Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum Kapitel 10 Beschleunigung und longitudinaler Phasenraum Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3

Aus der Strahloptik.... Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen) Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen Differentialgleichung fuer Teilchenbewegung Beschreibung der Teilchenbewegung mit Betafunktion Betatronschwingung Strahlgrösse: Arbeitspunkt: Q Werte Closed Orbit Dispersion

Übersicht Beschleunigung mit HF Feldern Teilchenpakete („bunch“) Phasenfokussierung im Linac Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger Bewegungsgleichung für die longitudinale Teilchenbewegung Synchtrotronfrequenz

Principal machine components of an accelerator Kreisbeschleuniger: Beschleunigung durch vielfaches Durchlaufen durch (wenige) Beschleunigungstrecken 

Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 0 (Beschleunigung) (100 MHz) 2a z E(z) g E0 z

Beschleunigung im zylindrischen Cavity T = 5 ns (100 MHz) 2a z E(z) g z -E0

Supraleitender Hohlraumresonatoren (Cornell) Cavity 200 MHz Cavity 1300 MHz Cavity 500 MHz

Supraleitender Hohlraumresonator mit 9 Zellen (TESLA, DESY)

Illustration für das elektrische Feld im Hohlraumresonator

Beschleunigung mit Hochfrequenzfeldern cavity

Teilchenbeschleunigung mit Cavities (Hohlraumresonator) z Cavity 1 Cavity 2 Teilchen laufen von links ins Cavity 1 ein. Um beschleunigt zu werden, muss die Phase des elektrischen Feldes „richtig“ sein. Annahme: Teilchen 1 läuft zum Zeitpunkt t0 = 0 ns durch das Cavity 1 – es wird mit einer Spannung von 1 MV beschleunigt. Ein Teilchen welches zu einem anderen Zeitpunkt durch das Cavity läuft, wird entweder weniger beschleunigt, oder kann gebremst werden "gebremst" t0 = 0

Teilchenpakete In einem HF Feld kann kein kontinuierlicher Strahl beschleunigt werden, sondern sogennante „Bunche“ (Teilchenpakete) Da ein Bunch eine endliche Länge hat (einige Millimeter bis zu etwa einem Meter), werden nicht alle Teilchen gleich beschleunigt Es kommt zur sogennanten Phasenfokussierung

Phasenfokussierung im Linac z Cavity 1 Cavity 2 Es werden 3 Teilchen angenommen. Annahme: die Geschwindigkeit der Teilchen ist deutlich kleiner als c Teilchen mit Sollenergie Teilchen mit mehr Energie – mit grösserer Geschwindigkeit (blau) Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) Das rote Teilchen läuft zum Zeitpunkt t = 1.25 ns in das Cavity ein. Es wird angenommen, dass die Feldstärke weiter ansteigt (ansteigender Ast der Schwingung) Das grüne Teilchen läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird stärker beschleunigt Das blaue Teilchen läuft früher bei t = 0.95 ns ein, und wird weniger beschleunigt

Phasenfokussierung im Linac – ansteigende Flanke Cavity 1 z

Phasenfokussierung im Linac Angenommen, dass die Energiedifferenz gross genug ist und die Geschwindigkeit nichrelativistisch gilt: Vor dem Cavity 1: vblau > vrot > vgrün Hinter dem Cavity 1: vgrün > vrot > vblau Da die Geschwindigkeit vom grünen Teilchen an grössten ist, wird es die anderen Teilchen nach einer gewissen Strecke überholen

Phasenfokussierung im Linac – Synchrotronschwingung z Cavity 1 Cavity 2

Phasen“de“fokussierung im Linac – fallende Flanke Cavity 1 z Das Teilchen mit weniger Energie – mit kleinerer Geschwindigkeit (grün) läuft später bei t = 1.55 ns ein, und wird weniger beschleunigt, und seine Geschwindigkeit verlangsamt sich in Bezug auf die anderen beiden Teilchen (die Teilchen laufen auseinander)

Phasen“de“fokussierung im Linac z Cavity 1 Cavity 2

Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger Cavity Die Teilchen mit Impulsabweichung laufen auf einer anderen Bahn (Dispersionsbahn), die hier vereinfacht als grösserer (kleinerer) Kreis dargestellt ist p0 + dp p0 p0 - dp

Cavity-Frequenz und Umlauffrequenz Das Sollteilchen läuft um den Beschleuniger um. Damit es beim nächsten Umlauf in der gleichen Phase der Hochfrequenz beschleunigt wird, muss die Frequenz der Hochfrequenz ein Vielfaches der Umlauffrequenz sein: Hier: h = 8

Bahnverlängerung – Momentum Compaction aus der Strahloptik Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung bei Impulsabweichung definiert:  Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: Die Bahnlänge für ein Teilchen mit Impulsabweichung ist also:

Teilchenimpuls und Bahnlänge Teilchen mit grösserer Energie im Vergleich zur Sollenergie: laufen weiter aussen um => grössere Bahnlänge => längere Umlaufzeit haben eine grössere Geschwindigkeit => kürzere Umlaufzeit Beide Effekte müssen berücksichtigt werden, um die Umlaufzeit zu berechnen

Phasenfokussierung im Kreisbeschleuniger z Cavity Es werden 3 Teilchen angenommen. Die Geschwindigkeit der Teilchen ist (nahezu) Lichtgeschwindigkeit Teilchen mit Sollenergie Teilchen mit mehr Energie (blau) Teilchen mit weniger Energie (grün) Beim ersten Durchgang wird angenommen, dass alle Teilchen gleichzeitig ins Cavity einlaufen, und gleichermassen beschleunigt werden Das rote Teilchen läuft auf der Sollbahn um Das grüne Teilchen mit weniger Energie läuft auf einer kürzeren Bahn um Das blaue Teilchen mit mehr Energie läuft auf einer längeren Bahn um

Phasenfokussierung in Kreisbeschleuniger– fallende Flanke Cavity z Das Teilchen mit zu wenig Energie (grün) läuft früher ein und wird stärker beschleunigt. Es gewinnt Energie im Vergleich zum roten Teilchen Das Teilchen zu viel Energie (blau) läuft später ein und wird weniger beschleunigt. Es verliert Energie im Vergleich zum roten Teilchen

Phasenverschiebung als Funktion der Energieabweichung

Energieaufnahme im Cavity: Sollteilchen Es wird angenommen, dass das Magnetfeld ansteigt. Um auf konstanter Bahn zu laufen, wird das Sollteilchen beschleunigt, pro Umlauf mit einer Energie von: Die Energie kommt vom Durchlauf durch das Cavity:

Energieaufnahme im Cavity: Teilchen mit Energieabweichung Ein Teilchen mit abweichender Energie läuft zu einem anderen Zeitpunkt (Phase) in das Cavity, die Energie wächst um: Die Energiedifferenz ist: Für Energieänderungen über viele Umläufe (Umlaufzeit T0):

Energieaufnahme im Cavity Für kleine Abweichungen von der Sollphase gilt: Und damit: Differenzieren ergibt:

Bewegungsgleichung Phasenverschiebung durch die Energieabweichung Energieänderung beim Durchlauf durchs Cavity mit einer Phasenverschiebung ergibt sich:

Lösung der Bewegungsgleichung Die Gleichung beschreibt einen harmonischen Oszillator mit der Synchrotronfrequenz: Die Energiedifferenz zwischen Sollteilchen und Teilchen mit abweichendem Impuls ist:

Synchrotronfrequenz Sychrotronfrequenz Für ultrarelativistische Teilchen  >> 1 gilt: Für Teilchen mit gilt:

Beispiel: Modellbeschleuniger

Synchrotronfrequenz des Modellbeschleuniger

Phasenraumdiagramme und Separatrix Synchrotronschwingungen gibt es nur für Teilchen mir kleiner Energieabweichung. Wenn die Energieabweichung zu gross wird, fallen die Teilchen aus dem "Bucket". Bild aus K.Wille

No RF, debunching in ~ 250 turns, roughly 25 ms about 1000 turns single turn Courtesy E. Ciapala

First attempt at capture, at exactly the wrong injection phase… Courtesy E. Ciapala

Capture with corrected injection phasing Courtesy E. Ciapala

Capture with optimum injection phasing, correct reference Courtesy E. Ciapala

RF buckets and bunches at LHC The particles oscillate back and forth in time/energy The particles are trapped in the RF voltage: this gives the bunch structure RF Voltage 2.5 ns time E LHC bunch spacing = 25 ns = 10 buckets  7.5 m RF bucket time 2.5 ns 450 GeV 7 TeV RMS bunch length 11.2 cm 7.6 cm RMS energy spread 0.031% 0.011%

Longitudinales Strahlprofil im SPS Bunch profile oscillations on the flat bottom – at 26 GeV Instabilities at low energy (26 GeV) a) Single bunches Quadrupole mode developing slowly along flat bottom. NB injection plateau ~11 s Bunch profile during a coast at 26 GeV stable beam Pictures provided by T.Linnecar