Vier/Fünf-Farben-Satz Gliederung: 1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 2. Induktionsbeweis 3. Fünf-Farben-Satz 3.1 Graphendefinition 3.2 Vorbereitung 3.3 Beweis

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 1842 erste Vermutung durch Francis Guthrie 1879 erster „Beweis“ durch Alfred Kempe, 11 Jahre später wurde dieser wiederlegt 1890 fehlerfreier Beweis für den Fünf-Farben-Satz durch Percy Heawood Die erste „Beweise“ lieferten die Grundlage für den späteren Endbeweis.

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes 1977 erster fehlerfreie Beweis durch Ken Appel und Wolfgang Haken (Computerbeweis!) Erstes großes mathematisches Problem, welches mit Hilfe eines Computers gelöst wurde. Von einigen Mathematikern nicht anerkannt!

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 1. Geschichte des Vier-Farben-Satzes „Ein guter Beweis liest sich wie ein Gedicht, dieser sieht aus wie ein Telefonbuch!“

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Vermutung: Eine bestimmte Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen 5.Peano-Axiom (Induktionsaxiom): „Ist K eine Teilmenge von N mit den Eigenschaften, dass 0 (bzw. 1) in K liegt und für jedes Element k von K auch k+1 in K liegt, dann ist k gleich N.“

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsanfang: Überprüfen der Gültigkeit für n=0 (n=1) Induktionsannahme: Aussage gilt für n=k Induktionsschritt: folgt aus der Annahme, dass die Aussage ebenfalls für n=k+1 gilt, dann gilt sie für alle

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Beispiel: Gaußsche Summenformel Behauptung:

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsanfang: Gilt die Gaußsche Summenformel für n=1? Induktionsannahme: Gaußsche Summenformel gilt für n=k

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Induktionsschritt: Folgt aus der Induktionsannahme das die Summenformel auch für n=k+1 gilt?

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“ Aus der Induktionsannahme folgt:

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 2. Induktionsbeweis ... oder „der Schluss von n auf n+1“

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.1 Graphendefinition Paar der endlichen Mengen E und V V: Menge der im Graph enthaltenen Knoten E: Menge der Kanten des Graphen Es gilt: und Planarer Graph: Graph, der sich in der Ebene darstellen lässt, ohne dass sich die Kanten schneiden

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.2 Vorbereitung Umformulierung des Problems: - Karte wird als Graph betrachtet. - Ecken sind Länder, - Kanten sind zwischen den Ecken zweier benachbarter Länder

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.2 Vorbereitung Eulersche Polyederformel: ebener Graph mit e Ecken hat höchstens 3e-6 Kanten

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.2 Vorbereitung Durchschnittsgrad: durchschnittliche Anzahl der Kanten an einer Ecke d<6  mindestens eine Ecke mit 5 oder weniger Kanten

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.3 Beweis G sei ein ebener Graph mit e > 5 Nachbarecken G enthält v mit Ecken Es sei G’ = G ohne v und ohne die an v angrenzenden Kanten G’ ebener Graph mit e-1 Ecken (nach Induktionsvoraussetzung fünffärbbar) G’ sei fünfgefärbt

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.3 Beweis Fall1: an v angrenzende Kanten v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt Fall 2: an v angrenzende Kanten =5 Fall 2a: an v angrenzende Ecken in weniger als 5 verschiedenen Farben gefärbt. v wird in einer bei den Nachbarn nicht verwendeten Farbe gefärbt Fall 2b: an v angrenzende Ecken in 5 verschiedenen Farben gefärbt

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.3 Beweis Fall 2b Umfärben: Wir betrachten: r und b Versuch r blau zu färben um v rot zu färben blaue an r grenzende Ecken werden rot gefärbt. Rote an diese Ecken werden blau gefärbt usw.

1.Geschichte 2.Induktion 3.Fünf-Farben-Satz 3.3 Beweis Rot-Blau-Weg: wenn b mit r über den rot-blau-weg verbunden ist, ist das Umfärben hoffnungslos Orange-Grün-Weg vorhanden??  fünffärbbar

Vielen Dank für Ihre/Eure Aufmerksamkeit!

Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ebener_Graph http://de.wikipedia.org/wiki/Graph_%28Graphentheorie%29 http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=568 http://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Peano-Axiome http://de.wikipedia.org/wiki/Induktionsbeweis#Die_Idee