Bohrs Atommodell: Bahnradien Jenseits der klassischen Physik: Die Quantenbedingung für den Drehimpuls

Inhalt Kräfte zwischen Kern und Elektronen Die Bohrschen Postulate Quantenbedingung für den Drehimpuls Abhängig von der Quantenzahl: Bahnradius Energie

Bohrs Atommodell Elektronen kreisen als geladene, mechanische Objekte um den Kern Gleichgewicht zwischen Coulomb- und Zentrifugalkraft Der Radius der Elektronenbahn ist konstant: Die Erklärung dafür erfordert die Erweiterung der klassischen Physik zur Quantenmechanik Kern, Ladung Z e

Beispiel Be, Z=4 Kern, Ladung 4e Elektronenhülle , Die Kernladungszahl Z ist das primäre Ordnungsmerkmal im Periodensystem Kern, Ladung 4e Elektronenhülle , 4 Elektronen mit Ladung -e auf Schalen um den Kern verteilt Link zum Periodensystem: http://www.chemicool.com/ Link zu Tabellen der Chemie: http://webbook.nist.gov/chemistry/

Die Bohrschen Postulate Elektronen bewegen sich auf stationären Bahnen um den Kern Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen – trotz Beschleunigung – keine Energie ab Quantisierung des Drehimpulses: Der Bahndrehimpuls ist Vielfaches eines elementaren Quantums Die Ausstrahlung elektromagnetischer Strahlung erfolgt nur bei sprunghaftem Übergang eines Elektrons von einer Schale höherer zu einer Schale niederer Energie

Das Coulombgesetz für Kern und Elektron Kernladung: Z·e Elektron Ladung e Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an

Die Zentripetalkraft auf der Kreisbahn ist die Coulombkraft Zentrifugalkraft Bahngeschwindigkeit Zentripetalkraft auf der Kreisbahn: Coulombkraft zwischen Kern und Elektron

Der Drehimpuls und seine Quantisierung 1 1 m2kg/s Drehimpuls für Bahn n 2 Quantisierung des Drehimpulses Für die “Quantisierungs” - Bedingung gibt es keine Begründung im Rahmen der klassischen Physik: Diese Annahme ist Teil der Quantenmechanik

Kräfte auf Bahn n 1 N Coulombkraft Zentrifugalkraft Einheit 3 4 Klassische Bedingung für die Bewegung einer Ladung auf einer Kreisbahn: Coulombkraft ist die Zentripetalkraft entgegengesetzt der Trägheitskraft, das ist die Zentrifugalkraft Aus den Gleichungen 1 bis 4 werden die Unbekannten rn , ωn , Ln und F berechnet

Winkelgeschwindigkeit für Bahn n 1 m2kg/s Gleichungen 1 und 2 gleichgesetzt. Quantisierung und Drehimpuls 5 1/s Winkelgeschwindigkeit als Funktion von Quantenzahl und Bahnradius Aus Gleichung 1 und 2 wird Ln eliminiert und ωn als Funktion von rn berechnet

Radius der Bahn n Einheit 1 N ωn aus Gleichung 5 in Gleichung 4 (Zentripetalkraft) eingesetzt Gleichungen 4 (Zentripetal-) und 3 (Coulombkraft) gleichgesetzt 1 m Aufgelöst nach rn , dem Radius der Bahn n mit Quantenzahl n 1m Definition des „Bohr-Radius“, kleinste Bahn im H – Atom (Z=1) Radius der Bahn zur Quantenzahl n , Kernladung Z

Radien der Bahnen zur Quantenzahl n für Atome mit Z=1 (Wasserstoff und Wasserstoff ähnliche Atome mit nur einem Elektron) Bahnradius Einheit Quantenzahl 1 nm 1 2 3 4 … .. n

Bahn-Radien in Bohrs Atommodell r4=16r1 Bahn-Radien in Bohrs Atommodell r3=9r1 r2=4r1 r1

Winkelgeschwindigkeit als Funktion von n Winkelgeschwindigkeit als Funktion von Quantenzahl und Bahnradius 1/s Bahnradius eingesetzt: Die Winkelgeschwindigkeit nimmt mit n3 ab Berechnung der Periode Tn s Die Periode Tn wächst proportional zu n3

Bohrs Atommodell für Z=1, H Drehimpuls-Vektor ~ n n Tn 1 T1 2 8·T1 3 27·T1 4 64·T1 r4=16r1 r3=9r1 r2=4r1 r1 Die Animation zeigt das Anwachsen von Tn mit n3 nur qualitativ

Bohrs Atommodell für Z=4, Be Gesamt-Drehimpuls 0 wird durch den Drehsinn der Elektronen erreicht : J = -1 +2 +3 -4

Zusammenfassung Bohrs Atommodell: Elektronen kreisen als geladene, mechanische Objekte um den Kern Gleichgewicht zwischen Coulomb- und Zentrifugalkraft Aber: trotz beschleunigter Ladung werden keine elektromagnetischen Felder aufgebaut/gesendet Die Quantenbedingung für den Drehimpuls führt auf diskrete, mit n = 1, 2, 3, … nummerierbare Bahnen, kleinster Radius, „Bohr-Radius“, r1= 0,0529 nm

Konstanten 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Formel-zeichen Wert SI Einheit Anmerkung e 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js Plancksches Wirkungsquantum me 9,11 10-31 1 kg Masse des Elektrons 8,85 10-12 1 F/m Elektrische Feldkonstante , Link zum Periodensystem: http://www.chemicool.com/ Link zu Tabellen der Chemie: http://webbook.nist.gov/chemistry/

finis Gesamt-Drehimpuls 0 wird durch den Drehsinn der Elektronen erreicht : J = -1 +2 +3 - 4