Umlegung Zwischenfragen PPT → Netz A. Horni IVT, ETH Zurich

Wozu? Umlegungsverfahren (generell 4-Stufen-Ansatz) – wozu? Direkte Lenkung von realen Verkehrsflüssen z.B. Prognosen (z.B. Reisezeit im Netz, Streckenbelastung, …) → Planungswerkzeug Umlegung = 4. Schritt des 4-Stufen-Ansatzes z.B. 4-Stufen-Ansatz Strassennetz

1 4 2 3 Verkehrserzeugung Verkehrsanziehung Verkehrsmittelwahl Verkehrsverteilung Umlegung (Routenwahl) 1 4 2 3 4 2 4→? 3 4→? Zürich Zug Frauenf Zug Ff Zürich Ziel Quelle S 2 4 6 ? 6 12 3 S 12

Herleitung am Bsp. QZ. Airolo-Göschenen tT=25min [1 + aT (lT/cT)bT ] BPR: t = t0 [1 + a (load/capacity)b ] Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen! Nutzenmaximierung (t) → Reisezeitminimierung ? ? Nachfrage 1600 Fzg./h aT = aP = 1; bT = bP = 2 cT = 1600 Fzg./h cP = 1500 Fzg./h tP=35 min [1 + aP (lP/cP)bP ]

lT ~ 1200 Fzg./h lP ~ 400 Fzg./h Wardrop-Gleichgewicht: Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten). Alle nicht benutzten Wege zwischen einem Quelle-Ziel-Paar haben eine höhere Reisezeit (generalisierte Kosten)

Berechnung des Gleichgewichtspunktes? BelastungTunnel; BelastungPass = Nachfrage - BelastungTunnel Riesige Anzahl von Netzwerkkanten, welche Einfluss aufeinander haben. Nichtlineares System xb → Nicht analytisch (oder graphisch) lösbar → Iterativ, numerisches Verfahren wird benötigt

Berechnungsverfahren Wie könnte das aussehen? Gewicht Schale → Fahrtzeit (bzw. generalisierte Kosten) Unterschiedliche Schalen → unterschiedliche Strassenparameter: t0, Kapazität, a, b

Berechnungsverfahren Verschiedene Umlegungsverfahren Nicht iterativ: Lege kleine Portionen auf die jeweils leichtere Schale bis Mehl komplett auf der Waage. → Incremental assignment (Ortuzar S. 340) Iterativ: Verschiebe solange Mehl von der schwereren Schale zur leichteren bis beide gleich schwer sind. → Method of Successive Averages (Ortuzar S. 342) ? SCANS ?

MSA → Prüfungsaufgabe! Method of Successive Averages (MSA) Anteil Mehl → Umlegungsparameter f Verfeinerung: Starte (falls Ungleichgewicht gross) mit grossem f und lasse f immer kleiner werden, sonst haben wir irgendwann Oszillationen ohne weitere Annäherung ans Gleichgewicht. Randbemerkung: Berechnung von f in Abhängigkeit zum Abstand vom GG → Frank-Wolfe (kommt nicht an Prüfung!)

MSA – 2 Routen Anteil f von der langsameren auf die schnellere Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x A B Belastung: y t: 40 min → min

MSA – 3 Routen Anteil f von allen langsameren auf die schnellste Route Belastung: x t: 50 min Anteil f von x A B Belastung: y t: 40 min → min Anteil f von z Belastung: z t: 60 min

MSA – 2 Quell-Zielbeziehungen Umlegung: Jede QZ. einzeln → ABER: Zeit kombiniert! GG: ~400; ~1200 Andermatt C 360 Fzg./h 400 Fzg./h 400 + 800 Fzg./h = 1200 Fzg./h 360 + 800 Fzg./h = 1200 Fzg./h 400 + 800 Fzg./h = 1200 Fzg./h tAirolo-Andermatt tAndermatt-Göschenen Anteil f von 400 Fzg./h A B Airolo Göschenen 1240 Fzg./h 1200 Fzg./h tTunnel QZ 1: Airolo-Göschenen, 1600 Fzg./h Route 1: Pass tAirolo-Andermatt + tAndermatt-Göschenen Route 2: Tunnel tTunnel QZ 2: Andermatt-Göschenen, 800 Fzg./h Route 1: Passabfahrt tAndermatt-Göschenen

Quell-Zielbeziehung - Klärung Andermatt C A B Airolo Göschenen QZ 1: Airolo-Göschenen Quelle: A Ziel: B (nicht C!) QZ 2: Andermatt-Göschenen Quelle: C Ziel: B

tP=35 min [1 + aP (lP/cP)bP ] MSA - Rechenbeispiel Nachfrage 1600 Fzg./h aT = aP = 1; bT = bP = 2 cT = 1600 Fzg./h cP = 1500 Fzg./h tP=35 min [1 + aP (lP/cP)bP ] Pass konstant 0.1 (10% von der langsameren auf die schnellere Route) 129.6 Fzg./h 116.6 Fzg./h 55.0 Fzg./h 144.0 Fzg./h 160.0 Fzg./h A B Tunnel tT=25min [1 + aT (lT/cT)bT ] Tunnel Pass It Bel. F/h t (min) Dt 1600 50.0 35.0 15.0 1 1440.0 45.3 160.0 35.4 9.9 2 1296.0 41.4 304.0 36.4 5.0 3 1166.4 38.3 433.6 38.0 0.3 4 1049.8 35.8 550.2 39.7 3.9 5 1104.8 36.9 495.2 38.8 1.9 Prüfung: Initialisierung gegeben 0.1 * 1600.0 Fzg./h → 160.0 Fzg./h 0.1 * 1440.0 Fzg./h → 144.0 Fzg./h 0.1 * 1296.0 Fzg./h → 129.6 Fzg./h 0.1 * 1166.4 Fzg./h → 116.6 Fzg./h 0.1 * 550.2 Fzg./h → 55.0 Fzg./h

MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) Salopp formuliert: Anteil f von allen langsameren auf die schnellste Route → Fa = x + y + z (komplette Nachfrage auf günstigste Route) 1: (1-f) * x + f * 0 Belastung: x t: 50 min 1 2: y + f * x + f * z = (1-f) * y + f * y + f * (x+z) = (1-f) * y + f * (x+y+z) = (1-f) * y + f * Fa Anteil f von x Fa 2 A B Belastung: y t: 40 min → min 3 Anteil f von z Belastung: z t: 60 min 3: (1-f) * z + f * 0

Allgemeines zum Verfahren Geschwindigkeit ↔ Genauigkeit (f konstant) Stabilität bez. Konvergenz Verfahren soll natürlich von jedem beliebigen Startpunkt aus zum Gleichgewicht konvergieren! Gibt es mehrere Gleichgewichte? Abbruchkriterium: „1. Ordnung“: Angestrebte Genauigkeit De z.B.: Relative Reisezeitdifferenz zwischen Routen ≤ 1% pro QZ-Beziehung

Wie findet man die schnellste Route? → Dijkstra 0: Initialisierung Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞) Wie findet man die schnellste Route? → Dijkstra Route: A - B - D - E Distanz zum Startkknoten Vorgänger definitiv A B C D E I: Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert. Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger. - x 1 ∞ A x ∞ 4 A x 5 ∞ B x 9 ∞ 8 D C x II: Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht. III: Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück

Übung C 3 Aufgaben Dijkstra 1 Quell-Zielbeziehung, 3 Routen 2 Quell-Zielbeziehungen (2 + 1) Routen XLS In 4er Gruppen Ortuzar/Willumsen Umlegungskapitel PDFs Korrektur r/f → häufigste Probleme & Fragen in ML

Befragung freiwillig! Aber bitte NICHT als Gruppe ausfüllen, sondern einzeln www.andreashorni.ch/vpl R = 2 * Dmax