Größen und Gleichungen Größen Einheiten Systematik
Ziele dieser Vorlesung Nach diesem Abschnitt sollten Sie ... Übliche Größen, Einheiten und Formelzeichen kennen. Ergebnise mit Zehnerpotenzen oder Präfixen ausdrücken können. Eine Berechnung systematisch durchführen können. Den Vektor „Kraft“ berechnen können. µ 10 x 𝐹 Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello 2
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© Prof. Dr. Remo Ianniello Formelzeichen µ 10 x 𝐹 „Größe“ „Einheit“ Geschwindigkeit → v = 100 km/h „Formelzeichen“ „Betrag“ Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 4
© Prof. Dr. Remo Ianniello Formelzeichen µ 10 x 𝐹 Schreiben Sie den Druck als Gleichung der anderen Größen. t m F Das ist definitiv zu umständlich. Wie lässt sich dieser Bruch kompakter darstellen? W P p Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 5
Formelzeichen µ 𝐹 10 x = = = = = „Größe“ „Formelzeichen“ „Betrag“ Quiz Sortieren Sie die Begriffe nach „Größe“ „Formelzeichen“ = „Betrag“ „Einheit“ = = a 34 Beschleunigung 28,6 F m m³ = Kraft 45,2 kg m/s² = V N 3.500 Masse Volumen © Prof. Dr. Remo Ianniello Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 6
© Prof. Dr. Remo Ianniello Formelzeichen µ 10 x 𝐹 Quiz Es sind einige Größen gegeben. Aus welchen anderen Größen setzen sie sich zusammen? Geschwindigkeit = Weg pro Zeit Beschleunigung = Geschwindigkeit pro Zeit Kraft = Masse mal Beschleunigung Druck = Kraft pro Fläche Arbeit = Kraft mal Weg Leistung = Arbeit pro Zeit Masse = Basis-Einheit Dichte = Masse pro Volumen Volumen = Länge ³ Länge = Basis-Einheit Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 7
© Prof. Dr. Remo Ianniello Einheit µ 10 x 𝐹 Quiz Alle Einheiten beruhen auf sieben Basis-Einheiten, von denen in der Tabelle sechs aufgelistet sind. Wie lauten die Basis-Einheiten? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 8
© Prof. Dr. Remo Ianniello Einheit µ 10 x 𝐹 Quiz In welcher Einheit wird die jeweilige Größe gemessen? Sekunde → s Kilogramm → kg t m F Newton → N W Joule → J P p Watt → W Pascal → Pa Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 9
© Prof. Dr. Remo Ianniello Systematik µ 10 x 𝐹 Quiz Buchstaben-Quiz Zu welchen Buchstaben gehören die Namen auf der rechten Seite ? Delta Tau Alpha Sigma Lambda Rho Beta Kappa Gamma Ny Epsilon Omega Phi Pi Theta My Tipp: Es gibt Apps, die helfen: Tags: „flashcards“, „Leitner System“ Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 1010
© Prof. Dr. Remo Ianniello Griech. Buchstaben Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
© Prof. Dr. Remo Ianniello Griech. Buchstaben Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 12
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zehner-Potenzen Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zehner-Potenzen µ 10 x 𝐹 Quiz 105 (sprich: "zehn hoch fünf") ist eine Potenz mit der Basis 10 (Zehnerpotenz). Die 10 wird 5-mal mit sich selbst multipliziert. Quiz 5 Nullen Wie lassen sich große Zahlen als Zehner-Potenzen schreiben ? 1010 108 104 102 100 106 1011 109 107 105 103 101 Bsp. 3,4·103 = 3.400 Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 14
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zehner-Potenzen µ 10 x 𝐹 “ENG” steht für Engineer. Werte werden in Zehner-Potenzen dargestellt. Mit ENG und Shift – ENG lassen sich die Potenzen in 3er-Schritten verändern. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 15
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zehner-Potenzen µ 10 x 𝐹 Quiz Für die Beschreibung großer Zahlen verwendet man gerne Präfixe wie Micro, Mega oder kilo. Micro (µ) = 10-6 milli (m) = 10-3 Kilo (k) = 103 Mega (M) = 106 1 Kilogramm = 1 kg = 1.000 Gramm 3 Kilometer = 3 km = 3.000 Meter 4 Megahertz = 4 MHz = 4·106 Hz 2 Microcoulomb = 2 µC = 2·10-6 C Präfixe 3 0,31 Kilo-Ampere (kA) = 0,31·10 A 510 Mega-Volt (MV) = 510·10 V 15 Micro-Ampere (µA) = 15·10 A 105 MHz = 10,5·10 Hz b) Wie lauten die Exponenten in den Gleichungen rechts? Wie lassen sich Präfixe (oben) in Zehner-Potenzen schreiben ? 6 -6 5 Tipp: Zum Lernen können Sie Apps verwenden, die Lernkarteien entsprechen. Suchen Sie unter „flashcards“ Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 16
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zahlen und Einheiten µ 10 x 𝐹 Nicht erlaubt: Zahlenschlangen wie „6846543 m“ . Nicht erlaubt: Zahlenschlangen wie „6846543 m“ . Erlaubt: Tausender-Punkt → 6.846.543 m Zehner-Potenzen 10x → 6,85·106 m Präfixe wie kilo (k) oder milli (m) → 6.847 km Tausender-Punkt → 6.846.543 m Zehner-Potenzen 10x → 6,85·106 m Präfixe wie kilo (k) oder milli (m) → 6.847 km Präfix und 10er-Potenzen Stellen Sie eine Kraft von 5.200 N mit Präfix und mit Zehnerpotenz dar. Formulieren Sie die Masse von 73 t um in kg. Arbeiten Sie mit 10er- Potenzen und stellen das Ergebnis mit einem Präfix dar. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 17
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zahlen und Einheiten µ 10 x 𝐹 Nicht erlaubt: 0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“. Nicht erlaubt: 0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“. Erlaubt: Zehner-Potenzen 10-x → 6,85·10-6 m Präfixe wie milli (m) oder micro (µ) → 6.847 µm Quadrate Rechnen Sie die Fläche von 462 mm² in m² um. Wie groß ist eine Fläche von 300 mm² in m² ? Wie viel mm sind 6,3 µm ? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 18
© Prof. Dr. Remo Ianniello Zahlen und Einheiten µ 10 x 𝐹 Nicht erlaubt: Zahlenschlangen wie „6846543 m“ . 0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“. Nicht erlaubt: Zahlenschlangen wie „6846543 m“ . 0,0... Zahlen, wie „0,0034 m“. Erlaubt: Tausender-Punkte → 6.846.543 m Zehner-Potenzen 10x → 6,85·106 m Präfixe wie kilo (k) oder milli (m) → 6.847 km Tausender-Punkt → 6.846.543 m Zehner-Potenzen 10x → 6,85·106 m Präfixe wie kilo (k) oder milli (m) → 6.847 km Dritte Dimension Rechnen Sie das Volumen von 46.200 mm³ in m³ um. Wie groß ist eine Fläche von 3.000.000 mm² in m² ? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 19
© Prof. Dr. Remo Ianniello Einheiten µ 10 x 𝐹 Prüfen Sie anhand der Formel für … … den Druck p = F/A, ob F/A die Druck-Einheit Pascal liefert. … die kinetische Energie W = ½ m·v², ob die rechte Seite die Einheit Joule liefert. … die Kraft F = m·a, ob die Einheit von m·a gleich der von F ist. Wie viel … … kg/m³ sind 1 g/cm³ ? … mm² sind 1 m² Wie viel MPa sind ein N/mm² ? (1 Pa = 1 N/m²) Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 20
Systematik beim Rechnen Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello
© Prof. Dr. Remo Ianniello Systematik µ 10 x 𝐹 Beispiel-Aufgabe Wie groß ist die Masse m von 300 m Kupferdraht, dessen Querschnitt 0,785 mm² beträgt? Die Dichte von Kupfer liegt bei 8,93 g/cm³. 2,1 kg Ergebnis Lösungs-Methode Welche Größe ist gesucht? Wie ist ihr Formelzeichen? Welche Formel enthält diese Größe? Stellen Sie diese Formel nach der gesuchten Größe um. Welche Größen sind jetzt noch unbekannt? Für diese Größe weiter mit Schritt 3) Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 22
© Prof. Dr. Remo Ianniello Systematik µ 10 x 𝐹 Skizze der Aufgabenstellung machen, Größen dort eintragen. Welche Größe ist gesucht? Welche Formel enthält die gesuchte Größe? Formel nach der gesuchten Größe auflösen. Sind Unbekannte in der Formel? Wenn ja: Gleichung nummerieren. Punkte 3. und 4.wiederholen, bis alle Größen bekannt sind. Schrittweise rückwärts Zahlen u. Einheiten einsetzen, ausrechnen. Einheiten o.k.? (kein Mix aus z.B. m und mm, kN und N) Liegt das Ergebnis im Rahmen des Möglichen / Sinnvollen ? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 23
© Prof. Dr. Remo Ianniello Systematik µ 10 x 𝐹 Papierstapel Im Verpackungsprozess eines Papier-Herstellers drückt ein Stempel mit 200 N auf einen Stapel DIN A 3 Blätter (297mm x 420 mm), die hälftig geschnitten werden sollen. Der Stapel hat eine Masse von 3,5 kg. Welche Kraft wirkt auf die Unterlage? Welchem Druck ist die Unterlage ausgesetzt ? Ergebnis a 234,3 N Ergebnis b 1.879 Pa Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 24
© Prof. Dr. Remo Ianniello Systematik µ 10 x 𝐹 Behälter-Höhe Welche Innenhöhe in mm muss ein Behälter für ein Fassungsvermögen von 4.000 Litern mindestens haben, wenn seine quadratische Grundfläche 2,5 m² beträgt? Ergebnis 1.600 mm Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello 25
© Prof. Dr. Remo Ianniello Fragen Wie ist die Einheit der Arbeit? Joule (J) Wieviel mm² sind ein dm² ? 10.000 oder 104 mm² sind ein dm² Welche der Größen in der Tabelle sind Basisgrößen? Es gibt zwei alternative Einheiten, für die mechanische Spannung. Welche sind das? N / mm² und MPa. Nennen Sie die Vorsilben für 103 , 106 , 10-2, 10-3 und 10-6. Wie werden folgende griechischen Buchstaben ausgesprochen? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
© Prof. Dr. Remo Ianniello Der Vektor „Kraft“ Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello
Kraft µ 10 x 𝐹 Die Kraft wird immer in der Einheit Newton (N) angegeben. Je nach Art der Kraft, berechnet man den Betrag aber auf unterschiedliche Weise. Kennen Sie die zugehörigen Formeln? Gewichtskraft → FG = m·g Druckkraft → FD = p·A Zentrifugalkraft → FZ = m·v²/r Reibkraft → FR = µ FN Trägheitskraft → Ft = m·a Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Gewichts-Kraft µ 10 x 𝐹 Drei Eigenschaften: Betrag, Angriffspunkt und Richtung. Beispiel Ein Student wiege 81,55 kg. Wie groß ist der Betrag der Gewichtskraft ? FG = mg = 81,55 kg 9,81 m/s² = 800 N Wo greift die Gewichtskraft an (Angriffspunkt) ? Im Schwerpunkt. Welche Richtung hat sie ? Senkrecht nach unten. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Druckkraft µ 10 x 𝐹 Drei Eigenschaften: Betrag, Angriffspunkt und Richtung. Beispiel Hebebühnen werden mit hydraulischen Pressen betrieben. Wie groß ist die Fläche, auf die ein Stempel mit 225 N/mm² drückt, wenn er mit 150 kN einwirkt? A = F/p = 150103 N / 225 N/mm² = 666,7 mm² Wo auf der Pressfläche greift die Druckkraft in idealer Weise an? Im Schwerpunkt der Pressfläche. Welche Richtung hat sie ? Senkrecht zur Pressfläche. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Fliehkraft µ 𝐹 10 x Fliehkraft Ein 0,8 t schweres Auto fährt auf einem Autobahnkreuz eine Schleife mit dem Durchmesser von 150 m entlang. Seine Geschwindigkeit liegt bei 50 km/h. Wie groß ist die Fliehkraft, der der Fahrer (80 kg) ausgesetzt ist? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Reibkraft µ 𝐹 10 x Reibkraft Ein 0,8 t schweres Auto fährt auf einem Autobahnkreuz eine Schleife mit dem Durchmesser von 150 m entlang. Seine Geschwindigkeit liegt bei 50 km/h. Der Reibungskoeffizient zwischen Straße und Reifen beträgt µ0 = 0,4. Wie groß ist die maximale Reibkraft, die das Fahrzeug am Rutschen hindert? Wie groß ist die tatsächlich auftretende Reibkraft? Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Arten von Kräften µ 𝐹 10 x Streckenlast Einzelkraft Flächenkraft Volumenkraft Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Vektoren und Skalare µ 𝐹 10 x Vektor Skalar Vektoren haben einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Sie werden durch Pfeile gekennzeichnet, deren Länge dem Betrag entspricht. Ordnen Sie die Größen in der mittleren Spalte richtig zu: Vektor Skalar Temperatur Geschwindigkeit Masse mech. Spannung Beschleunigung Zeit Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Längsverschiebung µ 𝐹 10 x Eine Kraft hat einen Angriffspunkt und eine Richtung. Angriffspunkt und Richtung ergeben die Wirklinie der Kraft. Die Länge des Pfeils ist ein Maß für den Betrag (die Größe) der Kraft. Der Kräftemaßstab (KM) gibt den Zusammenhang an, z.B. KM: 1 cm = 50 N Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Längsverschiebung µ 𝐹 10 x Fazit: Was würde passieren, wenn man den Angriffspunkt entlang der Wirklinie verschöbe? Fazit: Eine Kraft kann längs ihrer Wirklinie beliebig verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung der Kraft ändert (Längs-Verschiebe-Satz) Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Längsverschiebungssatz µ 10 x 𝐹 Der Angriffspunkt einer Kraft bestimmt, wie ein Körper darauf reagiert. Er kann nur verschoben, nur gedreht oder aber verschoben und gedreht werden – je nachdem wo am Körper die Kraft angreift. Eine Ausnahme gibt es: Liegt der Angriffspunkt immer auf derselben „Wirklinie“, bleibt die Reaktion des Körpers dieselbe. Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden. Dadurch ändert sich ihre Wirkung nicht. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Kräfte-Gleichgewicht µ 10 x 𝐹 Wie könnte man die Kraft so kompensieren, dass die Eisscholle unbewegt bleibt? Fazit: Ein statischer Zustand entsteht, wenn zu einer Kraft eine Gegenkraft existiert. Beide besitzen dieselbe Wirklinie aber entgegen gesetzten Richtungssinn. Zwei Kräfte, auf die das zutrifft, sind im „Gleichgewicht“. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Fragen Wie ist die Einheit der Arbeit? Joule (J) Wieviel mm² sind ein dm² ? 10.000 oder 104 mm² sind ein dm² Was ist der Unterschied zwischen Kinematik und Dynamik? In der Kinematik treten keine Kräfte oder Momente auf. Dort geht es nur um Bewegungsabläufe. Darf ein Bauteil, dessen Belastungen mit Mitteln der Statik berechnet wird, ein bewegtes Bauteil sein? (z.B. Balken eines fahrenden Waggons) Ja, solange es eine konstante Geschwindigkeit hat. Mit welcher Formel berechnet man die Gewichtskraft einer sich drehenden Welle? FG = mg Was gibt die Wirklinie einer Kraft an? Die Orientierung der Kraft im Raum (noch nicht die Richtung). Welchen Einfluss hat der Angriffspunkt einer Kraft auf die Wirkung einer Kraft? Verschiebung oder Drehung des Körpers, je nach Position des Angriffspunkts. Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello
Fragen Wo ist der Angriffspunkt einer Gewichtskraft? Im Schwerpunkt. Wodurch unterscheiden sich plastische und elastische Verformung voneinander? Die plastische Verformung bleibt, die elastische geht zurück. Was sagt der Längsverschiebungssatz aus? Kräfte dürfen auf ihrer Wirklinie verschoben werden. Ihre Wirkung auf den Körper ändert sich dabei nicht. In welche vier Gruppen kann man Kräfte unterteilen? In Volumen-, Flächen-, Linien- und Einzelkräfte. Zu welcher Gruppe von Kräften gehört die Druckkraft? Zu den Flächenkräften Größen Einheiten Systematik © Prof. Dr. Remo Ianniello © Prof. Dr. Remo Ianniello