Varianzfortpflanzung

Präsentation zum Thema: "Varianzfortpflanzung"—  Präsentation transkript:

1 Varianzfortpflanzung
/ SES.125 Parameterschätzung Varianzfortpflanzung Torsten Mayer-Gürr

2 Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: Dichtefunktion, Wahrscheinlichkeitsdichte, Wahrscheinlichkeitsverteilung, probability density function (pdf) und bzw. Verteilungsfunktion

3 Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit bei 60-maligen Würfeln x mal eine 1 oder 2 zu Würfeln

4 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion
cummulative density function (cdf) Dichtefunktion, probability density function (pdf)

5 Erwartungswert und Varianz

6 Erwartungswert und Varianz
Konkrete Messreihe Theoretischer Wert Mittelwert Gewichteter Mittelwert mit Erwartungswert Schätzung der Varianz Varianz

7 Diskrete Zufallsvariable
Eine diskrete Zufallsvariable X nimmt endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an. Werte: Wahrscheinlichkeit: kontinuierliche Zufallsvariable X Idee: Anzahl der Ereignisse n gegen unendlich, Wert des einzelnen Ereignisses gegen null.

8 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

9 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

10 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

11 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf)

12 Binomialverteilung Dichtefunktion, probability density function (pdf)
Verteilungsfunktion, cummulative density function (cdf) Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses geht gegen null Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariable

13 Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit

14 Stetige Zufallsvariable
Eine stetige Zufallsvariable X hat eine nicht-negative integrierbare Dichtefunktion mit wobei die Verteilungsfunktion von X ist Dichtefunktion Wahrscheinlichkeit Pail

15 Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert (diskret) Erwartungswert (stetig) Varianz (diskret) Varianz (stetig) Erwartungswertoperator

16 Kontinuierliche Verteilungen: Normalverteilung

17 Normalverteilung Definition: Die Zufallsvariable X bezeichnet man als normalverteilt mit den Parametern 𝜇 und 𝜎 2 , abgekürzt geschrieben 𝑋~𝑁(𝜇,𝜎 2 ), wenn ihre Dichte 𝑓(𝑥) gegeben ist durch für Verteilungsfunktion: Erwartungswert: Varianz:

18 Standardisierte Normalverteilung
Transformation: Zentrierung der Verteilung (Verschiebung entlang der x-Achse) Normierung der Verteilung (Division durch die Standardabweichung) Dichte der standardisierten Normalverteilung Verteilungsfunktion

19 Tabelle

20 3-Sigma Regel Transformation Pail

21 Mehrdimensionale Zufallsvariablen

22 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail

23 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail

24 Zweidimensionale Zufallsverteilung
Zweidimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Pail Randverteilung

25 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis 15 rote, 5 blaue Kugeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach einer roten ein blaue Kugel ohne zurücklegen zu ziehen? rote Kugel: blaue Kugel:

26 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition: Als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetroffen ist, bezeichnet man das Verhältnis Bedingte Dichte mit der Randverteilung Sind die Ereignisse A und B voneinander unabhängig, gilt: Zwei Zufallsvariablen sind genau dann voneinander unabhängig, falls gilt

27 Erwartungswert & Varianz/Kovarianz (Tafel)

28 Varianzfortpflanzung (Tafel)

29 Mehrdimensionale Zufallsverteilung
Mehrdimensionale stetige Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Dichtefunktion Pail

30 Zufallsvektor

31 Varianz / Kovarianz Zufallsvektor Erwartungswert
Varianz-Kovarianzmatrix Mit der Dichte und Varianz Kovarianz Kovarianz Operator

32 Gravity Recovery and Climate Experiment
JPL

33 Korrelationen

34 Korrelationen

35 Korrelationen Varianz-Kovarianzmatrix

36 Korrelationen Varianz-Kovarianzmatrix

37 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen

38 n x m konstante Koeffizientenmatrix
Varianz / Kovarianz Lineare Transformation n x 1 Zufallsvektor m x 1 Zufallsvektor n x 1 konstanter Vektor n x m konstante Koeffizientenmatrix Erwartungswert Kovarianzmatrix

39 Kovarianzfortpflanzung

40 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Differenz zweier Streckenmessungen mit Varianz der Differenz

41 Kovarianzfortpflanzung
Beispiel: Mittelwert mit Bei gleicher Varianz

42 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Lineare Transformation? Kovarianzmatrix

43 Polares Anhängen 1. Gemessen: 2. Kovarianzmatrix: 3. Berechnet:
4. Jakobimatrix 5. Kovarianzmatrix 5. Kovarianzmatrix Ergebnis

44 Drehung des Koordinatensystems

45 Polares Anhängen Polares Anhängen

46 Drehmatrizen Drehmatrix Inverse Drehung Allgemein: Orthogonale Matrix
(Rotation mit evtl. Spiegelung)

47 Polares Anhängen Polares Anhängen Drehung um Winkel t Kovarianzmatrix
mit

48 Polares Anhängen Drehung um Winkel t Nebenrechnung mit Kovarianzmatrix

49 Polares Anhängen Polares Anhängen Gemessen Polares Anhängen mit
Durch Drehung des Koordinatensystems kann man unkorrelierte Zufallsvariablen erhalten! Kovarianzmatrix

50 Fehlerellipse

51 Beispiel: Strecke zwischen Koordinaten

52 Varianzfortplanzung im Gauß-Markoff Modell (Tafel)