Komplexe Wechselstromrechnung

Präsentation zum Thema: "Komplexe Wechselstromrechnung"—  Präsentation transkript:

1 Komplexe Wechselstromrechnung
Voraussetzung: - Netzwerk mit linearen Bauelementen R, L, C - Eingangsgrößen sind harmonische Funktionen, z.B. u(t) = u0cos(wt+a) - es treten im Netzwerk nur diese Frequenzen auf, z.B. i(t) = i0cos(wt+b)

2 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RLC-Kreis geg.: 𝑢 𝐵 (𝑡)= 𝑢 𝐵 cosωt ges.: 𝑢 𝑅 𝑡 ; 𝑢 𝐿 𝑡 ; 𝑢 𝐶 𝑡 ; Maschensatz: 𝑢 𝐵 𝑡 =𝑅∙𝑖 𝑡 +𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑖(𝑡)𝑑𝑡

3 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RLC-Kreis geg.: 𝑢 𝐵 (𝑡)= 𝑢 𝐵 cosωt ges.: 𝑢 𝑅 𝑡 ; 𝑢 𝐿 𝑡 ; 𝑢 𝐶 𝑡 ; Maschensatz: 𝑢 𝐵 𝑡 =𝑅∙𝑖 𝑡 +𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 Ansatz: iB(t) = 𝑖 cos (wt + j) 𝑢 𝐵 (𝑡)= 𝑢 𝐵 cos𝜔𝑡=𝑅∙ 𝑖 cos 𝜔𝑡+𝜑 −𝜔𝐿 𝑖 sin(𝜔𝑡+𝜑)+ 𝑖 𝜔𝐶 sin (𝜔𝑡+𝜑) Trigonometrie, Additionstheoreme…!

4 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RLC-Kreis geg.: 𝑢 𝐵 (𝑡)= 𝑢 𝐵 cosωt ges.: 𝑢 𝑅 𝑡 ; 𝑢 𝐿 𝑡 ; 𝑢 𝐶 𝑡 ; Maschensatz: 𝑢 𝐵 𝑡 =𝑅∙𝑖 𝑡 +𝐿 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 Komplexer Ansatz 𝑢 = 𝑢 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ; 𝑖 = 𝑖 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑) = 𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑢 = 𝑢 𝑒 𝑗𝜔𝑡 =𝑅∙ 𝑖 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 +𝑗𝜔𝐿∙ 𝑖 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 + 𝑖 𝑗𝜔𝐶 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝜑 𝑢 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑅+𝑗𝜔𝐿+ 1 𝑗𝜔𝐶 𝑖 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑢 = 𝑅+𝑗𝜔𝐿+ 1 𝑗𝜔𝐶 𝑖  ; 𝑢 = 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐿 + 𝑍 𝐶 𝑖 . Rechne mit komplexen Amplituden 𝑢 = 𝑢 𝑒 𝑗 𝜑 0 , 𝑖 = 𝑖 𝑒 𝑗𝜑 und komplexen Widerständen 𝑍 𝑅 , 𝑍 𝐿 , 𝑍 𝐶 .

5 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 1. Bestimmung von Frequenz f und Effektivwert UE aus der Bildschirmdarstellung

6 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 1. Bestimmung von Frequenz f und Effektivwert UE aus der Bildschirmdarstellung Amplitude 𝑢 𝐸 = 2 𝑈 𝐸 =42,5𝑉 Effektivwert 𝑈 𝐸 = 42,5𝑉 2 =30𝑉 Frequenz 𝑓= 1 𝑇 = 1 10𝑚𝑠 =100 𝐻𝑧

7 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC)

8 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶

9 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 = 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 𝑒 𝑗𝜑

10 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 = 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝜔𝑅𝐶 ; tan 𝜑= 𝐼𝑚 𝑍 𝑅𝑒 𝑍

11 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 = 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝜔𝑅𝐶 ; tan 𝜑= 𝐼𝑚 𝑍 𝑅𝑒 𝑍 1 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 = 1−𝑗𝜔𝑅𝐶 (1+𝑗𝜔𝑅𝐶)(1−𝑗𝜔𝑅𝐶)

12 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 = 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝜔𝑅𝐶 ; tan 𝜑= 𝐼𝑚 𝑍 𝑅𝑒 𝑍 1 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 = 1−𝑗𝜔𝑅𝐶 (1+𝑗𝜔𝑅𝐶)(1−𝑗𝜔𝑅𝐶) = 1−𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑁 2 = 1 𝑁 2 +𝑗 (−𝑗𝜔𝑅𝐶) 𝑁 2

13 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) Komplexer Spannungsteiler 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝑍 𝐶 𝑍 𝑅 + 𝑍 𝐶 = 1 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1 𝑗𝜔𝑅𝐶+1 = 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 𝑒 𝑗𝜑 𝑢 𝐶 𝑢 𝐸 = 𝜔𝑅𝐶 ; tan 𝜑= 𝐼𝑚 𝑍 𝑅𝑒 𝑍 =(−𝜔𝑅𝐶) 1 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 = 1−𝑗𝜔𝑅𝐶 (1+𝑗𝜔𝑅𝐶)(1−𝑗𝜔𝑅𝐶) = 1−𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑁 2 = 1 𝑁 2 +𝑗 (−𝑗𝜔𝑅𝐶) 𝑁 2

14 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) 𝑢 𝐶 = 𝑢 𝐸 𝜔𝑅𝐶 = 42,5𝑉 2𝜋 100 𝑠 500 𝑉 𝐴 1,84∙ 10 −6 𝐴𝑠 𝑉 =0,75∙42,5𝑉=31,9𝑉

15 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 2. Bestimmung von Phase und Amplitude der Spannung am Kondensator mittels KWSR. uC(t) =  𝑢 𝐶 cos(wt + jC) 𝑢 𝐶 = 𝑢 𝐸 𝜔𝑅𝐶 = 42,5𝑉 2𝜋 100 𝑠 500 𝑉 𝐴 1,84∙ 10 −6 𝐴𝑠 𝑉 =0,75∙42,5𝑉=31,9𝑉 𝜑= arctan −𝜔𝑅𝐶 =− arctan 2𝜋 100 𝑠 500 𝑉 𝐴 1,84∙ 10 −6 𝐴𝑠 𝑉 =− arctan 0,578 =−30°

16 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 3. Funktionsverlauf der Kondensatorspannung in Monitorbild einzeichnen 𝑢 𝐸 𝑡 =42,5𝑉cosωt 𝑢 𝐶 𝑡 =31,9𝑉cos(ωt−30°)

17 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: RC-Spannungsteiler geg.: 𝑢 𝐸 𝑡 = 𝑢 𝐸 cosωt; 𝑅=500Ω;𝐶=1,84µ𝐹 Aufgabe: 3. Funktionsverlauf der Kondensatorspannung in Monitorbild einzeichnen 𝑢 𝐸 𝑡 =42,5𝑉cosωt 𝑢 𝐶 𝑡 =31,9𝑉cos ωt−30° 30° 360° = Δ𝑡 𝑇 ; Δ𝑡= 10𝑚𝑠 12 =0,83𝑚𝑠

18 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1

19 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 Lösung: Unbelasteter Spannungsteiler 𝑍 1 =𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑗𝜔𝐶 𝑍 2 = 𝑅 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 𝑅 1+𝑗𝜔𝑅𝐶

20 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 Lösung: Unbelasteter Spannungsteiler 𝑍 1 =𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑗𝜔𝐶 𝑍 2 = 𝑅 𝑗𝜔𝐶 𝑅+ 1 𝑗𝜔𝐶 = 𝑅 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑍 𝑍 𝑍 2 = 𝑅 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑗𝜔𝐶 + 𝑅 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 = 𝑗𝜔𝑅𝐶 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 2 +𝑗𝜔𝑅𝐶

21 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔𝑅𝐶 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 2 +𝑗𝜔𝑅𝐶 ; 𝑛= 𝜔 𝜔 𝑥 ; 𝜔 𝑥 =1/ 𝑅𝐶 𝐻 𝑗𝑛 = 𝑗𝑛 (1+𝑗𝑛) 2 +𝑗𝑛

22 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 𝐻 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔𝑅𝐶 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 2 +𝑗𝜔𝑅𝐶 ; 𝑛= 𝜔 𝜔 𝑥 ; 𝜔 𝑥 =1/ 𝑅𝐶 𝐻 𝑗𝑛 = 𝑗𝑛 (1+𝑗𝑛) 2 +𝑗𝑛 𝐻 𝑗𝑛 = 𝑗𝑛 1+𝑗𝑛 2 +𝑗𝑛 = 𝑗𝑛 1+3𝑗𝑛− 𝑛 2 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) Phasenverschiebung wird Null, wenn Im(H) = 0, also n = 1; w = wx =1/RC

23 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 Amplitudenverhältnis H(n): 𝐻 𝑗𝑛 =𝐻 𝑛 = 𝑛− 1 𝑛 2 Asymptotisches Verhalten: lim 𝑛→∞ 𝐻 𝑛 =0; lim 𝑛→0 𝐻 𝑛 =0; 𝐻 𝑚𝑎𝑥 =𝐻 𝑛=1 = 1 3

24 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 Amplitudenverhältnis H(n): 𝐻 𝑗𝑛 =𝐻 𝑛 = 𝑛− 1 𝑛 2 Grenzfrequenzen ng bei 𝐻 𝑛 𝑔 = 𝐻 𝑚𝑎𝑥 = 9+ 𝑛− 1 𝑛 2 =18; 𝑛− 1 𝑛 2 = ±3 2 =9; 𝑛− 1 𝑛 =±3; 𝑛 2 ∓3𝑛−1=0; 𝑛 1,2 =± 3 2 ±

25 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 1. Bestimmung der Übertragungsfunktion 𝐻(𝜔)= 𝑈 2 𝑈 1 Amplitudenverhältnis H(n): 𝐻 𝑗𝑛 =𝐻 𝑛 = 𝑛− 1 𝑛 2 Grenzfrequenzen ng bei 𝐻 𝑛 𝑔 = 𝐻 𝑚𝑎𝑥 = 9+ 𝑛− 1 𝑛 2 =18; 𝑛− 1 𝑛 2 = ±3 2 =9; 𝑛− 1 𝑛 =±3; 𝑛 2 ∓3𝑛−1=0; 𝑛 1,2 =± 3 2 ± 𝑛 𝑔1 = =3,303; 𝑛 𝑔2 = − 3 2 =0,303

26 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3

27 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Funktion hat einen Verlauf etwa wie 𝑦(𝑥)≅ +𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≪−1 −𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≫+1

28 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Funktion hat einen Verlauf etwa wie 𝑦(𝑥)≅ +𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≪−1 −𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≫+1

29 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Funktion hat einen Verlauf etwa wie 𝑦(𝑥)≅ +𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≪−1 −𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≫+1

30 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Funktion hat einen Verlauf etwa wie 𝑦(𝑥)≅ +𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≪−1 −𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≫+1

31 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Funktion hat einen Verlauf etwa wie 𝑦(𝑥)≅ +𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≪−1 −𝑥 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑥≫+1

32 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Angabe der Dämpfung in Dezibel: 𝐻 𝑑𝐵 =20 lg 𝐻

33 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 2. Amplitudengang (Bode-Diagramm) Doppelt logarithmische Darstellung lg 𝐻 𝑛 =lg 𝑛− 1 𝑛 =− 1 2 lg 9+ 𝑛− 1 𝑛 ≅ + lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≪ 1 3 − lg 𝑛 𝑤𝑒𝑛𝑛 𝑛≫3 Angabe der Dämpfung in Dezibel: 𝐻 𝑑𝐵 =20 lg 𝐻

34 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges

35 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 )

36 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2

37 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2 𝜑= arctan 𝐼𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝐻 =arctan 𝑛 −𝑛 3

38 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2 𝜑= arctan 𝐼𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝐻 =arctan 𝑛 −𝑛 3 Funktionswerte: 𝜑 0 =0

39 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2 𝜑= arctan 𝐼𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝐻 =arctan 𝑛 −𝑛 3 1 𝑛 𝑔1,2 − 𝑛 𝑔1,2 =∓3 Grenzfrequenzen: Funktionswerte: 𝜑 0 =0

40 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2 𝜑= arctan 𝐼𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝐻 =arctan 𝑛 −𝑛 3 1 𝑛 𝑔1,2 − 𝑛 𝑔1,2 =∓3 Grenzfrequenzen: 𝜑 𝑛 𝑔1 =− 𝜋 4 ; 𝜑 𝑛 𝑔2 =+ 𝜋 4 Funktionswerte: 𝜑 0 =0

41 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges 𝐻 𝑗𝑛 = 1 3+𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) = 3−𝑗(𝑛− 1 𝑛 ) 𝑁 2 𝜑= arctan 𝐼𝑚 𝐻 𝑅𝑒 𝐻 =arctan 𝑛 −𝑛 3 1 𝑛 𝑔1,2 − 𝑛 𝑔1,2 =∓3 Grenzfrequenzen: 𝜑 𝑛 𝑔1 =− 𝜋 4 ; 𝜑 𝑛 𝑔2 =+ 𝜋 4 Funktionswerte: 𝜑 0 =0 Asymptotisches Verhalten: lim 𝑛→∞ 𝜑 𝑛 =− 𝜋 2 ; lim 𝑛→0 𝜑 𝑛 = 𝜋 2 ;

42 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑=arctan 𝑛 −𝑛 3 = arctan 𝑛 −1 −𝑛 3 = arctan lg 𝑛 −1 − 10 lg 𝑛 3 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3

43 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3 𝑦= arctan 10 −𝑥 − 10 𝑥 3 Vergleiche mit 𝑦 0 =0;𝑦 −𝑥 =−𝑦(𝑥)

44 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3 𝑦= arctan 10 −𝑥 − 10 𝑥 3 Vergleiche mit 𝑦 0 =0;𝑦 −𝑥 =−𝑦(𝑥) Bestimme Anstieg an x = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=0 =− 2 3 ln 10=−1,535≅− 𝜋 2

45 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3 𝑦= arctan 10 −𝑥 − 10 𝑥 3 Vergleiche mit 𝑦 0 =0;𝑦 −𝑥 =−𝑦(𝑥) Bestimme Anstieg an x = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=0 =− 2 3 ln 10=−1,535≅− 𝜋 2 𝑦 𝑥 ≅− 𝜋 2 ∙𝑥

46 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3 𝑦= arctan 10 −𝑥 − 10 𝑥 3 Vergleiche mit 𝑦 0 =0;𝑦 −𝑥 =−𝑦(𝑥) Bestimme Anstieg an x = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥=0 =− 2 3 ln 10=−1,535≅− 𝜋 2 𝑦 𝑥 ≅− 𝜋 2 ∙𝑥

47 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3

48 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3

49 Komplexe Wechselstromrechnung
Beispiel: WIEN-Spannungsteiler Aufgabe: 3. Bestimmung des Phasenganges Übergang zur logarithmischen Frequenzskala 𝜑 = arctan −lg 𝑛 − 10 lg 𝑛 3