Definition/Allgemeines:

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1 Definition/Allgemeines:
Bildquellen: Komplexe Zahlenebene: Mandelbrotmenge schwarz in komplexer Zahlenebene: Die Visualisierung der Mandelbrotmenge, wegen ihres Aussehens auch „Apfelmännchen“ genannt. In dieser Bilderserie wird an den mit Kästen kenntlich gemachten Stellen immer weiter in das Apfelmännchen hineingezoomt. So werden im zweiten sowie im letzten Bild der Serie stark verkleinerte ungefähre Kopien des Apfelmännchens sichtbar Um die Theorie der Mandelbrotmenge zu verstehen, benötigen wir einen Zahlenbereich, der über das Reelle hinaus geht: Definition/Allgemeines: Die Mandelbrotmenge M ist die Menge aller komplexen Zahlen c für die die Folge mit beschränkt bleibt, das heißt die Folgeglieder wachsen nicht über alle Grenzen. Das Fraktal ist die Visualisierung der Mandelbrotmenge in der komplexen Zahlenebene. Weiter wird in der grafischen Darstellung der Grad der Divergenz farblich unterschieden. Meistens wird geprüft, bei welchem Betrag der komplexen Zahl über einen bestimmten Wert hinaus geht. Die Mandelbrotmenge ist nicht exakt selbstähnlich, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich. Mit Hilfe des Programmes „Fractalizer“ konnten wir selbst in die Mandelbrotmenge hineinzoomen und so bunten Bilder der Menge erstellen, die auf diesem Poster zu sehen sind. Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl i mit der Eigenschaft Diese Zahl i wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Komplexe Zahlen werden meist in der Form dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. Dabei wird a als Realteil und b als Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet. Graphisch werden Komplexe Zahlen als Punkte in einem Koordinatensystem (der komplexen Zahlenebene) dargestellt, wobei der Realteil die x-Koordinate, der Imaginärteil die y-Koordinate bezeichnet. Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung des Koordinatensystems zu dem Punkt. 𝑎+𝑏⋅𝑖 𝑥 2 +1=0 𝑖 2 =−1 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 ²+𝑐 𝑧 0 =0 Arm Das Tal der Seepferdchen Antenne Kopf Körper Dutt Die Folge mit 𝑐=0.5+𝑖 wächst über alle Grenzen 𝑎+𝑏⋅𝑖 in der komlexen Zahlenebene, bezeichnet hierbei den Betrag 𝑐=𝑎+𝑏⋅𝑖 𝑟 Die Mandelbrotmenge, eines der bekanntesten Fraktale. Einige ihrer Abschnitte haben besondere Namen Die Folge mit Konvergiert sternförmig 𝑐=− ⋅𝑖 Die Mandelbrotmenge in der komplexen Zahlenebene Bedeutung in der Chaostheorie (noch in Arbeit) Geometrie: Die Menge ist achsensymmetrisch zur Achse des Realteils. Sie hat die fraktale Dimension 2. Ihr Umfang ist unendlich, ihr Flächeninhalt ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,506 591 77. In den fraktalen Strukturen am Rand findet man verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, so genannte Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus M als auch solche außerhalb M umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Qiao Chen, KA06; Ina Bertz, MA06