Gleichungen und Gleichungssysteme 5. Klasse

Inhaltlichen Grundlagen zur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG)   (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können

Inhaltlichen Grundlagen zur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können. AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können. AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können.

1. Woche – 1. Stunde

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Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)

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Grundkompetenzen

Formvariablen 1-2 Stunden 2. Woche Gegebene Gleichungen und Textaufgaben

Tafelbild Formvariablen sind Parameter, unbestimmte Zahlen. Sie sind keine Unbekannte, nach denen die Gleichung gelöst wird! Die Variable (Unbekannte) ist damit abhängig von der Formvariable. Eine Gleichung muss nicht für alle Werte einer Formvariable lösbar sein.

Tafelbild Schritt 1 - Beispiele zu Gleichungen mit einer Formvariablen: Beispiel: Dazu, dass eine Gleichung nicht für alle a (und x) definiert sein muss. Beispiel:

SchülerInnen Zuerst: Für welche x ist diese Gleichung definiert Dann: Für welche a ist sie definiert

Schritt I: gegebene Gleichung Löse x2 +2ax + (a2 – a +3) = 0 in Abhängigkeit von der Formvariable a! Die Gleichung ist für alle x und a definiert Schritt 1: Lösen wie eine normale Gleichung

Da die Wurzel nur dann gezogen werden kann, wenn (a-3)>0 ist kann man nun mehrere Fälle für die Lösung unterscheiden: Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden

Schritt II - Textaufgabe Beispiel: Bernhard behauptet: „In meiner Klasse gibt es um die Hälfte mehr Burschen als Mädchen, insgesamt 24 Schüler.“ Wie viele Mädchen gehen in seine Klasse? Gleichung: x…Anzahl der Mädchen

Suchen jetzt Lösung in Abhängigkeit zur SchülerInnenzahl der Klasse. a muss also ein Vielfaches von 5 sein.

Graphisches Lösen - Einführungsbeispiel Wir wollen als Einführungsbeispiel, das folgende Gleichungssystem lösen: I: 4x+y = 38 II: y = x-2 Als ersten Schritt schreiben wir einmal beide Gleichungen auf y= um! Das wäre dann: I: y = -4x + 38 II: y = x – 2 Dies macht man damit man die Steigung der Gerade erkennen kann. Denn die allgemeine Formel lautet: y = kx + d! Da wir nun die Steigung wissen, können wir diese beiden Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen. Nennen wir hierbei die Gleichung I = g und II = h!

Graphisches Lösen - Einführungsbeispiel Graphisches Darstellung: Um die Lösung überprüfen zu können, lösen wir die Gleichung nun auf und kommen auf das Ergebnis, dass die Gleichung einen Schnittpunkt hat und zwar bei S=(8/6). Stimmt das nun mit unserer graphischen Lösung? Ja!

Parallele bzw. identische Geraden Diskussion: Muss eine Gleichung jetzt immer genau eine Lösung haben? Nein, eine Gleichung kann auch zwei parallele Geraden bzw. zwei identische Geraden enthalten.

Parallele bzw. identische Geraden Zeigen wir nun zwei solche Beispiele wo wir keine eindeutige Lösung haben: Man kann nun erkennen, dass eine Gleichung nicht immer eindeutig lösbar sein muss.

Übung – Beispiele aus dem Buch – Seite: 208 Bsp. 525 Bsp. 526 Bsp. 527

Handout – Zettel

Gleichsetzungsverfahren I: 4x + 2y = 24 II: -7x + y = -33 Dann wird umgeformt auf y=…! I: y = -2x + 12 II: y = 7x – 33 Danach setzt man die Gleichung gleich! -2x + 12 = 7x – 33 Danach löst man die Gleichung nach x auf! -9x = -45 x = 5

Gleichsetzungsverfahren Nun setzt man den x-Wert, oben in eine Gleichung ein und erhält den dazugehörigen y-Wert! y = -10 + 12 y = 2 Zur Kontrolle kann man die Angabe (beide Gleichungen) einsetzen! Die Lösung heißt nun:

Einsetzungsverfahren Man beginnt damit, dass man eine der Gleichungen in die Hauptform y = kx + d bringt und setzt diese dann in eine andere Gleichung für y ein. I: 4x + 2y = 24 II: -7x + y = -33  Wir formen nun die zweite Gleichung auf y= … um! II: y = 7x – 33  Nun setzen wir diese umgeformte Gleichung in die andere ein!

Einsetzungsverfahren Nun lösen wir dieses Gleichungssystem nach x auf! 4x +14x – 66 = 24 18x = 90 x = 5 Danach setzen wir den x-Wert wieder in eine der anderen Gleichungen ein und erhalten so den y-Wert. y = 2 Die Lösung heißt nun:

Additionsverfahren I: 4x + 2y = 24 II: -7x + y = -33 Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung mit -2, damit das y wegfällt! II: 14x - 2y = 66  Nun fällt uns das y weg und wir erhalten eine Gleichung nur mit dem x-Wert: 18x = 90 x = 5 Wir erhalten nun wieder die Lösung:

Übungsphase Danach werden einige Beispiele eigenständig von den SchülerInnen gelöst, die einzige Bedingung ist, dass sie alle Methoden einmal verwenden sollen! In der nächsten Stunde könnte man den Stoff durch einen Stationenbetrieb festigen! es gibt auch ein Handout, zum Nachschlagen für die SchülerInnen

Danke für eure Aufmerksamkeit!