von Renate Pauer Susanne Haberl am 11. April.2011 L1 Beispiel 41 von Renate Pauer Susanne Haberl am 11. April.2011
Angabe: (Buch Seite 168) Sei die Lagrangefunktion eines mechanischen Systems , und sei mit eine zweite Lagrangefunktion definiert. Zeigen Sie, dass und auf die gleiche Euler-Lagrange-Gleichungen führen, d.h. dass sie das gleiche System beschreiben!
Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen und
Worte zum ∑-Symbol Das Prinzip basiert auf der Leibnizschen Kettenregel. Auf dieses Beispiel angewendet erhalten wir folgende Formel: (Äußere * Innere Ableitung)
Wie kommen wir auf diese Formel ? durch einsetzen
Wie kommen wir auf diese Formel? durch diesen Ausdruck ergibt sich Das ist die Antwort auf die Frage! ;-)
zurück zum Beispiel….
Der Angabe entnehmen wir die beiden Funktionen und
Warum? Den Ausdruck ersetzen wir durch den Buchstaben Um beweisen zu können, dass beide Lagrangefunktionen dasselbe System beschreiben, müssen sich auf beiden Seiten die folgenden Ausdrücke wegkürzen lassen.
Dazu benötigen wir die Euler-Lagrange-Gleichung: beide Seiten sollen gleich sein…
Beginnen wir mit dem linken Ausdruck. Fällt weg, da dieser Ausdruck nicht von abhängt. Nun leiten wir nach ab.
Das ∑-Zeichen fällt weg, da nach abgeleitet wurde. Nun leiten wir nach ab. Daraus folgt Das ∑-Zeichen fällt weg, da nach abgeleitet wurde. Dieser Ausdruck wird nun in die Euler-Lagrange-Gleichung auf der linken Seite eingesetzt.
Diesen Ausdruck setzen wir nun in die linke Seite der Euler-Lagrange-Gleichung ein. Linke Seite der Euler-Lagrange-Gleichung
Nun wenden wir uns der rechten Seite der Euler-Lagrange-Gleichung…
Gegenüberstellung der Ergebnisse von beiden Seiten: Linke Seite Rechte Seite Beide Seiten sind gleich !!! => beide Gleichungen beschreiben dasselbe System!!!