Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de.

Präsentation zum Thema: "Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de."—  Präsentation transkript:

1 Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen

2 Pflichtteil 2017 Aufgabe 1 Bilden Sie die Ableitung der Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥)= 3+ cos 𝑥 4 . (1,5 VP) Lösung: Die Ableitung von 𝑓(𝑥)= 3+ cos 𝑥 4 ergibt sich mit der Potenz- und Kettenregel. Ergebnis: 𝑓‘ 𝑥 =−4⋅ 3+ cos 𝑥 3 ⋅ sin 𝑥 .

3 Pflichtteil 2017 Aufgabe 2 Lösen Sie die Gleichung 𝑒 4𝑥 −5=4 𝑒 2𝑥 . (3 VP) Lösung: 𝑒 4𝑥 −5=4 𝑒 2𝑥 | −4 𝑒 2𝑥 𝑒 4𝑥 −4 𝑒 2𝑥 −5=0 | Setze 𝑧:= 𝑒 2𝑥 (Substitution) 𝑧 2 −4𝑧−5=0 | pq-Formel 𝑧 1,2 =2± 4+5 ⇒ 𝑧 1,2 =2±3 also 𝑧 1 =−1; 𝑧 2 =5

4 𝑧 1 =−1; 𝑧 2 =5 Pflichtteil 2017 Rücksubstitution: 𝑒 2𝑥 =−1 liefert keine Lösung, da 𝑒 2𝑥 >0 für alle 𝑥. 𝑒 2𝑥 =5 | ln 2𝑥= ln 5 ⇒ 𝑥= 1 2 ln 5 = ln = ln 5 Ergebnis: 𝑥= 1 2 ln 5 =ln 5 ist die einzige Lösung.

5 Pflichtteil 2017 Aufgabe 3 Gegeben ist die Funktion 𝑓 mit 𝑓(𝑥)= 2 𝑥 2 ; 𝑥>0. Berechnen Sie den Inhalt der markierten Fläche. (3 VP) Graph von 𝑓

6 Pflichtteil 2017 Wir bestimmen zunächst die 𝑥-Koordinate des Schnittpunkts des Graphen von 𝑓(𝑥) ( 𝑥 0 in der Zeichnung) mit der Geraden 𝑦=2. 2= 2 𝑥 2 ⇒ 𝑥 2 =1 ⇒ 𝑥 0 =1 Die grau markierte Fläche ergibt sich dann wie folgt: 𝐴= 𝐴 𝑅𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑐𝑘 + 𝐴 𝑢𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑟 𝐾𝑢𝑟𝑣𝑒 =1⋅ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 −2 𝑑𝑥 =2+ 2 𝑥 −1 −1 1 2 =2+ − 2 𝑥 1 2 =2+ −1− −2 =3 Ergebnis: Die gesuchte Fläche beträgt 3 L E 2 .

7 Pflichtteil 2017 Aufgabe 4 Sind folgende Aussagen wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. Jede Funktion, deren Ableitung eine Nullstelle hat, besitzt eine Extremstelle. Jede ganzrationale Funktion vierten Grades hat eine Extremstelle. (2,5 VP)

8 Pflichtteil 2017 Lösung: Die Aussage ist falsch, denn beispielsweise die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 hat keine Extremstelle, aber dennoch bei 𝑥=0 eine Nullstelle in der Ableitung, da 𝑓 𝑥 an dieser Stelle einen Sattelpunkt besitzt. Die Aussage ist wahr. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt als Ableitung eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Eine Funktion dritten Grades hat aber mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Somit hat die ursprüngliche Funktion an dieser Stelle eine Extremstelle.

9 Pflichtteil 2017 Aufgabe 5 Gegeben Sind die Ebenen 𝐸: 𝑥 1 +3 𝑥 2 =6 und 𝐹: 𝑥 − ⋅ 2 0 −1 =0. Stellen Sie die Ebene 𝐸 in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von 𝐸 und 𝐹. Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden, die in 𝐸 enthalten ist und mit 𝐹 keinen Punkt gemeinsam hat. (4,5 VP)

10 Pflichtteil 2017 Lösung: a) Darstellung der Ebene 𝑬 im Koordinatensystem Zunächst bestimmt man die Spurpunkte für 𝐸: 𝑥 1 +3 𝑥 2 =6 indem man jeweils eine Koordinate Null setzt und nach der andren Koordinate auflöst: Mit 𝑥 2 =0 folgt 𝑆 1 (6|0|0) und mit 𝑥 1 =0 folgt 𝑆 2 (0|2|0). Da in der Koordinatengleichung 𝑥 3 nicht enthalten gibt es auch keinen dritten Spurpunkt, was wiederum bedeutet, dass 𝐸 parallel zur 𝑥 3 -Achse verläuft.

11 Pflichtteil 2017 b) Schnittgerade Zur Bestimmung der Schnittgeraden wird 𝐹 zunächst durch Ausmultiplizieren in die Koordinatenform umgewandelt: 𝑥 − ⋅ 2 0 −1 =0 ⇔ 𝑥 1 −2 𝑥 2 −5 𝑥 3 −3 ⋅ 2 0 −1 =0 ⇔ 2⋅ 𝑥 1 −2 +0⋅ 𝑥 2 −5 −1⋅ 𝑥 3 −3 =0 Es folgt 𝐹: 2 𝑥 1 − 𝑥 3 =1 Zusammen mit der Ebene 𝐸 ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten:

12 Pflichtteil 2017 I. 𝑥 1 +3 𝑥 2 =6 II. 2 𝑥 1 − 𝑥 3 =1 Wähle 𝑥 3 =𝑡 wobei 𝑡∈ℝ und löse damit II. nach 𝑥 1 auf: 2 𝑥 1 −𝑡=1 bzw. 𝑥 1 = 𝑡 2 . Einsetzen in I.: 𝑡 2 +3 𝑥 2 =6 ⇒ 1+𝑡+6 𝑥 2 =12⇒ 𝑥 2 = 11 6 − 𝑡 6 . Damit haben wir 𝑥 = 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 𝑡 − 𝑡 6 𝑡 = 𝑡⋅ 1 2 − Da es auf die Länge des Richtungsvektors nicht ankommt, multiplizieren wir diesen mit 6 und erhalten 3 −1 6 als neuen Richtungsvektor.

13 Pflichtteil 2017 Damit wir auch im Stützvektor ohne Brüche auskommen, setzen wir in obiger Gleichung einfach 𝑡=11 und erhalten ⋅ 1 2 − = Dies ist der neue Stützvektor. Damit können wir die Gleichung der Schnittgeraden in „schön“ notieren. Ergebnis: Die Schnittgerade von 𝐸 und 𝐹 ist gegeben durch 𝑔: 𝑥 = 𝑡 3 −1 6 ;𝑡∈ℝ.

14 𝑔: 𝑥 = 𝑡 3 −1 6 Pflichtteil 2017 c) Bestimmung der Geraden Eine Gerade ℎ, die in 𝐸 liegt, aber keinen gemeinsamen Punkt mit 𝐹 hat, muss parallel zur Schnittgeraden aus Aufgabenteil b) liegen. Entsprechend können wir den Richtungsvektor von 𝑔 als Richtungsvektor von ℎ nehmen. Nun brauchen wir noch einen Punkt, der auf 𝐸 aber nicht auf 𝑔 liegt, den wir als Stützvektor verwenden können. Der Spurpunkt von 𝐸 ist ein solcher Punkt. Wir prüfen dies durch Einsetzen in 𝑔 nach. Aus = 𝑡⋅ 3 −1 6 erhalten wir 0 0 −11 =𝑡⋅ 3 −1 6 Für die ersten beiden Koordinaten ergibt sich hier 𝑡=0, was aber nicht für die dritte Koordinate gilt. Der Widerspruch zeigt, dass der Spurpunkt tatsächlich nicht auf 𝑔 liegt.

15 Pflichtteil 2017 Ergebnis: Eine Gerade in 𝐸, welche keinen Schnittpunkt mit 𝑔 hat ist gegeben durch ℎ: 𝑥 = 𝑡⋅ 3 −1 6 ;𝑡∈ℝ

16 Pflichtteil 2017 Aufgabe 6 Gegeben sind eine Ebene 𝐸, ein Punkt 𝑃 in 𝐸 sowie ein weiterer Punkt 𝑆, der nicht in 𝐸 liegt. Der Punkt 𝑆 ist die Spitze eines geraden Kegels, dessen Grundkreis in 𝐸 liegt und durch 𝑃 verläuft. Die Strecke 𝑃𝑄 bildet einen Durchmesser des Grundkreises. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punktes 𝑄 bestimmen kann. (3 VP)

17 Pflichtteil 2017 Lösung: 𝐸 liege Koordinatenform vor (andernfalls lässt sich diese durch Umwandlung ermitteln). Die Gerade 𝑔 verläuft senkrecht zu 𝐸 und durch die Spitze 𝑆 des Kreiskegels. Deren Gleichung bekommen wir dadurch, dass wir den Ortsvektor von 𝑆 als Stützvektor verwenden und den Normalenvektor der Ebene 𝐸 als Richtungsvektor. Durch Einsetzen von 𝑔 in 𝐸 erhalten wir den Schnittpunkt 𝑀 von 𝑔 mit 𝐸. Dies ist der Mittelpunkt des Grundkreises. Aus der Gleichung 𝑂𝑃 +2⋅ 𝑃𝑀 = 𝑂𝑄 erhält man schließlich die Koordinaten von 𝑄. Skizze

18 Pflichtteil 2017 Aufgabe 7 In einer Urne liegen drei rote, zwei grüne und eine blaue Kugel. Es werden so lange nacheinander einzelne Kugeln gezogen und zur Seite gelegt, bis man eine rote Kugel erhält. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man höchstens drei Kugeln zieht. (2,5 VP)

19 3r, 2g, 1b Pflichtteil 2017 Lösung: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 𝐸 = 𝑟 , 𝑟 ,𝑟 , 𝑟 , 𝑟 ,𝑟 , wobei 𝑟 für „rot“ und 𝑟 für „nicht rot“ steht. Wir haben Anfangs sechs Kugeln in der Urne und ziehen ohne zurücklegen. Somit verringert sich die Anzahl der Kugeln nach jeder Ziehung um eins. Mit 𝑃 𝑟 = 3 6 = 1 2 ; 𝑃 𝑟 ,𝑟 = 3 6 ⋅ 3 5 = 3 10 ; 𝑃 𝑟 , 𝑟 ,𝑟 = 3 6 ⋅ 2 5 ⋅ 3 4 = 3 20 folgt 𝑃 𝐸 = = =0,95=95% Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 3 Ziehungen benötigt, um mit einer roten Kugel abzuschließen, beträgt 95%.