10 Die Lösung einer quadratischen Gleichung 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 lautet 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 . Je nachdem, ob die Diskriminante (der Teil unter der Wurzel) größer oder gleich Null ist, hat die Gleichung zwei oder eine Lösung. Ist die Diskriminante negativ gibt es keine Lösung. Gleichungen vom Typ 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 am Beispiel 2 𝑥 2 +6𝑥+4=0 mittels der pq-Formel 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 1. Gleichung in die Form x 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 bringen: 2 𝑥 2 +6𝑥+4=0 │:2 𝑥 2 +3𝑥+2=0 2. Anwendung der pq-Formel 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 𝑥 1 =− −2 𝑥 2 =− 3 2 − −2 𝑥 1 =− 𝑥 2 =−2 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔𝑠𝑚𝑒𝑛𝑔𝑒 𝐿= −1;−2 Lerntheke OER 11.1

12 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Hilfe 8 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Bei einer Funktion interessieren uns besonders die Schnittpunkte mit diesen Koordinatenachsen, da gilt: Beim Schnitt mit der x-Achse (auch Nullstellen genannt) ist der y-Wert bzw. der Funktionswert 𝑓(𝑥) gleich 0. Man schreibt: 𝒇 𝒙 =𝟎 Dies ist besonders im Sachkontext interessant, wenn es darum geht, wie weit bspw. ein Gegenstand geflogen ist. Merke dir: Es kann immer nur maximal so viele Nullstellen geben, wie der Grad der Funktion hat! 𝒇 𝒙 =𝒎 𝒙 𝟏 +𝒃→𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕 𝒗𝒐𝒏 𝒙 𝒊𝒔𝒕 𝒈𝒍𝒆𝒊𝒄𝒉 𝟏⇒𝑮𝒓𝒂𝒅 𝟏⇒𝒆𝒊𝒏𝒆 𝑵𝒖𝒍𝒍𝒔𝒕𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒇 𝒙 =𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄→𝒉ö𝒄𝒉𝒔𝒕𝒆 𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕 𝒗𝒐𝒏 𝒙 𝒊𝒔𝒕 𝒈𝒍𝒆𝒊𝒄𝒉 𝟐⇒𝑮𝒓𝒂𝒅 𝟐⇒𝒎𝒂𝒙𝒊𝒎𝒂𝒍 𝒛𝒘𝒆𝒊 𝑵𝒖𝒍𝒍𝒔𝒕𝒆𝒍𝒍𝒆𝒏 usw. Beim Schnitt mit der y-Achse (auch y-Achsenabschnitt genannt) ist der x-Wert gleich 0. Somit gilt für die Funktionswert bei 𝒙=𝟎 →𝒇 𝟎 =𝒄 c ist bei der Normalform 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 und kann daher sofort abgelesen werden. Der Y-Achsenabschnitt wird im Sachkontext auch oft als Startwert bezeichnet, wenn es bspw. darum geht, in welcher Höhe sich ein Gegenstand zum Zeitpunkt „0“ bereits befindet. Merke dir: Es kann immer nur einen y-Achsenabschnitt geben, da bei einer Funktion jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. In diesem Fall x = 0. − 2 1 =𝑚 Beispiel: 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +𝑥+2 Nullstellen: Y-Achsenabschnitt: Schritt: Funktion gleich 0 setzen →𝑓 𝑥 = Schritt: Für x gleich 0 einsetzen. Schritt: Gleichung lösen →𝑓 0 =− =2 In diesem Fall mit der pq-Formel (H7) →𝑓 0 =2 (y-Achsenabschnitt) ⇒0=− 𝑥 2 +𝑥+2 │:−1(umformen für pq-Formel) Kann auch direkt aus der Normalform 0= 𝑥 2 −1𝑥−2 │ 𝑝𝑞−𝐹𝑜𝑟𝑚𝑒𝑙 abgelesen werden: ⇒ 𝑥 1,2 =− − − 𝑓 𝑥 =− 𝑥 2 +𝑥+2 ⇒ 𝑥 1 =2 ; 𝑥 2 =−1 Da die y-Werte gleich 0 sind, kann man Da die x-Werte gleich 0 sind, kann die Nullstellen sofort angeben: man den y-Achsenabschnitt sofor 𝑁 1 = 2 0 ; 𝑁 2 = − angeben: S 0 2 Lerntheke OER 11.1

13 Exponentialfunktionen
Hilfe 9 Exponentialfunktionen Wenn eine Größe in gleich großen Abschnitten immer um den gleichen Prozentsatz wächst bzw. fällt, d.h. immer mit dem gleichen Faktor vervielfacht wird, liegt ein exponentielles Wachstum vor. Man kann den Funktionswert für n Zeitabschnitte berechnen, wenn man den Anfangswert c und den Wachstumsfaktor a kennt: 𝒇 𝒏 =𝒄∙ 𝒂 𝒏 . Der Graph der Exponentialfunktion 𝒇 𝒙 =𝒄∙ 𝒂 𝒙 verläuft im positiven Wertebereich, wenn c > 0 hat keine Nullstellen, wenn c > 0 verläuft durch den Punkt P(0/c) ist (monoton) wachsend, wenn a > 1 ist (monoton) fallend, wenn a < 1 ist nicht definiert für a < 0 - Wenn im Exponenten eine Zahl addiert wird ( 𝑎 𝑥+2 ) verschiebt sich der Graph nach links. Wenn im Exponenten eine Zahl subtrahiert wird ( 𝑎 𝑥−2 ) verschiebt sich der Graph nach rechts. - Wenn eine Konstante k addiert wird, verschiebt sich der Graph nach oben. - Wenn eine Konstante k subtrahiert wird, verschiebt sich der Graph nach unten. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥+2 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−2 − 2 1 =𝑚 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 +2 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 −2 Lerntheke OER 11.1

14 Exponentielleles Wachstum
Hilfe 10 Exponentielleles Wachstum Gibt man Veränderungen einer Ausgangsgröße prozentual an, so bezeichnet man den Prozentsatz als Wachstumsrate. Aus der Wachstumsrate p% kann man den Wachstumsfaktor a bestimmen: 𝑎=1+𝑝%=1+ 𝑝 100 . Beispiel 1: 2007 hatte Nigeria 144,4 Mio. Einwohner, die Wachstumsrate lag bei 2,5%. Wie groß ist der Wachstumsfaktor a und wie viele Bewohner hatte Nigeria im Jahr 2008? Berechnung des Wachstumsfaktor: 𝑎=1+𝑝%=1,025 Einwohner im Jahr 2008: ,4 Mio∙1,025=148,0 Mio Beispiel 2: Mitte 2007 hatte China 1,318 Mrd. Einwohner und eine Wachstumsrate von 0,5%. Erstelle eine Prognose für das Jahr 2025 auf dieser Basis. Wachstumsfaktor bestimmen: 𝑎=100%+0,5%=1,005 Zeitspanne festlegen: Von 2007 – 2025: 18 Jahre Funktionsgleichung bestimmen: 𝑓 𝑛 =1,318∙ 1,005 𝑛 Prognose berechnen: 𝑓 18 =1,318∙ 1, =1,442 Im Jahr 2025 werden 1,442 Mrd. Menschen in China leben. − 2 1 =𝑚 Lerntheke OER 11.1

15 Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Hilfe 11 Wahrscheinlichkeiten bestimmen Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem Zahlwert zwischen „0“ und „1“ beschrieben. Der Zahlenwert „0“ beschreibt ein unmögliches Ereignis, der Zahlenwert „1“ ein sicher eintretendes Ereignis. Wahrscheinlichkeiten können auch in Prozenten angegeben werden. Das sichere Ereignis besitzt eine Wahrscheinlichkeit von 100%, das unmögliche Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 0%. Laplace-Versuche sind Zufallsversuche, deren Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Der Würfel ist ein typisches Laplace-Zufallsgerät. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird beim Laplace-Versuch bestimmt: P(E) = |E| |Ω| P(E) = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E |E| = Anzahl der Elementarereignisse, bei denen E eintritt. |Ω| = Anzahl aller überhaupt möglichen Elementarereignisse. Beispiel: Behauptung: „Die 6 fällt nicht so oft wie die 3“. Man muss nun herausfinden, ob die 6 eine andere Wahrscheinlichkeit hat bei einem Wurf zu fallen, wie die 3. Mögliche Ergebnisse: 𝜔 1 =1, 𝜔 2 =2, 𝜔 3 =3, 𝜔 4 =4, 𝜔 5 =5, 𝜔 6 =6 Alle Ergebnisse (Elementarraum): Ω= 1,2,3,4,5,6 →|Ω| = 6 „Es gibt zusammen 6 mögliche Ergebnisse“ 𝑃 6 = 1 6 „Die 6 ist eine Zahl von sechs Zahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit 1 zu 6 -> 1 6 =0,1 6 ≈17%“ 𝑃 3 = 1 6 „Die 3 ist eine Zahl von sechs Zahlen, also ist die Wahrscheinlichkeit 1 zu 6 -> 1 6 =0,1 6 ≈17%“ Die Wahrscheinlichkeit eine 6 oder eine 3 zu werfen sind somit gleich und die Behauptung ist widerlegt. Lerntheke OER 11.1

16 Hilfe 12 Baumdiagramme Mit zurücklegen: blau Ohne zurücklegen: blau
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente  eingesetzt. Man spricht von einem mehrstufigen Zufallsexperiment, wenn das Zufallsexperiment aus mehreren Schritten besteht, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind. Beispiel 1: Zweimaliges Werfen einer Münze. Jeder Wurf für sich ist ein Zufallsexperiment. Ein mögliches Ergebnis wäre (Kopf, Kopf). Diese mehrstufigen Zufallsexperimente lassen sich durch gut durch Baumdiagramme veranschaulichen. Beispiel 2: Zweimaliges Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 3 schwarzen und 5 blauen Kugeln. Es gibt hierbei zwei Varianten. Bei der ersten zieht man eine Kugel und legt sie wieder zurück, bei der zweiten Variante zieht man eine Kugel und lässt sie draußen. Somit hat man bei der zweiten Variante beim zweiten Zug eine Kugel weniger. Mit zurücklegen: 𝟓 𝟖 blau schwarz 𝟑 𝟖 𝑃 𝑏,𝑏 = 5 8 ∙ 5 8 = ≈0,39≈39% 𝑃 𝑏,𝑠 = 5 8 ∙ 3 8 = ≈0,23≈23% 𝑃 𝑠,𝑏 = 3 8 ∙ 5 8 = ≈0,23≈23% 𝑃 𝑠,𝑠 = 3 8 ∙ 3 8 = 9 64 ≈0,14≈15% Ohne zurücklegen: 𝟓 𝟕 blau schwarz 𝟓 𝟖 𝟑 𝟖 𝟐 𝟕 𝟑 𝟕 𝟒 𝟕 𝑃 𝑏,𝑏 = 5 8 ∙ 4 7 = ≈0,36≈36% 𝑃 𝑏,𝑠 = 5 8 ∙ 3 7 = ≈0,27≈27% 𝑃 𝑠,𝑏 = 3 8 ∙ 5 7 = ≈0,27≈27% 𝑃 𝑠,𝑠 = 3 8 ∙ 2 7 = 6 56 ≈0,10≈10% Für die Wahrscheinlichkeit bei zwei Zügen zwei gleichfarbige zu ziehen, gibt es zwei Möglichkeiten: zweimal blau: 𝑃 𝑏,𝑏 =39% zweimal schwarz: 𝑃 𝑠,𝑠 =15% Für die Wahrscheinlichkeit bei zwei Zügen zwei gleichfarbige zu ziehen, gibt es zwei Möglichkeiten: zweimal blau: 𝑃 𝑏,𝑏 =36% zweimal schwarz: 𝑃 𝑠,𝑠 =10% 39% + 15% = 54% 36% + 10% = 46% 1.) Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsexperiments erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades multipliziert. (𝑃 𝑏𝑙𝑎𝑢,𝑏𝑙𝑎𝑢 = 5 8 ∙ 5 8 ≈0,39 (mit zurücklegen) 2.) Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐸) eines Ereignisses E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addiert. 𝑃 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑓𝑎𝑟𝑏𝑖𝑔 =𝑃 𝑏,𝑏 +𝑃 𝑠,𝑠 =39%+15%=54%. (mit zurücklegen) 3.) Gegenwahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit von Gegenereignissen ergänzen sich zu 1. Beispiel: Gegenereignis zu „beide Kugeln gleichfarbig“ ist „beide Kugeln verschiedenfarbig“  𝑃 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑒𝑑𝑒𝑛𝑓𝑎𝑟𝑏𝑖𝑔 =1−𝑃 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑓𝑎𝑟𝑏𝑖𝑔 =1−54%=46%. (mit zurücklegen) Lerntheke OER 11.1

17 Basis Station 1 Lineare Funktionen I 1 3
a) Bestimme die Gleichungen der abgebildeten Geraden in der Form f(x)=mx+b. b) Gib den jeweiligen Y-Achsenabschnitt an und berechne die Nullstellen. b) Berechne den Schnittpunkt der Funktionen f(x) und h(x). 1 3 a) f(x) = 1x+3 ; g(x) = -3x+1 ; h(x) = 2x ; i(x) = b) f(x): 𝑦 1 =3 ; 𝑥 1 =−3 g(x): 𝑦 1 =1 ; 𝑥 1 = 1 3 ; h(x): 𝑦 1 =0 ; 𝑥 1 = c) S 3 6 Lerntheke OER 11.1

18 Basis Station 2 Lineare Funktionen II 1 3
1.) Geradengleichungen mit Steigung und Punkt bestimmen: Bestimme die Funktionen der Geraden in der Form m = 4 und die Funktion verläuft durch den Punkt 𝐴 0 0 m = -3 und die Funktion verläuft durch den Punkt B 4 1 m = 7 und die Funktion verläuft durch den Punkt B 1 −4 m = und die Funktion verläuft durch den Punkt B − 9 2 m = und die Funktion verläuft durch den Punkt B 2.) Geradengleichungen mithilfe von zwei Punkten bestimmen: Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte verläuft, in der Form f(x) = mx + b e) A ; B 5 4 f) C − ; D g) E − ; F h) G ; H i) I 𝑢 0 ; J 1 2 1 3 a) 𝑓 𝑥 =−3𝑥+13 b) g 𝑥 =7𝑥−11 c) h 𝑥 =− 5 2 𝑥−8,25 d) i 𝑥 = 1 3 𝑥 e) j 𝑥 = 1 2 𝑥 f) k 𝑥 = 3 11 𝑥 g) l 𝑥 = 5 h) m 𝑥 = 15 7 𝑥− 1 7 𝑖) 𝑛 𝑥 = 2 1−𝑢 𝑥+2− 2 1−𝑢 Lerntheke OER 11.1

19 Basis Station 3 Steigungswinkel 1 2
Bestimme die Gleichung der abgebildeten Geraden mit Hilfe der Steigungswinkel. Bestimme den Steigungswinkel der folgenden Geraden: 𝑓 𝑥 =𝑥+2 𝑓 𝑥 =−𝑥+4 𝑓 𝑥 =7𝑥+3 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥+4 Bestimme den Steigungswinkel der Geraden, die durch die gegebenen Punkte verlaufen: 5. A −1 1 ; B 5 4 6. C −1 5 ; D 5 4 7. E 2,5 1,1 ;F 5 1,35 8. G − 1 2 ; H 2 − 3 4 1 2 Taschenrechner muss auf DEGREE eingestellt sein! a) 𝑓 𝑥 =𝑥+1 ; 𝑔 𝑥 ≈1,96𝑥−2 b) 1.) α=45°2.) α=−45° 3.) α≈−81,87° 4.) α≈18,43° c) 5.) α≈26,57° 6.) α≈9,46° 7.) α≈5,71° 8.) α≈−9,46° Lerntheke OER 11.1

20 Basis Station 4 Gefäße entleeren 1 3
Zwei zylinderförmige Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Die Grundfläche der Gefäße beträgt jeweils 1 dm² und eine Höhe von 1m. Der Wasserzufluss ist bei beiden Gefäßen konstant. In Gefäß A beträgt die Wasserhöhe für t=0 Minuten 24cm, die Wasserhöhe steigt pro Minute um 6 cm. In Gefäß B ist für t=0 Minuten die Wasserhöhe 2dm und steigt um 0,65dm pro Minute. Bestimme für beide Gefäße einen Term, der die Wasserhöhe in den Gefäßen in dm nach t Minuten angibt. Berechne, nach welcher Zeit die Wasserhöhe in beiden Gefäßen gleich ist. 1 3 Lerntheke OER 11.1

21 Basis Station 5 Senkrechte Geraden 1 3
Gib die Gleichung von zwei Geraden 𝑔 1 und 𝑔 2 an, die senkrecht zu der Geraden ℎ stehen. Nutze hierzu den Infokasten. a) ℎ 𝑥 =2𝑥−1 (Beispiel Infokasten) Mögliche Lösungen: 𝑔 1 𝑥 =− 1 2 −1 𝑢𝑛𝑑 𝑔 2 𝑥 =− b) ℎ 𝑥 =−4𝑥+4 c) ℎ 𝑥 = 3 7 𝑥+5 d) ℎ 𝑥 =− 1 3 𝑥+5 1 Info: Zwei Geraden h und g mit den jeweiligen Steigungen 𝑚 ℎ und 𝑚 𝑔 sind genau dann zueinander senkrecht, wenn gilt: 𝑚 ℎ ∙ 𝑚 𝑔 =−1 bzw. umgeformt 𝑚 ℎ =− 1 𝑚 𝑔 Info: Zwei Geraden h und g mit den jeweiligen Steigungen 𝑚 ℎ und 𝑚 𝑔 sind genau dann zueinander senkrecht, wenn gilt: 𝑚 ℎ ∙ 𝑚 𝑔 =−1 bzw. umgeformt 𝑚 ℎ =− 1 𝑚 𝑔 3 Mögliche Lösungen: b) 𝑔 1 = 1 4 𝑥+20 ; 𝑔 2 = 1 4 𝑥−3 c) 𝑔 1 =− 7 3 𝑥+20 ; 𝑔 2 =− 7 3 𝑥−3 d) 𝑔 1 =3𝑥+20 ; 𝑔 2 =3𝑥−3 Lerntheke OER 11.1

22 Zugehörige Gleichungen
Station 6 Zugehörige Gleichungen Basis Bestimme jeweils die zugehörige Funktion in der Form 𝑓 𝑥 =𝑚𝑥+𝑏. Die Gerade verläuft parallel zu 𝑓 𝑥 =2𝑥−1 und geht durch den Punkt A 1 −6 Die Gerade verläuft durch B 4 0 und steht senkrecht zu der Geraden 𝑔 𝑥 =𝑥−1. Die Gerade geht durch den Ursprung und verläuft senkrecht zu 𝑖 𝑥 =−0,5𝑥+11 Ermittle rechnerisch, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist. 1 3 Info: Zwei Geraden h und g mit den jeweiligen Steigungen 𝑚 ℎ und 𝑚 𝑔 sind genau dann zueinander senkrecht, wenn gilt: 𝑚 ℎ ∙ 𝑚 𝑔 =−1 bzw. umgeformt 𝑚 ℎ =− 1 𝑚 𝑔 d) e) f) a) 𝑓 𝑎 𝑥 =2𝑥−8 b) 𝑓 𝑏 𝑥 =−𝑥+4 c) 𝑓 𝑐 𝑥 =2𝑥 d) Wegen 𝑚 𝐴𝐵 ∙ 𝑚 𝐵𝐶 =−1 bei B einen rechten Winkel e) nicht rechtwinklig f) nicht rechtwinklig Lerntheke OER 11.1

23 Basis Station 7 Dreiecke und Höhen 1
Zeichne das Dreieck 𝐴𝐵𝐶 mit 𝐴 1 7 ;𝐵 2 −3 ;𝐶 5 4 und ergänze die Höhen ℎ 𝑎 , ℎ 𝑏 , ℎ 𝑐 . Lies den Schnittpunkt der Höhen ab. Bestimme rechnerisch jeweils eine Geradengleichung, auf der die Höhen ℎ 𝑎 , ℎ 𝑏 , ℎ 𝑐 liegen. Berechne den Schnittpunkt der Höhen und vergleiche mit dem abgelesenen Ergebnis aus a). Berechne eine Gleichung für die Winkelhalbierenden 𝑤 𝛼 und 𝑤 𝛽 und berechne daraus den Mittelpunkt des Inkreises. 1 b) ℎ 𝑎 𝑥 =− 3 7 𝑥 ; ℎ 𝑏 𝑥 = 4 3 𝑥− ℎ 𝑐 𝑥 = 1 10 𝑥+3,5 c) 𝑆 ℎ 7,43 4,24 d) 𝑤 𝛼 𝑥 =−1,77𝑥+8,77; 𝑤 𝛽 𝑥 =6,5𝑥−16 ; 𝑀 2,99 3,47 Lerntheke OER 11.1

24 Basis Station 8 Binomische Formeln
Vereinfache die Terme mithilfe der binomischen Formeln und gib das Ergebnis in der Normalform 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 an (Variablen dementsprechend anpassen). a) 𝑎+7 2 = b) 𝑥 2 = c) 7−5𝑏 2 = d) 3,4𝑥− = e) 8+2𝑐 8−2𝑐 = f) 𝑧 𝑧−6 = g) 𝑢 𝑢−3,2 = Faktorisiere (aus einer Summe/Differenz ein Produkt machen) die folgenden Terme mithilfe einer binomischen Formel. h) 𝑥 2 +8𝑥+16= i) 𝑦 2 −2𝑦+1= j) 𝑐 2 +12𝑐+36= k) 𝑥 2 −10𝑥+25= l) 𝑚 2 +0,2𝑚 = m) 𝑑 2 −1𝑑+ 1 4 = B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) a) f a = 𝑎 2 +14𝑎+49 b) f x =9 𝑥 2 +72𝑥+144 c) f b =25 𝑏 2 −70𝑏+49 d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −3,4𝑥 e) 𝑓 𝑐 =−4 𝑐 f) 𝑓 𝑧 = 𝑧 2 −36 g) f u = 𝑢 𝑢−6,4 h) 𝑥 i) f 𝑦 = 𝑦−1 2 j) 𝑓 𝑐 = 𝑐 k) 𝑓 𝑥 = 𝑥−5 2 l) 𝑓 𝑚 = 𝑚 m) 𝑓 𝑑 = 𝑑− Lerntheke OER 11.1

25 Basis Station 9 Terme und Gleichungen Vereinfache den Term.
7,5𝑥−4+5,3−10,8𝑥−2,4𝑥+6,7−0,3𝑥= 3∙ 5𝑥−12 −4∙ 3𝑥+8 = −3−2𝑥 ∙ 5𝑥−8 + −𝑥−16 = −3+5𝑥 ∙ −3−5𝑥 − 12−25 𝑥 2 = 3+𝑥 2 − 𝑥−5 2 = Löse die Gleichung. 𝑥=−4 8𝑥−5=31−4𝑥 6𝑥−5∙ 2𝑥−3 =5 (𝑥+3)∙(𝑥−3)=(𝑥−5)∙(𝑥−3) −2𝑥∙ 20−8𝑥 − 15−5𝑥 = 4𝑥−5 2 B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 1.) −6𝑥+8 ;2.) 3𝑥−68 ;3.) − 10𝑥 2 +8 ;4.) −3 ;5.) 16𝑥−16 ;6.) 𝑥=−44 ;7.) 𝑥=3 ;8.) 𝑥=2,5 ; 9.) 𝑥=3 ;10.)𝑥=8 Lerntheke OER 11.1

26 Basis Station 10 Terme und Gleichungen
Gib einen Term für die Länger der Strecke y an. Stelle einen Term für den Umfang der Figur nur mithilfe von x auf und vereinfache diesen. Stelle einen möglichst einfachen Term für den Flächeninhalt der Figur auf. B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 3𝑥 4𝑥−2 𝑦 2∙(3𝑥−1) 2𝑥 7𝑥−3 a) 𝑦=4𝑥−3 b) U x =25𝑥−10 c) A x =26 𝑥 2 −12 Lerntheke OER 11.1

27 Station 11 Funktionenspiel I
Nimm dir die passende Dose mit den 15 Kärtchen. Auf dem weißen Feld siehst du immer den Anfang. Finde die passende graue Karte, auf der du das neue Feld findest. Am Ende schließt sich der Kreis. Lerntheke OER 11.1

28 Station 12 Funktionenspiel II
Funktionen und ihre Eigenschaften Gegeben sind 12 Graphen, 12 Funktionsgleichungen und 12 Aussagen. Ordne jedem Graphen seine Funktionsgleichung zu und überlege, welche Aussagen auf den Graphen und die Funktionsgleichung zutreffen. A,II,5,6,7;B,IX,1,2,7;C,X,5,6,7;D,I,2,3,5,7;E,IV,1,3,4,6,7;F,XI,6,7;G,VI,1,3,4,6,7;H,III,3,6,7;I,XII,1,6,7;J,VIII,5,6,7;K,VII,6,7;L,V,2,3,7 Lerntheke OER 11.1

29 Allgemeine Funktionen
Station 13 Allgemeine Funktionen 1.) Welche der abgebildeten Graphen gehören zu einer Funktion? Begründe. a b c d 4 2.) Gegeben sind die Funktionen 𝑓,𝑔,ℎ mit den Funktionsgleichungen: 𝑓 𝑥 =2𝑥−3; 𝑔 𝑥 =− 1 𝑥 ; ℎ 𝑥 =−2∙ 𝑥− e) Bestimme die Funktionswerte von 𝑓,𝑔,ℎ an den Stellen -2; 3 und 10. f) Bestimmen die Graphen der Funktionen 𝑓,𝑔,ℎ mithilfe einer Wertetabelle. g) Bestimme rechnerisch, ob die Punkte 𝑃 1 1 −1 ; 𝑃 auf den Graphen von 𝑓,𝑔,ℎ liegen. a) nein, zu jedem x-Wert gehören 2 Funktionswerte b) ja, eindeutig bestimmt c) ja, eindeutig bestimmt d) nein, zu jedem x-Wert gehören 2 Funktionswerte e) 𝑓 −2 =−7 ;𝑓 3 =3 ;𝑓 10 =17 ; 𝑔 −2 = 1 2 ;𝑔 −3 =− 1 3 ;𝑔 10 =− 1 10 ;ℎ −2 =−46 ;ℎ 3 =4 ;ℎ 10 =−94 g) 𝑃 1 : 𝑓 1 =−1 𝑗𝑎 ;𝑔 1 =−1 𝑗𝑎 ;ℎ 1 =−4 𝑛𝑒𝑖𝑛 ; 𝑃 2 :𝑓 4 =5 𝑛𝑒𝑖𝑛 ;𝑔 4 =− 1 4 𝑛𝑒𝑖𝑛 ;ℎ 4 =2 𝑗𝑎 Lerntheke OER 11.1

30 Quadratische Gleichungen
Station 14 Quadratische Gleichungen Teste deine Grundfertigkeiten zu quadratischen Gleichungen: 1.) Bei welchem der folgenden Gleichungen handelt es sich um quadratische Gleichungen? 6.) Welches ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Art 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 10.) Welche Lösungsansätze haben keine Lösung? A 𝑥 1,2 =− − −5 B 𝑥 1,2 = − −4 C 𝑥 1,2 = − −3 D 𝑥 1,2 = − −10 A 2 𝑥 2 +6𝑥−5=0 B 𝑥 2 −5=20 C 4𝑥−5=10𝑥 D 𝑥∙ 2+3𝑥 =−6 A 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 B 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 C 𝑥 1,2 = 𝑝 2 + − 𝑝 −𝑞 D 𝑥 1,2 =− 𝑝 2 + − 𝑝 𝑞 2.) Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben? 11.) Entscheide, ob 𝑥−5 ∙ 𝑥+3 =0 eine quadratische Gleichung ist und nenne gegebenenfalls die Lösungsmenge. 7.) Gegeben ist die Gleichung 𝑥 2 −5𝑥+2=0. Welche Zuordnung ist richtig? A 𝑢𝑛𝑒𝑛𝑑𝑙𝑖𝑐ℎ 𝑣𝑖𝑒𝑙𝑒 B 𝑒𝑖𝑛𝑒 C 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 D 𝑧𝑤𝑒𝑖 A 𝑝=5 ;𝑞=2 B 𝑝=−5 ;𝑞=2 C 𝑝=5 ;𝑞=−2 D 𝑝= 𝑥 2 ;𝑞=1 A 𝐿= 3 ;5 B 𝐿= −3 ;5 C 𝐿= −3 ;−5 D 𝐾𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 3.) Welche Lösungsmenge gehört zu der quadratischen Gleichung 𝑥 2 −2𝑥−15=0? 5 A 𝐿= 3;5 B 𝐿= 5 C 𝐿= −3;5 D 𝐿= 3;−5 8.) Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung ergibt sich 𝑥 1,2 = − −2 . Welche Gleichung passt? 6 4.) Zu welchen der quadratischen Gleichungen gehört die Lösungsmenge 𝐿= 0 ;3 A 𝑥 2 +5𝑥−2=0 B −𝑥 2 +5𝑥+2=0 C 𝑥 2 −5𝑥+2=0 D 𝑥 2 +5𝑥+2=0 A 𝑥 2 −3𝑥=0 B 4 𝑥 2 −10𝑥=0 C 3 x 2 −3x=0 D 3 𝑥 2 =−3𝑥 9.) Betrachte die Gleichung 5 𝑥 2 −15𝑥+5=0. Welcher Lösungsansatz ist richtig? 5.) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 𝑥 2 −4=60 A 𝑥 1,2 =− − −1 B 𝑥 1,2 = − −1 C 𝑥 1,2 = − −1 D 𝑥 1,2 =− − A 𝐿= 8 B 𝐿= −8 C 𝐿= −8 ;8 D 𝐿= 3 ;8 1.)A,B,C 2.) B,C,D 3.) C 4.) A 5.) C 6.) A 7.) B 8.) C 9.) B 10.) A,D 11.) B Lerntheke OER 11.1

31 Quadratische Gleichungen
Station 15 Quadratische Gleichungen Einfache quadratische Gleichungen lösen: 𝑥 2 −169=0 b) 5−3 𝑥 2 =− c) 16+7 𝑥 2 =9 𝑥 2 d) 3 𝑥 2 −18𝑥=0 e) 𝑥 2 − 6 27 = 1 9 f) −1,2 𝑥 2 +6𝑥= g) 𝑥 2 −0,6𝑥=0 h) 𝑥 2 −39=3 i) 2𝑥−11 ∙ 2𝑥+11 = j) 𝑥+5 2 =10𝑥+146 k) 𝑥−0,3 ∙ 3 7 𝑥+0,3 =9 l) 𝑥+5 2 −25=15𝑥 m) 5∙ 𝑥 2 +2𝑥 =7 𝑥 2 +4𝑥 n) −91+4 𝑥 2 =−3 𝑥 2 o) 𝑥+1 ∙ 𝑥+7 = 5𝑥−4 2 − 𝑥 𝑥 p) 4−5𝑢 𝑢=80+5𝑢 B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 7 a) 𝑥 1 =13; 𝑥 2 =−13 b) 𝑥 1 =3; 𝑥 2 =−3 c) 𝑥 1 = 8 ; 𝑥 2 =− 8 d) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =6 e) 𝑥 1 = 2 3 ; 𝑥 2 =− 2 3 f) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =5 g) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =3 h) 𝑥 1 = 168 ; 𝑥 2 =− i) 𝑥 1 =6; 𝑥 2 =− j) 𝑥 1 =11; 𝑥 2 =−11 k) 𝑥 1 =7,03; 𝑥 2 =−−7,03 l) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =5 m) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 =−6 n) 𝑥 1 = 13 ; 𝑥 2 =− 13 o) 𝑥 1 =0; 𝑥 2 = p) 𝑢 1 = 8 5 ; 𝑢 2 =− 8 5 Lerntheke OER 11.1

32 Quadratische Gleichungen
Station 16 Quadratische Gleichungen Allgemeine quadratische Gleichungen lösen: 𝑥 2 +6𝑥−4=0 b) 𝑥 2 −7𝑥−12=0 c) 𝑥 2 +8𝑥+17=1 d) 𝑥 2 −8𝑥+20=4 e) 𝑥 2 −5𝑥+10=4 f) 3 𝑥 2 −15𝑥 =− 7 8 g) 𝑥 2 −2𝑥 =0 h) 79−3 𝑥 2 −9𝑥=5 i) 𝑥 2 − 7 4 𝑥=2 𝑥 2 +𝑥+5 j) −10𝑥+2+2 𝑥 2 =−8𝑥+42 k) 5𝑥 𝑥 2 −7= 4−15𝑥 2 B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 7 a) 𝑥 1 ≈−6,06; 𝑥 2 ≈6,06 b) 𝑥 1 ≈−1,424; 𝑥 2 ≈8,424 c) 𝑥 1,2 =−4 d) 𝑥 1,2 =−4 e) 𝑥 1 =2; 𝑥 2 =3 f) 𝑥 1 =1; 𝑥 2 =4 g) 𝑥 1 = 1 5 ; 𝑥 2 = 3 5 h) 𝑥 1 ≈−6,688; 𝑥 2 ≈3,688 i) 𝑥 1 ≈−2,13; 𝑥 2 ≈3, j) 𝑥 1 =−4; 𝑥 2 =5 k) 𝑥 1 = 1 10 ; 𝑥 2 =1,4 Lerntheke OER 11.1

33 Quadratische Gleichungen
Station 17 Quadratische Gleichungen Text- und Sachaufgaben mit quadratischen Funktionen. Stelle jeweils zuerst eine quadratische Gleichung auf. 1.) Das Quadrat einer gesuchten Zahl ist gleich ihrem Dreifachen. Welche Zahl wird gesucht? 2.) Gesucht ist die Kantenlänge eines Würfels mit dem Oberflächeninhalt von 216 cm². 3.) Multipliziert man eine natürliche Zahl mit der um 2 größeren Zahl, so erhält man 24. Welche Zahl wird gesucht? 4.) Das Quadrat einer natürlichen Zahl vermehrt um ihr 4-faches ergibt 12. Welche Zahl wird gesucht? 5.) Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 6000mm². Die Seite ist um 4cm länger als die andere Seite. Wie lang sind die Rechteckseiten? 6.) Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Flächeninhalt von 6600 mm². Eine Kathete ist 1,6 dm länger als die andere Kathete. Wie lang sind die Katheten? B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 7 1.) 𝑥 2 =3𝑥 -> 0 oder 3 2.) 6 cm 3.) 𝑥∙ 𝑥+2 =24 →4 4.) 𝑥 2 +4𝑥=12 →2 5.) A=a∙𝑏 →60𝑐 𝑚 2 =𝑥∙ 𝑥+4 →𝑎=6𝑐𝑚 ;𝑏=10 6.) 𝐴= 𝑎∙𝑏 2 →66𝑐 𝑚 2 = 𝑥∙(𝑥+16) 2 →𝑎=6𝑐𝑚 ;𝑏=22𝑐𝑚 Lerntheke OER 11.1

34 Quadratische Funktionen
Station 18 Quadratische Funktionen Funktionsgleichung in Normalform umformen. 𝑓 𝑥 = 𝑥+7 2 = 𝑓 𝑥 = 3 2 −7𝑥 2 = 𝑓 𝑥 =− 𝑥− − 11 2 = 𝑓 𝑥 = 2 3 ∙ 𝑥 −6= 𝑓 𝑥 =−4∙ 𝑥− −7𝑥+ 9 5 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ 5 2 −𝑥 − 𝑥 = B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) Normalform: 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Beispiel: 𝑓 𝑥 = 𝑥+5 2 −5 𝑓(𝑥)=𝑥 2 +10𝑥+25−5 𝑓(𝑥)= 𝑥 2 +10𝑥+20 7 𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +14𝑥+49 ;𝑏)𝑓 𝑥 =49 𝑥 2 −21𝑥+2,25 ;𝑐) 𝑓(𝑥)=− 𝑥 2 +5𝑥+11,75 ;𝑑) 𝑓(𝑥)= 2 3 𝑥 2 +𝑥− ; e) 𝑓 𝑥 =−31,36 𝑥 ,2𝑥−180,45 ;𝑓 𝑥 =−8 𝑥 2 +𝑥−52,5 Lerntheke OER 11.1

35 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Station 19 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen 1. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −25 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −196 c) 𝑓 𝑥 =6,25− 𝑥 2 d) 𝑓 𝑥 =1,44− 𝑥 2 e) 𝑓 𝑥 =5 𝑥 2 −25𝑥 f) 𝑓 𝑥 =4 𝑥 2 +5𝑥 g) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −4𝑥 h) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −8𝑥 2. Begründe, warum in Aufgabe 1 die Anwendung der pq-Formel nicht sinnvoll ist. 3. Begründe, warum die Funktion 𝑓 𝑥 = 𝑥 keine Nullstellen hat. 4. Bestimme die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen mithilfe der pq-Formel. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥+5 j) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +6𝑥−4 k) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +7𝑥+4 l ) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −6𝑥+5 m) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 −24𝑥−9 n) 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 −12𝑥−7 7 8 4.) i) 𝑆 0 5 , 𝑁 1 −5 0 𝑁 2 −1 0 𝑗) 𝑆 0 −4 , 𝑁 1 −3− 𝑁 2 − k) 𝑆 0 4 , 𝑁 1 −3, 𝑁 2 −3, l) 𝑆 0 5 , 𝑁 𝑁 m) 𝑆 0 −9 , 𝑁 1 4− 𝑁 n) 𝑆 0 −7 , 𝑁 𝑁 2 3− 1.) 𝑎) 𝑆 0 25 , 𝑁 𝑁 2 −5 0 𝑏) 𝑆 , 𝑁 𝑁 2 −5 0 c) 𝑆 0 6,25 , 𝑁 1 2,5 0 𝑁 2 −2,5 0 𝑑) 𝑆 0 1,44 , 𝑁 1 1,2 0 𝑁 2 −1,2 0 e) 𝑆 0 0 , 𝑁 𝑁 f) 𝑆 0 0 , 𝑁 𝑁 2 −1,25 0 g) 𝑆 0 0 , 𝑁 𝑁 2 −4 0 h) 𝑆 0 0 , 𝑁 𝑁 2 ( ) Für a-d genügt kurzes umstellen und Wurzelziehen und bei e-f kann man zunächst x- ausklammern (man erhält 𝑥 1 =0), sodass die zweite Nullstelle durch umstellen ermittelt werden kann. 3.) Es muss gelten: 𝑓 𝑥 =0→0= 𝑥 𝑢𝑚𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑥 2 𝑥 2 =−25 𝑊𝑢𝑟𝑧𝑒𝑙𝑛 𝑧𝑖𝑒ℎ𝑒𝑛 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ, 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑛 𝑎𝑢𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑍𝑎ℎ𝑙𝑒𝑛 𝑘𝑒𝑖𝑛𝑒 𝑊𝑢𝑟𝑧𝑒𝑙 𝑧𝑖𝑒ℎ𝑒𝑛 𝑘𝑎𝑛𝑛. Lerntheke OER 11.1

36 Quadratische Funktionen in der Anwendung
Station 20 Quadratische Funktionen in der Anwendung Die Flugbahn eines Golfballes kann näherungsweise durch eine Parabel beschrieben werden, wobei x der horizontalen Entfernung vom Abschlagspunkt in Metern und 𝑓(𝑥) der Höhe des Balles in Metern entspricht. Eine spezielle Flugbahn kann durch die Gleichung 𝑓 𝑥 =−0,006 𝑥 2 +0,6𝑥 beschrieben werden. a) Berechne, wie weit der Ball über der 50m Markierung ( 50m horizontale Entfernung vom Abschlagspunkt) von der Erde entfernt ist. b) Berechne, wie weit der Ball maximal fliegt. c) Wie hoch ist der Ball maximal geflogen? d) Gib einen sinnvollen Definitionsbereich und Wertebereich für die Flugbahn des Golfballes an. (Überlege dir, welche x- Werte (Definitionsbereich) und welche y-Werte (Wertebereich) zur Beschreibung des Fluges Sinn ergeben.) 7 8 a) 15m b) 100m c) 15m d) 𝐷 𝑓 = 0;100 ; 𝑊 𝑓 0;15 Lerntheke OER 11.1

37 Quadratische Funktionen in der Anwendung
Station 21 Quadratische Funktionen in der Anwendung Anna über Kugelstoßen für die Bundesjugendspiele. Die Flugbahn ihre weitesten Wurfes kann mithilfe der Funktion 𝑓 𝑥 =−0,1 𝑥 2 +0,6𝑥+1,6 beschrieben werden. Hierbei entspricht x der horizontalen Entfernung des Balls vom Abwurfpunkt in m und 𝑓(𝑥) der Höhe des Balls in m. Wie groß ist Anna etwa? Berechne, wie weit Annas weitester Wurf war? Begründe, warum die Kugel nach 3 m ihren höchsten Punkt erreicht hat. Gib einen sinnvollen Definitions- und Wertebereich an. 7 8 a) Etwa 1,8m, da der Abstoßpunkt dem y-Achsenabschnitt entspricht und damit Annas Schulter plus etwa 20 cm Kopfhöhe b) 8m c) Der Funktionswert für x=2,99 ist 2,499 Lerntheke OER 11.1

38 Quadratische Funktionen bestimmen
Station 22 Quadratische Funktionen bestimmen a) Bestimme die Funktionsgleichung zu den drei folgenden Parabeln. b) Beschreibe den Verlauf des 1. Graphen mittels der Nullstellen / des y-Achsenabschnitt und benutze die Worte (Parabel, Nullstelle, Y-Achsenabschnitt, Scheitelpunkt, Quadranten, positiv, negativ). 1.) 2.) 3.) 6 7 8 1.) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥 ;𝑔 𝑥 = 𝑥 2 +2 ;ℎ 𝑥 =− 𝑥 2 −2𝑥−1 b) Die Parabel sinkt vom II. Quadranten zur 1. Nullstelle 0 0 , dann weiter zum Scheitelpunkt 1 −1 im IV. Quadranten. Ab dem Scheitelpunkt steigt die Parabel zur 2.Nullstelle Nach der Nullstelle steigt die Parabel im I. Quadranten weiter. Lerntheke OER 11.1

39 Schnitte von Funktionen
Station 23 Schnitte von Funktionen Gegeben sind die Graphen der Funktionen f, g und h. 1.) Bestimme die Funktionsgleichungen der Funktionen f, g und h. 2.) Bestimme rechnerisch die Nullstellen und die Schnittpunkte der Funktionen f, g ; g,h und h,f. 6 7 8 Nullstellen: f 𝑁 ; g 𝑁 1 0, 𝑁 2 3,41 0 ; h 𝑁 Schnittpunkte: f,g 𝑆 𝑆 g,h 𝑆 1 0 −2 𝑆 h,f 𝑆 𝑆 Lerntheke OER 11.1

40 Transformation quadratischer Funktionen
Station 24 Transformation quadratischer Funktionen a) Gib die Funktion an, die entsteht, wenn man die Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts verschiebt. Gib die neu entstandene Funktion in der Normalform an. b) Gib die Funktion an, die entsteht, wenn man die Parabel mit der Funktion 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 um zwei Einheiten nach links verschiebt. Gib die neu entstandene Funktion in der Normalform an. c) Gib die Funktion an, die entsteht, wenn man die Parabel mit der Funktion 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 (Graph siehe b) um zwei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben verschiebt. Gib die neu entstandene Funktion in der Normalform an. d) Gib die Funktion an, die entsteht, wenn man die Funktion 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 2 −3𝑥 um 3 Einheiten nach links und 3 Einheiten nach unten verschiebt. Gib die neu entstandene Funktion in der Normalform an. B4 Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr, sehr, sehr viel Arbeit ersparen. 𝒂+𝒃 𝟐 = 𝑎+𝑏 ∙ 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 +𝑎𝑏+𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 +𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂−𝒃 𝟐 = 𝑎−𝑏 ∙ 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 −𝑎𝑏−𝑏𝑎+ 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 −𝟐𝒂𝒃+ 𝒃 𝟐 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 = 𝑎 2 −𝑎𝑏+𝑏𝑎− 𝑏 2 = 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen. Beispiel: 𝑥+5 2 =…= 𝑥 2 +2∙𝑥∙5+25 𝑥 2 −81=…=(𝑥+9)(𝑥−9) 5 𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 2 = 𝑥 2 −6𝑥+9 ;𝑏) 𝑓 𝑥 =2 𝑥+2 2 =2𝑥^2+6𝑥+8 ;𝑐) 𝑓 𝑥 =2 𝑥− =2 𝑥 2 −8𝑥+10; d) 1 2 ∙ 𝑥+3 2 −3 𝑥 −3= 1 2 𝑥 2 −3 Lerntheke OER 11.1

41 Station 25 Potenzen und Wurzeln B1 B2
Nutze die Potenzgesetze / Ohne Taschenrechner: a) ∙ 10 5 = b) = c) 5 8 ∙ 5 8 = d) 2 2 ∙ 2 3 ∙ 2 4 = e) = Gib die wissenschaftliche Schreibweise für neumilliardenfünfhunderteinundfünfzigmillionen an. Die Masse eines Wasseratoms beträgt etwa 1,66∙ 10 −24 𝑔. Berechne, wie viele Atome etwa in 1g enthalten sind. Umformen und Wurzelziehen ohne Taschenrechner: = b) = c) = d) 3 8 = e) = = b) = c) = d) 2∙2∙2∙2∙2 ∙2∙2 ∙2∙2 ∙2 2 = Ermittle die gesuchten Exponenten: 2 𝑥 = b) 𝑥 = c) 3 𝑥 =1 d) 10 𝑥 = 1 100 B1 B2 1. ) 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒. 3 0 =1 2.) 9,551∙ ) 6,0241∙ ) a. 2 b. 4 c. 8 d. 2 e.2 5.) a 𝑏 𝑐 = 𝑑 ) a. 3 b.5 c. 0 d. -2 Lerntheke OER 11.1

42 Station 26 Potenzregeln Ars Memoriae oder die Kunst des Erinnerns ist
schon seit Simonides von Keos ( v.Chr.) als wichtiger Bestandteil der Menschheit bekannt. Simonides musste die Kunst des Erinnerns allerdings nutzen, um unkenntlichen Leichen ihre Namen zuzuordnen. Er verfügte über diese Kunst, da er sich die Sitzplätze merkte, auf denen die Gäste saßen, bevor das Dach einstürzte. Ihr sollt diese Kunst des Erinnerns nun auch trainieren, indem ihr euch einen Partner sucht, der auch die Station 3 machen möchte. B1 Lerntheke OER 11.1

43 Station 27 Domino Suche dir einen Partner, der auch die Station 4 machen möchte und fordere ihn zum Hexagon-Domino heraus.* Hole dir von vorne das Material. Anleitung: Sucht euch eine Farbe aus und legt zuerst zusammen die schwarzen Hexagon-Dominos so, dass immer eine Aufgabe an der entsprechenden Lösung liegt. Ziel: Wer zuerst alle Hexagon-Dominos so gelegt hat, dass immer eine Aufgabe an der entsprechenden Lösung liegt hat gewonnen. * Zur Not kannst du das Hexagon-Domino auch alleine lösen. B2 Lerntheke OER 11.1

44 Station 28 Wurzeln und Potenzen
Vereinfache so weit wie möglich und löse die Aufgaben so weit wie möglich ohne Hilfsmittel. 36 𝑥 𝑧 7 = 35 𝑧 𝑥 6 𝑥 −4 2𝑦 −3 = − = 0,25−0, = 𝑎 2 ∙ 𝑏 𝑎 3 ∙𝑏 2 = 5 𝑦 2 2 𝑥 ∙ 6𝑥 10𝑦 4 = B1 B2 1.) 10 3 𝑥 3 ∙ 𝑧 ) 2𝑦 3 𝑥 4 = 8 𝑦 3 𝑥 ) − =10,765 4.) 0,3+3=3,3 5.) 𝑎 6 ∙ 𝑏 𝑎 6 ∙ 𝑏 2 = 𝑏 25 f) 3𝑦 2𝑥 4 = 81 𝑦 𝑥 4 Lerntheke OER 11.1

45 Exponentialfunktionen
Station 29 Exponentialfunktionen Teste deine Grundfertigkeiten zu Exponentialfunktionen: Welche der Graphen gehören zu einer Exponentialfunktion? 2. Für eine Exponentialfunktion 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 gilt: Der Funktionsgraph.. A) …schneidet die x-Achse. B) …schneidet die y-Achse. C) …liegt oberhalb der x-Achse. D) …liegt unterhalb der x-Achse. 3. Jede Exponentialfunktion 𝑓 𝑥 =𝑐∙ 𝑎 𝑥 geht durch den Punkt: A) ; B) ; C) 0 𝑐 ; D) 𝑐 0 4. 𝑓 𝑥 = 𝑤 0 ∙ 1+ 𝑝 𝑥 beschreibt prozentuales Wachstum. Dabei ist… A) … 𝑤 0 die Wachstumsrate B) … 𝑤 0 der Anfangsbestand C) …𝑝 der Wachstumsfaktor D) …𝑝 die Wachstumsrate 5. Eine Bakterienart vermehrt sich exponentiell. Zu Beginn sind 5 Bakterien vorhanden, nach 2 Stunden schon 45. Welche Funktion passt? A) 𝑓 𝑥 =20𝑥+5 B) 𝑓 𝑥 =5∙ 3 𝑥 C) 𝑓 𝑥 =10 𝑥 D) 𝑓 𝑥 =3∙ 5 𝑥 6. Für welchen Wert von a fällt der Graph von 𝑓 𝑥 =2,5∙ 𝑎 𝑥 ? A) 𝑎=2,5 ; B) 𝑎=0,5 ; C) 𝑎=1 D) 0<𝑎<1 A) B) C) D) 9 1.) A,D ; 2.) B,C ; 3.) C ; 4.) B ; 5.) B ; 6.) B,D Lerntheke OER 11.1

46 Exponentialfunktionen bestimmen
Station 30 Exponentialfunktionen bestimmen 1.) Der Graph einer Exponentialfunktion f mit 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 verläuft durch den Punkt P. Bestimme den Funktionsterm und gib an, ob der Graph steigt oder fällt. 𝑃 b) 𝑃 c) 𝑃 d) 𝑃 −1 3 2.) Der Graph der Exponentialfunktion 𝑓 mit 𝑓 𝑥 =𝑐∙ 𝑎 𝑥 verläuft durch die Punkte P und Q. Gib die Funktionsgleichung an. e) 𝑃 und 𝑄 f) 𝑃 0 8 und 𝑄 g) 𝑃 und 𝑄 B1 9 a) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 , 𝑠𝑡𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑑 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 , 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑 c) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 , 𝑠𝑡𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑑 d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 e) 𝑓 𝑥 =2,5∙ 4 𝑥 f) 𝑓 𝑥 =8∙ 𝑥 g) 𝑓 𝑥 =81∙ 𝑥 Lerntheke OER 11.1

47 Exponentialfunktionen in der Anwendung
Station 31 Exponentialfunktionen in der Anwendung 1 Die Anzahl von Milchsäurebakterien verdoppelt sich bei 37℃ etwa nach 30 Minuten. Zu Beginn sind 100 Bakterien vorhanden. Beschreibe das Bakterienwachstum durch eine Exponentialfunktion und skizziere den Graphen zunächst für den Zeitraum der ersten 4 Stunden. (Tipp: Was bedeutet eine Verdopplung bei 30 min für die Anzahl bei 60 min, also 1h?) Wie viele Bakterien sind nach 10 Minuten, nach 5,5 Stunden bzw. nach genau einem Tag vorhanden? 2 Der Wildbestand eines Naturparks nimmt seit Jahren exponentiell ab und sinkt innerhalb von 5 Jahren um rund 4 %. Im Jahr 2010 wurden 1780 Tiere gezählt. Beschreibe die Entwicklung des Wildbestands durch eine Exponentialfunktion. Wie viele Tiere gab es im Jahr 2005 und mit welcher Anzahl rechnet man im Jahr 2025, wenn man davon ausgeht, dass die Entwicklung sich exponentiell fortsetzt? 3 Zu Jahresbeginn 2003 enthielt der deutsche Ableger von Wikipedia Artikel. In den Folgejahren hat sich die Anzahl jährlich etwa vervierfacht. Wie viele Artikel waren Ende März 2004 etwa online? Wie viele Artikel müssten dann heute in Wikipedia stehen? Recherchiere den aktuellen Stand und finde heraus, ob es sich immer noch um eine Vervierfachung handelt. B1 9 10 a) 𝑓 𝑥 =100∙ 4 𝑥 b) 𝑛𝑎𝑐ℎ 10 𝑚𝑖𝑛≈126 ;𝑛𝑎𝑐ℎ 5,5ℎ ≈ ;𝑛𝑎𝑐ℎ 1 𝑇𝑎𝑔 ≈30 𝐵𝑖𝑙𝑙𝑖𝑎𝑟𝑑𝑒𝑛 c) 𝑓 𝑥 =1780∙ 0,9919 𝑥 (x in Jahren) d) 𝑓 −5 ≈1854 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑒 ;𝑓 15 =1576 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑒 e) 𝐴 𝑡 =12000∙ 4 𝑡 →𝐴 = f) 𝐴 𝑎𝑘𝑡𝑢𝑒𝑙𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑒𝑛 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛 =12000∙ 4 (𝑎𝑘𝑡𝑢𝑒𝑙𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑒𝑛 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛) g) Es ist eher ein lineares Wachstum vorhanden. Lerntheke OER 11.1

48 Transformation der Exponentialfunktion
Station 32 Transformation der Exponentialfunktion Ordne die angegebenen Funktionsgleichungen den Graphen I-IV zu. 𝑓 𝑥 = 0,5 𝑥 𝑔 𝑥 = 0,5 𝑥 +2 ℎ 𝑥 = 2 𝑥−1 i 𝑥 = 2 𝑥+2 9 𝑓 𝑥 →𝐼𝐼 ; 𝑔 𝑥 →𝐼𝑉 ; ℎ 𝑥 →𝐼 ; 𝑔 𝑥 →𝐼𝐼𝐼 Lerntheke OER 11.1

49 Wahrscheinlichkeitsrechnung Test
Station 33 Wahrscheinlichkeitsrechnung Test 1.) Bei welchen Zufallsexperimenten handelt es sich um ein Laplace-Experiment? A) Würfeln mit einem Spielwürfel B) Würfeln mit einem Quader C) Wurf einer Münze D) Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit je einer roten, blauen und gelben Kugel. 2.) Eine Münze wird einmal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt „Zahl“ oben? A) B) 0,2 C) 2 D) 1 3.) Tritt ein Ereignis E mit absoluter Sicherheit ein, so ist… A) 𝑃 𝐸 =0 B) 𝑃 𝐸 =0,5 C) 𝑃 𝐸 =1 D) 𝑃 𝐸 =100% 4.) Liegt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis eintritt bei 60%, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis nicht eintritt… A) 60% B) 40% C) 0 D) 2/5 5.) Ein Spielwürfel wird einmal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt eine Zahl, die kleiner als 5 ist? A) 4% B) 5% C) D) 5 6 6.) In einem Korb mit 30 Eiern liegen 6 angeschlagene Eier. Mit welcher Wahrscheinlichkeit entnimmt man dem Korb beim einmaligen Ziehen ein ganzes Ei? A) B) C) 80% D) 7.) Kann ein Ereignis E nicht eintreten, so ist… A) 𝑃 𝐸 =0 B) 𝑃 𝐸 =0 ,5 C) 𝑃 𝐸 =1 D) 𝑃 𝐸 =100% 8.) In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man bei zweimaligem Ziehen zwei weiße Kugeln, wenn die zuerst gezogene Kugel zurückgelegt wird… A)12% B)24% c) 36% D)60% 9.) Zwei Spielwürfel werden gleichzeitig geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen beide Würfel zusammen 9 Augen. 2 6 B) C) D) 4 36 10.) Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei beiden Würfen „Zahl“ oben liegt? A) B) C) D) 1 2 11 12 1.) A,B,C 2.) A 3.) C,D 4.) B,D 5.) C 6.) A,C,D 7.) A 8.) C 9.) D 10.) A Lerntheke OER 11.1

50 Station 34 Würfel Ein regulärer Würfel wird 2-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse. Es wird zweimal eine 6 geworfen. Es werden zwei gleiche Zahlen geworfen. Die geworfene Augensumme beträgt mindestens 10. Die geworfene Augensumme ist eine Primzahl. Die Augenzahl im ersten Wurf ist kleiner als die im zweigten Wurf. 11 12 𝑎) 1 36 ≈2,8% 𝑏) 6 36 ≈16,7% 𝑐) 6 36 ≈16,7% d) ≈41,6% e) ≈41,7% Lerntheke OER 11.1

51 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Station 35 Wahrscheinlichkeitsrechnung Glücksrad Ein Glücksrad besteht aus zwei weiße und acht schwarze Feldern. Alle Felder sind gleich groß. Es wird zweimal gedreht. Zeichne ein passendes Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten an den Ästen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Male auf schwarzes Feld gedreht wird. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst auf ein weißes und dann auf ein schwarzes Feld gedreht wird. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gedrehten Farben gleich sind. Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn die Anzahl der weißen und schwarzen Felder verdoppelt wird? Das Glücksrad soll 30 Felder erhalten. Wie viele Felder müssen weiß sein, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten nicht verändern sollen? 11 12 Lerntheke OER 11.1

52 Station 35 Lösung a) b) 𝑃 𝑠;𝑠 = 1 5 ∙ 1 5 = 1 25 =0,64=64%
c) 𝑃 𝑤;𝑠 = 1 5 ∙ 4 5 = 4 25 =0,16=16% d) 𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑟𝑏𝑒𝑛 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ =𝑃 𝑠;𝑠 +𝑃 𝑤;𝑤 = 4 5 ∙ ∙ 1 5 = =0,68=68% e) Die Wahrscheinlichkeiten verändern sich nicht. f) 𝑃 𝑤 = 1 5 → 1 5 ∙30=6 𝑃 𝑠 = 4 5 → 4 5 ∙30=24 Es müssen somit 6 weiße und 24 schwarze Felder sein. 1 5 schwarzs weiß schwarz 1 5 4 5 1 5 4 5 4 5 Lerntheke OER 11.1

53 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Station 36 Wahrscheinlichkeitsrechnung Urne Aus dem abgebildeten Glas mit schwarzen und blauen Kugeln werden willkürlich zwei Kugeln nacheinander entnommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind sie gleichfarbig, wenn man die entnommene Kugel wieder zurücklegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind sie gleichfarbig, wenn die entnommene Kugel nicht zurückgelegt wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Kugeln unterschiedliche Farben, wenn die entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird? In die Urne werden zusätzlich zwei weiße Kugeln gelegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwei verschiedenfarbige Kugeln genommen, wenn die erst Kugel nicht zurückgelegt wird? 11 12 Lerntheke OER 11.1

54 Station 36 Lösung 𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑏𝑙𝑎𝑢 = 5 9 ∙ 5 9 = 25 81
𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑏𝑙𝑎𝑢 = 5 9 ∙ 5 9 = 25 81 𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧 = 4 9 ∙ 4 9 = 16 81 Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen mit Zurücklegen zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen, liegt bei ca. 50,6% 𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑏𝑙𝑎𝑢 = 5 9 ∙ 4 8 = 20 72 𝑃 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧 = 4 9 ∙ 3 8 = 12 72 Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen ohne Zurücklegen zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen, liegt bei ca. 44,4% Dass die Kugeln unterschiedliche Farben haben, ist das Gegenereignis zu gleichfarbig. 𝑃 𝐹𝑎𝑟𝑏𝑒𝑛 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑒𝑑𝑒𝑛 =1− = ≈0,494≈49,4% Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen mit Zurücklegen zwei Kugeln mit unterschiedlichen Farben zu ziehen liegt ca. bei 49,4%. d) 𝑃 𝑒𝑟𝑠𝑡 𝑏𝑙𝑎𝑢, 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 = 5 11 ∙ 6 10 = 𝑃(𝑒𝑟𝑠𝑡 𝑠𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧, 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒)= 4 11 ∙ 7 10 = 𝑃 𝑒𝑟𝑠𝑡 𝑤𝑒𝑖ß, 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 = 2 11 ∙ 9 10 = Die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen ohne Zurücklegen zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, beträgt ca. 69,1%. 𝑃 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 = = ≈0,506≈50,6% 𝑃 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 = = ≈0,444≈44,4% 𝑃 𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 = = ≈0,691≈69,1% Lerntheke OER 11.1

55 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Station 37 Wahrscheinlichkeitsrechnung Medizin Die Hämophilie A ist vererbbar. Das die Krankheit auslösende Gen liegt auf dem X-Chromosom. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Chromosom vererbt wird, ist 0,5. Männer verfügen über ein XY-Chromosomenpaar und Frauen über ein XX-Chromosomenpaar. Das Chromosomenpaar des Kindes entsteht aus je einem Chromosom des Vaters und der Mutter. Eine Schwangere ist Trägerin genau eines defekten Gens. Der Vater ihres Kindes hat das die Krankheit auslösende Gen nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ihre Tochter das Gen? Bestimme mithilfe von Baumdagrammen, mit welcher Wahrscheinlichkeit Eltern, von denen mindestens einer Träger der Bluterkrankheit ist, einen Sohn bekommen, der Träger des defekten Chromosoms ist. Betrachte mehrere Fälle. XY XY XX XX XY XY 11 a) Die Tochter hat das defekte Gen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 2 =0,5=50% b) Da ein Sohn vom Vater das Y-Chromosom erhält, spielt es keine Rolle, ob der Vater Träger der Krankheit ist. Besitzt die Mutter kein defektes Gen, beträgt die Wahrscheinlichkeit 0, einen Sohn mit dem defekten Gen zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Eltern einen Sohn bekommen, liegt bei Besitzt die Mutter genau ein defektes Gen, beträgt die Wahrscheinlichkeit 1 2 , dass der Sohn dieses bekommt. Die Wahrscheinlichkeit, einen Sohn mit defektem Gen zu bekommen, beträgt dann ∙ 1 2 = 1 4 =0,25=25%. Enthalten beide X-Chromosome der Mutter das defekte gen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen Sohn mit dem defekten Gen zu bekomme, 1 2 ∙1=0,5=50% . 12 Lerntheke OER 11.1