Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Behandlung von Unstetigkeiten II Wir wollen uns heute nochmals mit der Modellierung von Unstetigkeiten befassen. Zunächst soll eine weitere Methode zu deren mathematischer Modellierung diskutiert werden, bei welcher parametrisierte Kurvenbeschreibungen ver- wendet werden. Sodann wollen wir uns mit dem Problem der variablen Kausalität befassen. Schliesslich soll eine Methode besprochen werden, die es erlaubt, Kausalitätsprobleme elegant zu lösen.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Übersicht Parametrisierte KurvenbeschreibungenParametrisierte Kurvenbeschreibungen Die Kausalität der SchaltgleichungDie Kausalität der Schaltgleichung Leckende DiodenLeckende Dioden Singuläre SchaltgleichungenSinguläre Schaltgleichungen Inline IntegrationInline Integration Die Kausalität bei der Inline IntegrationDie Kausalität bei der Inline Integration

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Parametrisierte Kurvenbeschreibungen Es ist möglich, diskontinuierliche Kennlinien durch para- metrisierte Kurven zu beschreiben. Dieses Verfahren soll an Hand der Diodenkennlinie erklärt werden. u i sperrend leitend s = 0 s s Bereich: Bedingung: Gleichungen: sperrend: s < 0 u = s; i = 0 leitend: s > 0 u = 0; i = s Bereich = if s < 0 then sperrend else leitend; u = if Bereich == sperrend then s else 0 ; i = if Bereich == sperrend then 0 else s ;

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Schalter offen: Division durch 0! i = 0 Schalter geschlossen: u = 0 Division durch 0! Die Kausalität der Schaltgleichung I Betrachten wir nochmals die Schaltgleichung in ihrer algebraischen Form: Wir können diese Gleichung entweder nach u oder nach i auflösen: 0 = s · i + ( 1 – s ) · u u = s s – 1 · i Schalter offen: s = 1 Schalter geschlossen: s = 0 i = s s – 1 · u

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Kausalität der Schaltgleichung II Keine der beiden kausalen Gleichungsformen funktioniert in beiden Schalterstellungen. Entweder die eine oder andere Schalterstellung führt zu einer Division durch 0. Dies ist exakt, was bei der Simulation passieren wird, falls die Kausalität der Schaltgleichung fest ist. Die Kausalität der Schaltgleichung muss immer frei sein. Die Schaltgleichung muss sich in einer algebraischen Schleife befinden.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Ein Beispiel I Beide Kausalitäten sind möglich. Somit gibt es keine Probleme bei der Simulation. C + ~ RiRi U0U0 D RLRL

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Ein Beispiel II

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 L C + ~ U0U0 RLRL D Zweites Beispiel Die Kausalität ist fest. Somit gibt es Probleme bei der Simulation.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Nicht so ideale Diode I Eine Möglichkeit, das Kausalitätsproblem zu umgehen, besteht darin, einen Restwiderstand R on beim geschlossenen Schalter sowie einen Restleitwert G off beim offenen Schalter anzunehmen. u i sperrend leitend s = 0 s s Bereich: Bedingung: Gleichungen: sperrend: s < 0 u = s; i = G off · s leitend: s > 0 u = R on · s; i = s Bereich = if s < 0 then sperrend else leitend; u = s*( if Bereich == sperrend then 1 else R on ); i = s*( if Bereich == sperrend then G off else 1 );

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Nicht so ideale Diode II Dies ist die Lösung, die in Modelica gewählt wurde.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Probleme I Für elektrotechnische Anwendungen ist die Lösung mit der leckenden Diode häufig akzeptabel. Ein Problem liegt in der Numerik. Wenn die ideale Diodenschaltung von Divisionsproblemen geplagt wird, führt die leckende Diodenschaltung unweigerlich zu einem steifen System. Steife Systeme können zwar in Modelica unter Verwendung des (standardmässig verwendeten) DASSL Integrationsalgorithmus gelöst werden. Dies ist aber zeitaufwendig, und zumindest für Echtzeitanwendungen nicht geeignet.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Probleme II Bei mechanischen Anwendungen eignet sich die Methode weniger, da zum Beispiel Reibungskennlinien häufig sehr genau simuliert werden müssen, und da in der Mechanik die Kausalitäten eigentlich immer fest sind. Die Massen berechnen sämtliche Geschwindigkeiten, und die Reibungs- und Federkräfte müssen somit von den R- bzw. C-Elementen in vorgegebener Kausalität berechnet werden. Somit sollte dort eine andere Lösung gesucht werden.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Inline Integrationsalgorithmus Bei der Inline Integration wird der Integrationsalgorithmus direkt in die Modellgleichungen eingebaut (oder umgekehrt: die Modellgleichungen werden in den Integrationsalgorithmus eingebaut). Betrachten wir eine Induktivität integriert unter Verwendung des impliziten Eulerverfahrens. u L = L · di L /dt i L (t) = i L (t h) + h · di L (t) /dt i L (t) = i L (t h) + (h/L) · u L (t)

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Die Kausalität bei der Inline Integration i L (t) = i L (t h) + (h/L) · u L (t) Bekannt, da in der Ver- gangenheit berechnet. Algebraische Beziehung zwischen i und u. Diese sieht nun aus wie ein Widerstand. Somit ist die Kausalität frei. Bei Verwendung des Inline Integrationsalgorithmus werden die Kausalitäten der so integrierten Speicherelemente frei gesetzt. Dadurch verschwindet das Divisionsproblem.

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Referenzen I Elmqvist, H., M. Otter, and F.E. Cellier (1995), Inline Integration: A New Mixed Symbolic/Numeric Approach for Solving Differential-Algebraic Equation Systems, Proc. ESM95, European Simulation Multi-conference, Prague, Czech Republic, pp. xxiii – xxxiv.Inline Integration: A New Mixed Symbolic/Numeric Approach for Solving Differential-Algebraic Equation Systems Otter, M., H. Elmqvist, and S.E. Mattsson (1999), Hybrid Modeling in Modelica Based on the Synchronous Data Flow Principle, Proc. CACSD99, Computer-Aided Control System Design, Hawaii, pp Hybrid Modeling in Modelica Based on the Synchronous Data Flow Principle

Anfang Präsentation 2. Februar, 2005 Referenzen II Krebs, M. (1997), Modeling of Conditional Index Changes, MS Thesis, Dept. of Electr. & Comp. Engr., University of Arizona, Tucson, AZ.Modeling of Conditional Index Changes