Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Stochastik Aufgabe C 1 - Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de.

Präsentation zum Thema: "Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Stochastik Aufgabe C 1 - Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de."—  Präsentation transkript:

1 Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Stochastik Aufgabe C 1 - Lösungen

2 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Aufgabe C 1 Die Tabelle zeigt den prozentuellen Anteil einiger Farben der in Deutschland fahrenden Autos: Diese Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der jeweiligen Autofarben verwendet. Zwei Kinder beobachten vorbeifahrende Autos und achten auf deren Farbe. Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 %

3 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Zunächst beobachten die Kinder 80 Autos. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: 𝐴: „Genau 22 Autos sind silber oder grau.“ 𝐵: „Mindestens 33 Autos sind schwarz.“ 𝐶: „Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben, und von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz“ (3 VP) Wie hoch müsste der Anteil der schwarzen Autos mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % unter 100 beobachteten Autos mindestens 28 schwarz sind? (2 VP)

4 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Das eine Kind bietet dem anderen folgendes Spiel an: „Wenn von den nächsten vier Autos mindestens drei hintereinander nicht schwarz sind, bekommst Du von mir ein Gummibärchen, ansonsten bekomme ich eines von dir“. Untersuchen Sie, ob dieses Spiel fair ist (2,5 VP) Es wird vermutet, dass der Anteil 𝑝, der weißen Autos zugenommen hat. Um dies zu überprüfen wird die Nullhypothese 𝐻 0 : 𝑝≤0,151 auf dem Signifikanzniveau 10 % getestet. Dazu werden die Farben von 500 Autos erfasst. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel (2,5 VP)

5 Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Lösung a) Wahrscheinlichkeit der Ereignisse 𝑨, 𝑩 und 𝑪 Ereignis 𝐴: „Genau 22 Autos sind silber oder grau.“ Die Wahrscheinlichkeit für „silber oder grau“ ist 29,9 %. Die Wahrscheinlichkeit für „nicht (silber oder grau)“ ist entsprechend 100 %−29,9 %=70,1%. Demnach gilt 𝑃 𝐴 = ⋅ 0, ⋅ 0, ≈0,08896=8,9%. (Eingabe mit dem GTR: binompdf(80,0.299,22)).

6 Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Ereignis 𝐵: Mindestens 33 Autos sind schwarz.“ Die Wahrscheinlichkeit für „schwarz“ ist 𝑝=28,8 %. Die Anzahl der schwarzen Autos modellieren wir mit der Zufallsvariablen 𝑋. Demnach gilt 𝑃 𝐵 =𝑃 𝑋≥33 =1−𝑃 𝑋≤32 . Nach Eingabe von 1-binomcdf(80,0.288,32)) liefert der GTR das Ergebnis ≈ 0,0115=1,15 %. Ereignis 𝐶: Das Ereignis 𝐶 setzt sich zusammen aus den zwei Ereignissen 𝐶 1 = „Unter den ersten zehn Autos sind mindestens drei, die keine der in der Tabelle angegebenen Farben haben“ und 𝐶 2 = „Von den anderen 70 Autos sind höchstens 20 schwarz“. Beide Wahrscheinlichkeiten werden getrennt berechnet und anschließend multipliziert.

7 Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Die Wahrscheinlichkeit für „keine Farbe aus der Tabelle“ ist 𝑝=100 %− 29,9 %−28,8 %−15,1 %=26,2 %. Die Anzahl der „andersfarbigen“ Autos modellieren wir mit der Zufallsvariablen 𝑋. Es folgt 𝑝 1 =𝑃 𝐶 1 =𝑃 𝑋≥3 =1−𝑃 𝑋≤2 ≈0,51 mit dem GTR. Die Anzahl der schwarzen Autos mit 𝑝=28,8 % sei modelliert durch die Zufallsvariable 𝑌. Es folgt 𝑝 2 =𝑃 𝐶 2 =𝑃 𝑌≤20 ≈0,5431=54,3 %. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann 𝑝 1 ⋅ 𝑝 2 ≈0,277=27,7 % Ergebnis: Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind 𝑃 𝐴 =8,9 %, 𝑃 𝐵 =1,15 % und 𝑃 𝐶 =27,7 %.

8 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 b) Mindestanteil der schwarzen Autos
Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 b) Mindestanteil der schwarzen Autos Es sei 𝑋 die Anzahl der schwarzen Autos. 𝑋 ist binomialverteilt mit 𝑛=100 (= Anzahl der beobachteten Autos). In der Aufgabe muss eine neue Wahrscheinlichkeit 𝑝 für „schwarz“ bestimmt werden, so dass 𝑃 𝑋≥28 ≥0,95 gilt. Das ist gleichbedeutend ist mit 1−𝑃 𝑋≤27 ≥0,95. Geben Sie bei Y1 im GTR den Ausdruck 1-binomcdf(100,X,27) ein und bei Y2 den Wert 0,95. Beachte, dass hier das 𝑋 für die Trefferwahrscheinlichkeit 𝑝 steht, nicht wie oben für die Anzahl der Autos!

9 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Lassen Sie sich den Graphen der beiden Kurven im 𝑥-Intervall 0;1 und im 𝑦-Intervall 0;1 zeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Kurven und erhalten 𝑥≈0,353. Wir haben somit die neue Wahrscheinlichkeit für „schwarz“ mit 𝑝=35,3 %. Ergebnis: Der Anteil der schwarzen Autos muss mindestens 35,3 % betragen, damit die Bedingungen aus der Aufgabenstellung erfüllt sind.

10 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 c) Ist das Spiel fair? Es sei 𝑋 die Auszahlung in Gummibärchen. Somit kann 𝑋 die Werte 1 und −1 annehmen. Bei einem fairen Spiel muss der Erwartungswert Null sein. Folglich muss gelten 𝐸=1⋅𝑃 𝑋=1 + −1 ⋅𝑃 𝑋=−1 =0 Wir bestimmen nun die WS des Ereignisses 𝐴 = „bei den nächsten vier Autos sind mindestens drei hintereinander nicht schwarz“. Dann gilt 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 +𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 +𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 wobei 𝑠 für „schwarz“ und 𝑠 für „nicht schwarz“ steht.

11 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Mit 𝑃 𝑠 =0,288 und 𝑃 𝑠 =0,712 folgt dann 𝑃 𝐴 =0,288⋅ 0, ,712 3 ⋅0,288+ 0,712 4 ≈0,465. Also ist 𝑃 𝑋=1 =0,465 und 𝑃 𝑋=−1 =1−𝑃 𝑋=1 =0,535 und es folgt 𝐸=0,465−0,535≠0 Ergebnis: Das Spiel ist nicht fair. Farbe silber oder grau schwarz weiß Anteil 29,9 % 28,8 % 15,1 % 𝑃 𝐴 =𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 +𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠 +𝑃 𝑠 𝑠 𝑠 𝑠

12 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 d) Entscheidungsregel Die Nullhypothese 𝐻 0 mit 𝑝≤0,151 legt nahe, dass wir höchstens eine gewisse Anzahl 𝑘 weißer Autos in der Stichprobe vorfinden sollten. Werden aber mehr gezählt, so wird 𝐻 0 abgelehnt. Daher haben wir einen rechtsseitigen Test mit Ablehnungsbereich 𝑘;500 . Die Zufallsvariable 𝑋, welche die Anzahl der weißen Autos beschreibt ist höchstens binomialverteilt mit 𝑛=500 und 𝑝=0,151. Gesucht ist also ein 𝑘 mit 𝑃 𝑋≥𝑘 =1−𝑃 𝑋≤𝑘−1 ≤0,1.

13 Wahlteil 2017 – Aufgabe C 1 Geben Sie nun den Ausdruck 1-binomcdf(500,0.151,X-1) bei Y1 im GTR ein und lassen Sie sich mit 2ND TABLE die Wertetabelle anzeigen. Sie sehen, dass bei 𝑋=87 das Signifikanzniveau erstmals unter 0,1 fällt. Ergebnis / Entscheidungsregel: Wenn sich in der Stichprobe 87 oder mehr weiße Autos befinden, so wird die Nullhypothese abgelehnt, andernfalls wird sie angenommen.