Die Welt der Fraktale Eine Kurzeinführung

Umgang mit komplexen Zahlen bzw. Punkten der Zahlenebene. Juliamengen und die Mandelbrotmenge Diese Einführung ist sehr kurz, sollte euch aber in die Lage versetzen die Grundalgorithmen für die Juliamengen und die Mandelbrotmenge aufzustellen. Mehr Information http://www.fraktale-online.de/index.php

Es geht um komplexe Zahlen z = x + y Es geht um komplexe Zahlen z  =  x + y*i mit Realteil x und Imaginärteil y. Der Knackpunkt ist die imaginäre Einheit i, für die gilt   i*i = -1 Beispiel: z = 3 + 4i Eine komplexe Zahl kann man graphisch in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Die waagerechte Achse für die Realteile, die senkrechte Achse für die Imaginärteile. Die Zahl z = x + y*i wird dann durch den Punkt Z(x, y) in der Ebene veranschaulicht.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt. Nach Pythagoras kann man den Betrag von z  =  x + y*i dann ganz elementar ausrechnen als: |z|  =  Wurzel(x*x + y*y) Beispiel: |3 + 4i| = Wurzel(9 + 16) = 5 Das Quadrat einer komplexen Zahl wird dann so berechnet, wie man mit Termen eben rechnet: z*z  =  (x + y*i) * (x + y*i)   =  x*x + 2*x*y*i + y*y*i*i        =  x*x - y*y + 2*x*y*i Aus dem Punkt Z= (x/y) wird der Punkt (x*x-y*y/2x*y) Beispiel: (3 + 4i)^2  =  3*3 - 4*4 + 2*3*4*i =  -7 + 24i Aus dem Punkt (3/4) wird der Punkt (-7/24)

z[n+1]=z[n]^2 + c Komplexe Zahlenfolgen Für eine beliebige komplexe Zahl c = a+b*i C=(a/b) und einen beliebigen Startwert z[o] =x+y*i (das heißt einen beliebigen Startpunkt der komplexen Zahlenebene Z=(x/y)) wird jetzt folgende Zahlenfolge berechnet: z[n+1]=z[n]^2 + c Beispiel für c = 3+4i  :und z[0]=0 +0*i z[0] = 0+0i z[1] = 0+0i + 3+4i = 3+4i z[2] = -7+24i + c = -4+28i z[3] = -758-214i + c = -755-210i Wir erhalten also einen Punkt in der komplexen Zahlenebene der „hin und herspringt“.

Konvergenz, Divergenz, Attraktoren Die Folge  z[n]  kann man theoretisch für jede beliebige komplexe Zahl c und jeder Anfangszahl z[0] bis zu jedem n berechnen. Meist wird der Betrag von  z[n]  immer größer werden. Man sagt die Zahlenfolge divergiert. Es gibt aber bestimmte Anfangszahlen z[0] mit einer festgelegten komplexen Zahl c, bei denen die Folgeglieder z[n] auf eine bestimmte komplexe Zahl zulaufen. Die Zahlenfolge konvergiert. Geometrisch bedeutet dies, dass der Punkt Z[0]=(x/y) auf einen Konvergenzpunkt (einen so genannten Attraktor) zuläuft Demonstration mit: http://math.bu.edu/DYSYS/applets/JuliaIteration.html Auf dem Bild unten links siehst wie „die Punkte springen“

Wie ermittelt man die Konvergenz in der Praxis Weil man in der Praxis  z[n]  nicht für beliebig große  n  berechnen kann, legt man eine bestimmte Berechnungstiefe fest, z.B. n=200 d.h wenn der Punkt Z[0] nach 200 Schritten einen Kreis um (0/0) mit dem Radius 2 noch nicht verlassen hat, gehen wir davon aus, dass er auf einen Attraktor innerhalb dieses Kreises zuläuft (oder anders ausgedrückt, dass die zugehörige komplexe Zahlenfolge konvergiert.) Beachte: Auf diese Weise können wir nur Punkte untersuchen, deren Abstand vom Nullpunkt zu Beginn nicht größer als 2 ist.

Juliamengen Für jede Juliamenge ist ein c-Wert vorgegeben (seed-value). Nun werden alle Punkte der Zahlebene innerhalb eines gewählten Quadrats als z[0] eingesetzt. Konvergiert obige Zahlenfolge z[0], z[1], z[2],…so wird der Punkt Z[0]=(x/y) schwarz gefärbt. Divergiert die Zahlenfolge, so wird je nach Geschwindigkeit der Divergenz der Punkt Z[0]=(x/y) mit unterschiedlichen Farben markiert. Die Randlinie zwischen Konvergenzbereich und Divergenzbereich ist eine fraktale Kurve (laufend gebrochen, nirgends differenzierbar). Der fest gewählte c-Wert heißt deshalb seed-value, weil er die Form der Juliamenge entscheidend beeinflusst.

Tipp: Besonders schöne Juliamengen ergeben sich wenn der Punkt C vom Rand der Mandelbrotmenge (Apfelmännchen siehe nächste Folie) stammt. Beachte: Das gewählte Quadrat muss innerhalb eines Kreises mit dem Radius 2 um den Nullpunkt liegen (siehe unter 5. und Bildchen unten) Von dem gewählten Quadrat muss die linke untere Ecke (xmin/ymin) und die Kantenlänge angegeben werden 2 -2 2i -2i

Die Mandelbrotmenge (Apfelmännchen) Im Gegensatz zur Juliamenge werden jetzt alle Punkte der Zahlenebene (innerhalb eines gewählten Quadrats) als C=(a/b) eingesetzt. Für jedes so eingesetzte c lässt man die Zahlenfolge bei z[0] = 0 +0*i beginnen. Konvergiert die Zahlenfolge, so wird der Punkt C=(a/b) schwarz gefärbt. Divergiert die Zahlenfolge, so wird der Punkt C je nach der Geschwindigkeit der Divergenz unterschiedlich gefärbt. Die Randkurve zwischen Konvergenz und Divergenzbereich ist eine fraktale Kurve. In dem kleinen Bildchen siehst du zur Orientierung die Ausdehnung des Apfelmännchens Mandelbrotmenge (Apfelmännchen)

Beachte: Sämtliche Punkte auf der fraktalen Randkurve sind „Scheidepunkte“. Sehr kleine Verschiebungen in der Nähe dieser Kurve Können sehr große Änderungen im Ergebnis bewirken Schmetterlingseffekt. Alle erhaltenen Figuren sind selbstähnlich. Experimente können mit folgendem Applet gut durchgeführt werden: http://math.bu.edu/DYSYS/applets/JuliaIteration.html Dieses Bild ist mit einer Animation verlinkt