Das RSA-Verfahren - Einsatz von Standardalgorithmen in der Kryptologie Klaus Becker 2007

Verschlüsseln durch modulares Rechnen modulares Addieren modulares Multiplizieren modulares Potenzieren Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (d, m) Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (d, m) Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (d, m) z → (z + d) % m z → (z * d) % m z → (z ** d) % m Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (e, m) Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (e, m) Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (e, m) z → (z + e) % m z → (z * e) % m z → (z ** e) % m Zielsetzung: Am Beispiel kryptologischer Verfahren Relevanz von Algorithmen erkennen Bedeutung schneller Algorithmen erleben Standardalgorithmen kennen lernen

Teil 1 Das RSA-Verfahren

RSA-Verfahren

Aufgabe Experimentieren Sie mit dem Werkzeug "CrypTool", um einen ersten Eindruck von der Arbeitsweise des RSA-Verfahrens zu gewinnen. Starten Sie CrypTool. Rufen Sie [Einzelverfahren] [RSA-Kryptosystem] [RSA-Demo] auf. Nutzen Sie jetzt CrypTool, um einfache Texte zu verschlüsseln und wieder entschlüsseln.

Orientierung Im folgenden soll das RSA-Verfahren genauer untersucht werden. Dabei sollen insbesondere die algorithmischen Grundlagen analysiert werden. Die mathematischen Aspekte werden kurz angesprochen, aber nicht weiter vertieft. Die Vorgehensweise folgt einem Vorschlag von Witten und Schulz, der in den folgenden Artikeln beschrieben wird: H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil1. LOG IN 140 S. 45 ff. H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil2. LOG IN 143 S. 50 ff.

Verschlüsseln mit modularer Addition Teil 2 Verschlüsseln mit modularer Addition

Den Anfang macht Caesar PYLZFOWBNQCYBUVNCBLGYCHYAYBYCGMWBLCZNYHNTCZYLN VDOYH FDHVDU A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Schlüssel: D Quelltext: Geheimtext: SALVECAESAR VDOYHFDHVDU

Caesar-Verfahren mit Zahlen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen A → 00 B → 01 ... Z → 25 A#S#T#E#R#I#X 00#18#19#04#17#08#23 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (0 + 3) % 26 = 3 (18 + 3) % 26 = 21 ... (23 + 3) % 26 = 0 00#18#19#04#17#08#23 03#21#22#07#20#11#00 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (3 + 23) % 26 = 0 (21 + 23) % 26 = 18 ... (0 + 23) % 26 = 23 03#21#22#07#20#11#00 00#18#19#04#17#08#23 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen A → 00 B → 01 ... Z → 25 00#18#19#04#17#08#23 A#S#T#E#R#I#X

Modulares Rechnen - Addition „Es ist jetzt 14 Uhr. In 22 Stunden gibt es wieder Mittagessen.“ 14 + 22 = 12 Uhrenaddition: (14 + 22) % 24 = 36 % 24 = 12 %: Rest bei der ganzzahligen Division Bsp.: 12 % 4 = 0; 12 % 5 = 2; 12 % 17 = 12 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (0 + 3) % 26 = 3 (18 + 3) % 26 = 21 ... (23 + 3) % 26 = 0 00#18#19#04#17#08#23 03#21#22#07#20#11#00 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (3 + 23) % 26 = 0 (21 + 23) % 26 = 18 ... (0 + 23) % 26 = 23 03#21#22#07#20#11#00 00#18#19#04#17#08#23

Caesar-Variationen Codierung: Umwandlung von Zeichen in Zahlen A → 01 B → 02 ... Z → 26 A#S#T#E#R#I#X 01#19#20#05#18#09#24 Verschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (e, m) = (9, 30) (1 + 9) % 30 = 10 (19 + 9) % 30 = 28 ... (24 + 9) % 30 = 3 01#19#20#05#18#09#24 10#28#29#14#27#18#03 Entschlüsselung: Verarbeitung von Zahlen (d, m) = (21, 30) (10 + 21) % 30 = 1 (28 + 21) % 30 = 19 ... (3 + 21) % 30 = 24 10#28#29#14#27#18#03 01#19#20#05#18#09#24 Decodierung: Umwandlung von Zahlen in Zeichen A → 01 B → 02 ... Z → 26 01#19#20#05#18#09#24 A#S#T#E#R#I#X

Caesar-Variationen Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 AS#TE#RI#X 0119#2005#1809#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (2102, 3000) (119 + 2102) % 3000 = 2221 (2005 + 2102) % 3000 = 1107 ... 0119#2005#1809#24 2221#1107#911#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (898, 3000) (2221 + 898) % 3000 = 119 (1107 + 898) % 3000 = 2005 ... 2221#1107#911#2126 0119#2005#1809#24 Decodierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 0119#2005#1809#24 AS#TE#RI#X

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 Verschlüsselung: AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 DO#MS#PE#YE#R Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (567, 2911) Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (2344, 2911) Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Verschlüsselung: A → 01 B → 02 ... Z → 26 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (99, 411) Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = 103#114#112#107#114#105 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 A → 01 B → 02 ... Z → 26

Additives Chiffrierverfahren Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 AS#TE#RI#X 0119#2005#1809#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (2102, 3000) z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24 Bed.: z < m m > maxCode 2221#1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (898, 3000) z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126 Bed.: (e + d) % m = 0 0119#2005#1809#24 Decodierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 0119#2005#1809#24 AS#TE#RI#X

Additives Chiffrierverfahren Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 b → z AS#TE#RI#X eindeutige Codierung von Zeichenblöcken 0119#2005#1809#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (2102, 3000) z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24 Bed.: z < m m > maxCode 2221#1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (898, 3000) z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126 Bed.: (e + d) % m = 0 0119#2005#1809#24 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 2 z → b 0119#2005#1809#24 Decodierung als Um-kehrung der Codierung AS#TE#RI#X

Additives Chiffrierverfahren Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: z → (z + e) % m → ((z + e) % m + d) % m = (z + (e + d) % m) % m = z % m = z Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (2102, 3000) z → (z + e) % m 0119#2005#1809#24 Bed.: m ist größer als die maximale Codezahl 2221#1107#1010#2126 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (898, 3000) z → (z + d) % m 2221#1107#1010#2126 Bed.: e + d = m 0119#2005#1809#24 Sicherheit: Das "additive" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel sofort den privaten Schlüssel bestimmen kann.

Prinzip von Kerckhoff Die Sicherheit eines Kryptosystems darf nicht von der Geheimhaltung des Algorithmus abhängen. Die Sicherheit darf sich nur auf die Geheimhaltung des Schlüssels gründen. Vgl. A. Beutelspacher: Kryptologie. Vieweg 1996 Das Prinzip wurde erstmals formuliert im Buch "La cryptographie militaire" von Jean Guillaume Hubert Victor Francois Alexandre Auguste Kerckhoffs van Nieuwenhof (1835 bis 1903). Sicherheit: Das "additive" Chiffrierverfahren erfüllt nicht das Prinzip von Kerckhoff.

Implementierung Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 Zur Implementierung des vorgestellten Chiffrier-verfahrens (in Python) werden die einzelnen Operationen mit Hilfe von Funktionen dargestellt. AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (2102, 3000) (119 + 2102) % 3000 = 2221 (2005 + 2102) % 3000 = 1107 ... Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (898, 3000) (2221 + 898) % 3000 = 119 (1107 + 898) % 3000 = 2005 ... def zahl(c): def zeichen(z): def zerlegen(wort, blocklaenge): def codierenBlock(wort): def codierenBlockListe(blockListe): def codieren(wort, blocklaenge): def decodierenZahl(zahl): def decodierenZahlListe(zahlenListe): def zusammenfuegen(liste): def decodieren(zahlenListe): def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): def verschluesseln(zahlenListe, Decodierung: Code: A → 1 Blocklänge: 2 AA → 0101 AB → 0102 ... ZZ → 2626

Aufgabe In der Datei "ChiffriersystemModularesAddieren.py" finden Sie eine Implementierung des vorgestellten Chiffrierverfahrens. Analysieren Sie die einzelnen Funktionsdeklarationen und ergänzen Sie geeignete Testfälle.

Verschlüsseln mit modularer Multiplikation Teil 3 Verschlüsseln mit modularer Multiplikation

Multiplikatives Chiffrierverfahren Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 b → z A#S#T#E#R#I#X eindeutige Codierung von Zeichenblöcken 01#19#20#05#18#09#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18 Bed.: (e * d) % m = 1 01#19#20#05#18#09#24 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b 01#19#20#05#18#09#24 Decodierung als Um-kehrung der Codierung A#S#T#E#R#I#X

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Verschlüsselung: b → z C#A#E#S#A#R eindeutige Codierung von Zeichenblöcken Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m Bed.: (e * d) % m = 1 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Verschlüsselung: b → z eindeutige Codierung von Zeichenblöcken Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (12, 35) z → (z * e) % m Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = z → (z * d) % m 27#5#6#2#7 Bed.: (e * d) % m = 1 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Implementierung Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Zur Implementierung des vorgestellten Chiffrier-verfahrens (in Python) werden die einzelnen Operationen mit Hilfe von Funktionen dargestellt. b → z eindeutige Codierung von Zeichenblöcken Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m Bed.: (e * d) % m = 1 def zahl(c): def zeichen(z): def zerlegen(wort, blocklaenge): def codierenBlock(wort): def codierenBlockListe(blockListe): def codieren(wort, blocklaenge): def decodierenZahl(zahl): def decodierenZahlListe(zahlenListe): def zusammenfuegen(liste): def decodieren(zahlenListe): def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): def verschluesseln(zahlenListe, Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Aufgabe Ändern Sie die Implementierung des Chiffriersystems mit modularem Addieren geeignet ab und testen Sie das neue Chiffriersystem, das auf modularem Multiplizieren basiert.

Modulares Inverses Zwei Zahlen a, b heißen modular invers zueinander bzgl. des Moduls m genau dann, wenn gilt: (a * b) % m = 1. Bsp.: (7 * 13) % 30 = 1. Also: 13 ist das modulare Inverse zu 7 bzgl. des Moduls m = 30. Beachte: Wenn a und m teilerfremd sind, dann existiert das modulare Inverse von a bzgl. m. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m; ggT(d, m) = 1 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18 Bed.: (e * d) % m = 1 01#19#20#05#18#09#24 Das multiplikative Chiffrierverfahren funktioniert nur, wenn man zwei Zahlen e und d findet mit (e * d) % m = 1.

Aufgabe Untersuchen Sie, zu welchen der folgenden Zahlen e es ein modulares Inverses d bzgl. des Moduls 12 gibt: e = 2 e = 3 e = 4 e = 5 e = 6 e = 7 e = 8 e = 9 e = 10 e = 11

Korrektheit Korrektheit: Die Entschlüsselung macht die Verschlüsselung rückgängig: z → (z * e) % m → ([(z * e) % m] * d) % m = (z * [(e * d) % m]) % m = (z * 1) % m = z Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18 Bed.: (e * d) % m = 1 01#19#20#05#18#09#24 Beispiel: Verschlüsseln: 9 → (9 * 7) % 30 Entschlüsseln: (9 * 7) % 30 → ([(9 * 7) % 30] * 13) % 30 = [(9 * 7) * 13)] % 30 = [9 * (7 * 13)] % 30 = (9 * [(7 * 13) % 30]) % 30 = (9 * 1) % 30 = 9

Aufgabe Der Korrektheitsnachweis nutzt einige Regeln zum Rechnen mit modularer Multiplikation aus, u. a.: ((a % m) * (b % m)) % m = ((a % m) * b) % m = (a * b) % m Überprüfen Sie diese Regeln anhand von Beispielen. Sie können sich die Ergebnisse auch von Python (im interaktiven Modus) berechnen lassen.

Sicherheit Sicherheit: Die Sicherheit des multiplikativen Chiffrierverfahrens hängt davon ab, ob man zur Zahl e aus dem öffentlichen Schlüssel das modulare Inverse d bzgl. m bestimmen kann. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18 Bed.: (e * d) % m = 1 01#19#20#05#18#09#24

Bestimmung des modularen Inversen Ein naiver Ansatz besteht darin, der Reihe nach alle Zahlen durchzuprobieren, bis man das gewünschte Ergebnis gefunden hat. def modInvNaiv(e, m): gefunden = False d = 1 while not gefunden: if (e*d)%m == 1: gefunden = True else: d = d + 1 return d

Aufgabe Implementieren und testen Sie den Algorithmus in Python. Testen Sie insbesondere den Algorithmus auch mit großen Zahlen. Bsp.: Bestimmen Sie das modulare Inverse von e = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 bzgl. m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000 Als Ergebnis sollten Sie d = 49 erhalten. Bestimmen Sie jetzt das modulare Inverse von d = 49 bzgl. m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000 Als Ergebnis sollten Sie e = 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 erhalten. Was fällt hier auf?

Aufgabe Benutzen Sie ein Programm mit zusätzlichen Ausgaben, um abzuschätzen, wie lange es wohl dauern wird, bis das Ergebnis der folgenden Berechnung feststeht: e = 49 m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000 modInvNaiv(e, m) Messen sie hierzu (grob) die Zeit, die das Programm benötigt, um 10000000 Zahlen durchzuprobieren. Rechnen Sie dann hoch. def modInvNaiv(e, m): gefunden = False d = 1 while not gefunden: if d % 10000000 == 0: print "Anzahl der Versuche: ", d if (e*d)%m == 1: gefunden = True else: d = d + 1 return d

Praktisch unbrauchbarer Algorithmus Für größere Zahlen ist der naive Algorithmus unbrauchbar. Für die unten gezeigten Zahlen benötigt ein Rechner länger, als das Universum alt ist. Beispiel: e = 49 m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000 modInvNaiv(d, m) Um 10 000 000 (= 107) Zahlen durchzuprobieren, benötigt ein Rechner derzeit etwas 10s. Da das erwartete Ergebnis 775517959261225265313877628572204089387832653836742449 eine 54-stellige Zahl ist, wird der Rechner eine Zeit benötigen, die in der Größenordnung von 1047s liegt. Dies sind mehr als 1039 Jahre. Bedenkt man, dass das Universum ein Alter von etwa 1010 Jahre hat, dann zeigt sich, wie ungeeignet das naive Vorgehen ist.

Vielfachsummensatz Ein besseres Verfahren zur Bestimmung des modularen Inversen basiert auf folgendem Zusammenhang ("Vielfachsummensatz", "Lemma von Bézout", "Lemma von Bachet"): Für je zwei natürliche Zahlen a und b gibt es ganze Zahlen x und y mit ggT(a,b)=x*a+y*b. Beispiele: a = 3; b = 4: ggT(3, 4) = 1 = (-1)*3 + 1*4 a = 6; b = 9: ggT(6, 9) = 3 = (-1)*6 + 1 * 9 a = 41; b = 192: ggT(41, 192) = 1 = 89*41 + (-19)*192

Erweiterter euklidischer Algorithmus Gegeben: a = 884; b = 320 Gesucht: ggT(a, b) = x*a + y*b (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 (3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320 (4) 76 = 4*16 + 12 → 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884 (5) 16 = 1*12 + 4 → 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320 (6) 12 = 3*4 + 0 Ergebnis: ggT(884, 320) = 4 = 21*884 + (- 58)*320

Aufgabe Bestimmen Sie analog die Darstellung für a = 30 und b = 7. Gegeben: a = 30; b = 7 Gesucht: ggT(a, b) = x*a + y*b

Aufgabe Das Struktogramm zeigt, wie der erweiterte euklidische Algorithmus mit Variablen und Kontrollstrukturen beschrieben werden kann. Im Folgenden ist ein Ablaufprotokoll für die Eingaben a = 884 und b = 320 skizziert. Machen Sie sich anhand dieses Ablauf-protokolls die Arbeitsweise des Algorithmus klar. Die unten gezeigten Berechnungsschritte sollten sich im Ablaufprotokoll widerspiegeln. (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 (3) 244 = 3*76 + 16 → 16 = 244 - 3*76 = (1*884 - 2*320) - 3*(3*320 - 1*884) = 4*884 - 11*320 (4) 76 = 4*16 + 12 → 12 = 76 - 4*16 = (3*320 - 1*884) - 4*(4*884 - 11*320) = 47*320 - 17*884 (5) 16 = 1*12 + 4 → 4 = 16 - 1*12 = (4*884 - 11*320) - 1*(47*320 - 17*884) = 21*884 - 58*320 (6) 12 = 3*4 + 0

Erweiterter euklidischer Algorithmus Geg.: a = 884; b = 320; Ges.: ggT(a, b) = x*a + y*b aalt:884 = a:884 amitte:320 = b:320 xalt:1 = 1 xmitte:0 = 0 yalt:0 = 0 ymitte:1 = 1 {aalt:884 = xalt:1 * a: 884 + yalt:0 * b:320; amitte:320 = xmitte:0 * a:884 + ymitte:1 * b:320} (1) 884 = 2*320 + 244 → 244 = 884 - 2*320 = (1*884 + 0*320) - 2*(1*320 + 0*884) = 1*884 - 2*320 q: 2 = aalt: 884 / amitte: 320 aneu:244 = aalt:884 % amitte:320 xneu:1 = xalt:1 - xmitte:0 * q:2 yneu:-2 = yalt:0 - ymitte:1 * q:2 xalt:0 = xmitte:0 xmitte:1 = xneu:1 yalt:1 = ymitte:1 ymitte:-2 = yneu:-2 aalt:320 = amitte:320 amitte:244 = aneu:244 {aalt:320 = xalt:0 * a:884 + yalt:1 * b:320; amitte:244 = xmitte:1 * a:884 + ymitte:-2 * b:320}

Erweiterter euklidischer Algorithmus {aalt:320 = xalt:0 * a:884 + yalt:1 * b:320; amitte:244 = xmitte:1 * a:884 + ymitte:-2 * b:320} (2) 320 = 1*244 + 76 → 76 = 320 - 1*244 = (0*884 + 1*320) - 1*(1*884 - 2*320)) = 3*320 - 1*884 q: 1 = aalt: 320 / amitte: 244 aneu:76 = aalt:320 % amitte:244 xneu:-1 = xalt:0 - xmitte:1 * q:1 yneu:3 = yalt:1 - ymitte:-2 * q:1 xalt:1 = xmitte:1 xmitte:-1 = xneu:-1 yalt:-2 = ymitte:-2 ymitte:3 = yneu:3 aalt:244 = amitte:244 amitte:76 = aneu:76 {aalt:244 = xalt:1 * a:884 + yalt:-2 * b:320; amitte:76 = xmitte:-1 * a:884 + ymitte:3 * b:320}

Aufgabe Die Datei "ErweiterterEuklidischerAlgorithmus.py" enthält eine Implementierung des erweiterten euklidischen Algorithmus. Testen Sie diese Implementierung. Fügen Sie insbesondere Ausgabeanweisungen ein und überprüfen Sie das gezeigte Ablaufprotokoll.

Bestimmung des modularen Inversen Mit Hilfe der Ausgaben des erweiterten euklidischen Algorithmus lässt sich das modulare Inverse bestimmen: Beispiel 1: modInv(41, 192) Beachte: ggT(41, 192) = 1. Das modulare Inverse von 41 bzgl. 192 kann bestimmt werden. Der Algorithmus von Bachet liefert zu den Eingaben (41, 192) die Ausgabe (1, 89, -19). Also: 1 = 89*41 + (-19)*192 Also: (89*41) % 192 = (1 - (-19)*192) % 192 = (1 + 19*192) % 192 = 1 Also: modInv(41, 192) = 89 Beispiel 2: modInv(17, 192) Beachte: ggT(17, 192) = 1. Das modulare Inverse von 17 bzgl. 192 kann bestimmt werden. Der Algorithmus von Bachet liefert zu den Eingaben (17, 192) die Ausgabe (1, -79, 7). Also: 1 = (-79)*17 + 7*192 Also: 1 + 192*17 = (-79+192)*17 + 7*192 Also: 1 + 192*17 - 7*192 = 113*17 Also: (113*17) % 192 = (1 + 10*192) % 192 = 1 Also: modInv(17, 192) = 113 Beispiel 3: modInv(320, 884) Beachte: ggT(320, 884) = 4 > 1. Es gibt kein modulares Inverses von 320 bzg. 884.

Aufgabe Die Datei "ModularesInverses.py" zeigt u. a., wie man aus den Ergebnissen des erweiterten euklidischen Algorithmus das modulare Inverse bestimmen kann. Testen Sie die Implementierung insbesondere für große Zahlen: e = 49 m = 1000010000100001000010000100001000010000100001000010000 modInv(d, m) Welche Konsequenzen ergeben sich hieraus für die Sicherheit des Chiffrierverfahrens mit modularer Multiplikation?

Sicherheit Sicherheit: Das "multiplikative" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus den privaten Schlüssel recht schnell bestimmen kann. Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 30) z → (z * e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m; ggT(e, m) = 1 07#13#20#05#06#03#18 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (13, 30) z → (z * d) % m 07#13#20#05#06#03#18 Bed.: (e * d) % m = 1 01#19#20#05#18#09#24

Sicherheit Sicherheit: Das "multiplikative" Chiffrierverfahren ist nicht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus den privaten Schlüssel recht schnell bestimmen kann. Die "Unsicherheit" basiert hier also darauf, dass man ein schnelles Verfahren gefunden hat, um das modulare Inverse einer Zahl zu bestimmen.

Verschlüsseln mit modularem Potenzieren Teil 4 Verschlüsseln mit modularem Potenzieren

Verschlüsseln d. modulares Rechnen modulares Addieren modulares Multiplizieren modulares Potenzieren Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, m) Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, m) Verschlüsselung mit öffentl. Schlüssel (e, m) z → (z + e) % m z → (z * e) % m z → (z ** e) % m Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, m) Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, m) Entschlüsselung mit privat. Schlüssel (d, m) z → (z + d) % m z → (z * d) % m z → (z ** d) % m

Verschlüsseln d. modulares Potenzieren Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 b → z A#S#T#E#R#I#X eindeutige Codierung von Zeichenblöcken 01#19#20#05#18#09#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (13, 77) z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m 01#61#69#26#46#58#52 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (37, 77) z → (z ** d) % m 01#61#69#26#46#58#52 Bed.: (e * d) % φ(m) = 1 01#19#20#05#18#09#24 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b 01#19#20#05#18#09#24 Decodierung als Um-kehrung der Codierung A#S#T#E#R#I#X

Schlüsselerzeugung Vorbereitung: Beispiel: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. Berechne m = p*q. Berechne φ(m) = (p-1)*(q-1). Wähle eine Zahl e, die teilerfremd zu φ(m) ist. Berechne d so, dass (e*d) % φ(m) = 1 ist. ("Vernichte p, q, φ(m).") Schlüssel: Der öffentliche Schlüssel ist (e, m). Der private Schlüssel ist (d, m). Beispiel: p = 7; q = 11 m = 77 φ(m) = 60 z. B. e = 13 d = 37 (13, 77) (37, 77)

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Verschlüsselung: b → z A#S#T#E#R#I#X eindeutige Codierung von Zeichenblöcken 01#19#20#05#18#09#24 Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (13, 77) z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (37, 77) z → (z ** d) % m Bed.: (e * d) % φ(m) = 1 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Aufgabe Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Verschlüsselung: b → z eindeutige Codierung von Zeichenblöcken Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (7, 55) z → (z ** e) % m Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = z → (z ** d) % m 28#25#02#25#04#07 Bed.: (e * d) % φ(m) = 1 Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Implementierung Codierung: Code: A → 1 Blocklänge: 1 Zur Implementierung des vorgestellten Chiffrier-verfahrens (in Python) werden die einzelnen Operationen mit Hilfe von Funktionen dargestellt. b → z eindeutige Codierung von Zeichenblöcken Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (13, 77) z → (z ** e) % m Bed.: z < m Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (37, 77) z → (z ** d) % m Bed.: (e * d) % φ(m) = 1 def zahl(c): def zeichen(z): def zerlegen(wort, blocklaenge): def codierenBlock(wort): def codierenBlockListe(blockListe): def codieren(wort, blocklaenge): def decodierenZahl(zahl): def decodierenZahlListe(zahlenListe): def zusammenfuegen(liste): def decodieren(zahlenListe): def verschluesselnZahl(zahl, schluessel): def verschluesseln(zahlenListe, Decodierung Code: A → 1 Blocklänge: 1 z → b Decodierung als Um-kehrung der Codierung

Aufgabe Ändern Sie die Implementierung des Chiffriersystems mit modularem Addieren / Multiplizieren geeignet ab und testen Sie das neue Chiffriersystem, das auf modularem Potenzieren basiert. Hinweis: Benutzen Sie zum schnellen modularen Potenzieren die folgende Funktion modpot: def modpot(x, y, n): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % n y = y - 1 else: x = (x * x) % n y = y / 2 return pot

Korrektheit des RSA-Verfahrens Behauptung: Seien (e, m) und (d, m) ein öffentlicher und privater Schlüssel zum RSA-Verfahren. Sei z eine natürliche Zahl mit z < m. Dann gilt: (ze % m)d % m = z Verschlüsselung: öffentlicher Schlüssel (e, m) = (13, 77) z → (z ** e) % m 01#19#20#05#18#09#24 Bed.: z < m 01#61#69#26#46#58#52 Entschlüsselung: privater Schlüssel (d, m) = (37, 77) z → (z ** d) % m 01#61#69#26#46#58#52 Bed.: (e * d) % φ(m) = 1 01#19#20#05#18#09#24

Korrektheit des RSA-Verfahrens Behauptung: Seien (e, m) und (d, m) ein öffentlicher und privater Schlüssel zum RSA-Verfahren. Sei z eine natürliche Zahl mit z < m. Dann gilt: (ze % m)d % m = z Beweis: Nach den Vorgaben zur Schlüsselerzeugung gilt: m = pq; (m) = (p-1)(q-1); (ed) % (m) = 1. Da (ed) % (m) = 1, gibt es eine natürliche Zahl k mit ed = k(m) + 1. Nach dem Satz (s. u.) gilt dann (zk(m) + 1) % m = z. Hiermit folgt jetzt: (ze % m)d % m = (ze)d % m = (zed) % m = (zk(m) + 1) % m = z Satz Seien p und q Primzahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen z und alle natürlichen Zahlen k: zk(p-1)(q-1)+1 % (pq) = z

Aufgabe Überprüfen Sie die Aussage des Satzes: Seien p und q Primzahlen. Dann gilt für alle natürlichen Zahlen z und alle natürlichen Zahlen k: zk(p-1)(q-1)+1 % (pq) = z Setzen Sie hierzu für die p, q, z und k konkrete Werte einsetzen und berechnen Sie (mit Python) den Ausdruck zk(p-1)(q-1)+1 % (pq).

Aufgabe Die Verschlüsselung durch modulares Potenzieren ist nur dann geeignet, wenn man schnell modulare Potenzen bestimmen kann. Testen und analysieren Sie den folgenden Algorithmus: def modpot(x, y, n): pot = 1 while y > 0: if y % 2 == 1: pot = (pot * x) % n y = y - 1 else: x = (x * x) % n y = y / 2 return pot

Sicherheit des RSA-Verfahrens Bedingung: Die Sicherheit hängt davon ab, ob man in angemessener Zeit den Bestand-teil m des öffentlichen Schlüssels in seine Primfaktoren zerlegen kann. Vorbereitung: Wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q. Berechne m = p*q. Berechne φ(m) = (p-1)*(q-1). Wähle eine Zahl e, die teilerfremd zu φ(m) ist. Berechne d so, dass (e*d) % φ(m) = 1 ist. ("Vernichte p, q, φ(m).") Schlüssel: Der öffentliche Schlüssel ist (e, m). Der private Schlüssel ist (d, m). Beispiel: p = 7; q = 11 m = 77 φ(m) = 60 z. B. e = 13 d = 37 (13, 77) (37, 77)

Sicherheit des RSA-Verfahrens Sicherheit: Bis heute gibt es keine schnellen Algorithmen, um eine Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Das RSA-Verfahren ist bei groß gewählten Primzahlen recht sicher, da man aus dem öffentlichen Schlüssel den privaten Schlüssel bisher nicht in angemessener Zeit bestimmen kann.

Aufgabe Mit dem folgenden Programm kann man eine Primfaktorzerlegung bei natürlichen Zahlen durchführen. def primfaktoren(n): from math import sqrt liste = [] for t in [2, 3]: while n % t == 0: liste.append(t) n = n / t t = 5 d = 2 w = round(sqrt(n)) while t <= w: t = t + d d = 6 - d if n > 1: liste.append(n) return liste Testen Sie das Programm. Testen Sie auch das Verhalten bei großen Eingabezahlen.

Aufgabe Multiplizieren Sie zwei Primzahlen p und q und zerlegen Sie anschließend das Produkt m = p*q wieder in seine Primfaktoren. Erhöhen Sie schrittweise die Größe von p und q. Zur Erzeugung von Primzahlen können Sie die sehr naiv implementierte Funktion "naechstgroesserePrimzahl(n)" (oder auch "naechstKleinerePrimzahl(n)") benutzen (siehe "SystematischePrimzahlZerlegung.py"). Protokollieren Sie die Messergebnisse und versuchen Sie herauszufinden, wie die Rechenzeit in Abhängigkeit der Größe der Ausgangsprimzahlen wächst. Gehen Sie bei der Erhöhung von p und q systematisch vor. Erzeugen Sie z. B. Primzahlen, die in der Nähe von 30..0 bzw 40..0 liegen. Die Zahlen 30..0 sollen beginnend bei 30 jeweils um eine Stelle wachsen, analog 40..0 = 40, 400, 4000, .. . Die Zahlen n wachsen dann jeweils um zwei Stellen (siehe nächste Folie).

Aufgabe p q n Stellen Zeit 31 41 1271 4 307 401 123107 6 31 41 1271 4 307 401 123107 6 3001 4001 12007001 8

Aufgabe Gibt es eigentlich genug Primzahlen in der gewünschten Größenordnung? Untersuchen Sie, wie viele Primzahlen es bis zu einer gegebenen Zahl x gibt.

Informationen Gibt es genug Primzahlen in der gewünschten Größenordnung? Für eine gegebene Zahl x gibt es ungefähr x/ln(x) Primzahlen, die kleiner als x sind. Man wählt heute Primzahlen, die mit mindestens 512 Bit dargestellt werden. Das sind Zahlen in der Größenordnung 2512. Da 2512/ln(2512) etwa die Größenordnung 2500 hat (das ist eine Zahl mit 150 Dezimalstellen), sollten genügend Primzahlen für die Verschlüsselung zur Verfügung stehen. Wie bestimmt man große Primzahlen? Zur Bestimmung großer Primzahlen geht man wie folgt vor. Man erzeugt eine Zufallszahl im gewünschten Größenbereich und testet, ob es sich um eine Primzahl handelt. Solche Primzahltests kann man sehr schnell mit geeigneten Verfahren durchführen. Da es sehr viele Primzahlen im gewünschten Bereich gibt (s. o.), muss man nicht in der Regel allzu viele Zahlen testen.

Fazit Algorithmen spielen bei der Entwicklung von Chiffriersystemen eine große Rolle. Im Fall des RSA-Verfahrens benötigt man einerseits gute Algorithmen, um das Verfahren überhaupt effizient durchführen zu können (z. B. schnell ein modulares Inverses bestimmen; schnell eine modulare Potenz bestimmen). Andererseits ist das Verfahren so angelegt, dass bestimmte Operation mit den bisher bekannten Algorithmen mit vertretbarem Rechenaufwand nicht durchgeführt werden können.

Literaturhinweise Folgende Materialien wurden hier benutzt: H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil1. LOG IN 140 S. 45 ff H. Witten, R.-H. Schulz: RSA & Co. in der Schule, Teil2. LOG IN 143 S. 50 ff K. Merkert: http://www.hsg-kl.de/faecher/inf/krypto/rsa/index.php