Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik Frank Anna 21.12. 2011

Themenübersicht Gründe zur Risikoteilung Risikoteilung zwischen VU und VN proportionale Risikoteilung nichtproportionale Risikoteilung Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer Einfluss auf die Schadenvariablen

Warum Risikoteilung? Der Ausschluss von Kleinschäden Die Beeinflussung des moralischen Risikos Weitere Gründe

Der Ausschluss von Kleinschäden Im beiderseitigen Interesse Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen

Die Beeinflussung des moralischen Risikos VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung

Weitere Gründe Der Versicherungsnehmer hält sich für „überdurchschnittliches“ Risiko Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf Versicherungsschutz verzichten

Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU Proportionale Risikoteilung Nichtproportionale Risikoteilung

Proportionale Risikoteilung X = cX + (1-c)X , 0<c<1 X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)

Proportionale Risikoteilung Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung

Nichtproportionale Risikoteilung X = min(X, a) + max(X-a, 0) , a>0 a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko

Nichtproportionale Risikoteilung Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits

Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung

Formen der proportionalen RV Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung

Formen der nichtproportionalen RV Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss

Kombination von RV-Formen RV-Formen werden oft kombiniert, um Schutz gegen Frequenzrisiko Schutz gegen Großschadenrisiko zu erreichen

Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen Problem bei nichtprop. Risikoteilung: Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus? (nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert) bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden

Einfluss bei prop. Risikoteilung an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):

Momente bei prop. Risikoteilung

Variationskoeffizient und Schiefe mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient: Schiefe: Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.

Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung Einfluss auf die Schadenzahl Einfluss auf die Schadenhöhe Einfluss auf den Gesamtschaden

Einfluss auf die Schadenzahl Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0) Erstrisiko:= Zweitrisiko:= …Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos und haben oft selbe Verteilungstypen

Einfluss auf die Schadenzahl Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt. Dies sieht man wegen: wird bei wachsendem a kleiner je seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt

Einfluss auf die Schadenhöhe Schadenhöhe des Erstrisikos Verteilungsfunktion des Erstrisikos

Einfluss auf die Schadenhöhe Momente: Beziehung: Variationskoeffizient: Schiefe: Beziehungen:

Einfluss auf Schadenhöhe Schadenhöhe des Zweitrisikos Verteilungsfunktion

Einfluss auf den Gesamtschaden Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos

Einfluss auf Gesamtschaden Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos Beziehung: wegen und folgt:

Einfluss auf Gesamtschaden Beziehung der Varianzen: Wegen und weil und , werden die Varianzen immer kleiner, d.h.: und .

Einfluss auf Gesamtschaden Für die Standardabweichung gilt: Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant. bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge

Einfluss auf Gesamtschaden Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos Variationskoeffizienten des Zweitrisikos in folgender Beziehung:

Fazit proportionale Risikoteilung wenig Einfluss auf Schadenvariablen nichtproportionale Risikoteilung bedeutender Einfluss auf Schadenvariablen verschiedene Manipulationen der Verteilungsfunktionen erfordert teilweise numerische Integration

VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!