Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 05/

Finden von Perioden Funktion f: Z L ! Z N als Black Box Es gibt ein r<N: f(i)=f(i+r) für alle i 2 Z L i j+kr ) f(i) f(j) Finde r Lösen für beliebige periodische f U f : |j i |y i |j i |f(j) y i ; j 2 Z L ; f(j)y 2 Z N

Shors Algorithmus log L+log N Arbeitsqubits log L Qubits im Zustand |0 i ; 0 2 Z L log N Qubits im Zustand |1 i ; 1 2 Z N Wende Hadamard auf 1. Register an Wende U f an Ergebnis: Messe zweites Register Ergebnis:

Shors Algorithmus Ergebnis: 0 · j 0 · r-1; L-r · j 0 +(A-1)r · L-1 A-1 < L/r < A+1 Messung des ersten Registers jetzt wäre nutzlos

Shors Algorithmus Ergebnis: Wende QFT an Ergebnis: d.h. Wahrscheinlichkeit von k ist unabhängig von j 0 (Translationsinvarianz)

Shors Algorithmus Ergebnis: Messung: Wahrscheinlichkeit von k ist Vereinfachende Annahme: r teilt L, d.h. A=L/r, dann

Shors Algorithmus Vereinfachende Annahme: r teilt L, d.h. A=L/r, dann Wenn A Teiler von k, dann =1/r Wenn A kein Teiler von k, dann = 0 (weil r mal Wahrscheinlichkeit 1/r in Fall 1 für alle r Werte k die Vielfache von A sind) D.h. wir erhalten Vielfaches von A=L/r, also cL/r mit 0 · c · r-1 Mit hoher Ws. ist c teilerfremd zu L/r Dann ggt(cL/r,L)=L/r, L bekannt, wir erhalten r.

Shors Algorithmus Allgemein: Wahrscheinlichkeit von k ist favorisiert Werte von k mit kr/L nahe an Integer Geometrische Reihe mit k =2 kr (mod L)/ L

Shors Algorithmus mit k =2 kr (mod L)/ L Es gibt genau r Werte von k 2 Z L mit -r/2 · kr (mod L) · r/2 Für diese also - r/L · k · r/L d.h. mit 0 · j · A-1<L/r liegen die Winkel j k alle in einer Halbebene ) konstruktive Interferenz! Betrachte solches k

Shors Algorithmus Einige Abschätzungen: Es gilt |1-e i k | · | k | [direkte Distanz 1 von e i k ist kleiner als Bogenlänge] Es gilt |1-e iA k | ¸ 2A| k |/, wenn A| k | · denn sei dist(0, )=|1-e i |, dann ist dist(0, )/| | ¸ dist(0, )/ =2/ Es gilt allerdings nur A < (L/r)+1, also A k · A r/L < (1+r/L)

Shors Algorithmus |1-e i k | · | k | ;|1-e iA k | ¸ 2A| k |/, wenn A| k | · A k · A r/L < (1+r/L)

Shors Algorithmus Wir erhalten jedes der r gewünschten k mit Wahrscheinlichkeit proportional zu 1/r, also insgesamt mit konstanter Wahrscheinlichkeit ein k mit -r/2 · kr (mod L) · r/2 [Erfolg] |kr-cL| · r/2 für ein c Dann:|k/L-c/r| · 1/(2L), d.h. k/L ist Approximation von c/r Wir kennen k und L. Wähle reduzierte Darstellung von k/L als rationale Zahl. c ist uniform zufällig aus 0,...,r-1 c kein Teiler von r mit Wahrscheinlichkeit 1/log c Dann: Berechnung von c/r gibt uns auch r Wähle also L gross genug, um gute Approximation zu erhalten

Shors Algorithmus Wir erhalten mit konstanter Wahrscheinlichkeit ein k mit |k/L-c/r| · 1/(2L) Mit Wahrscheinlichkeit 1/log c<1/log L ist ggt(c,r)=1 Sei r<N, L=N 2 c/r ist rationale Zahl mit Nenner <N Zwei solche Zahlen liegen nicht dichter aneinander als 1/N 2 =1/L > 1/(2L) Es gibt also im Intervall nur die eine rationale Zahl c/r mit Nenner < N Finde die rationale Zahl mit Nenner < N, die nah an k/L liegt Kettenbruchmethode

Die Kettenbruchmethode berechnet zu einer reellen Zahl die Kettenbruchdarstellung Wenn |c/r- | · 1/(2r 2 ), dann wird in einem der Schritte das Paar c,r erzeugt, nach höchstens O(t 3 ) Operationen für t-Bit Zahlen

Performance insgesamt Mit konstanter Wahrscheinlichkeit ist k gut Mit Wahrscheinlichkeit 1/log N ist auch c gut (d.h. teilerfremd zu r) Anzahl Wiederholungen daher O(log N) Zum Finden der Ordnung in Z N wähle also L=N 2, d.h. 2 log N +log N Qubits insgesamt Fouriertransformation in O(log 2 L) Dann kann mit dem Kettenbruchalgorithmus r bestimmt werden aus k/L in O(log 3 L) Zeit Errechnetes r kann mit Black Box getestet werden Also Zeit erwartet O(log 4 N), kann auf O(log 3 N) gesenkt werden

Kettenbruchmethode Gegeben reelles Approximiere durch Finde Darstellung so: Nehme ganzzahligen Teil als a 0, invertiere Rest, iteriere Theorem: |p/q- | · 1/(2q 2 ), dann tritt p/qim Algorithmus nach O(log (p+q)) Schritten auf