Funktionen Johannes-Kepler-Gymnasium Plenum Funktionen Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

Lernangebot Heute im Angebot Einblicke in die Welt der Funktionen aus der Sicht eines Mathematikers. Praktische Übungen zum Erkennen von Funktionen. Potenzfunktionen im Doppelpack. Erläuterungen für die Schüler: Heute bekommt Ihr einen wichtigen Einblick in die Beschreibung mathematischer Funktionen. Wir haben dazu auch Übungen für das heutige Plenum geplant. Als Spezialfall besprechen wir dann noch die Potenzfunktionen.

Funktionen sind Zuordnungen Zuordnungen sind ein Mittel, um Ordnung zu schaffen. Man kann alles jedem zuordnen, also z.B. jedem Kind sein Lieblingskuscheltier, jedem Schüler seine Schuhgröße, jedem Topf seinen Deckel, ... Dabei ist klar: Mathematik kann vieles behandeln, aber nicht alles. Mathematiker interessieren sich vor allem für Zuordnungen von Zahlen zu Zahlen. Erläuterungen für die Schüler: Zuordnen ist Sortieren und Ordnung schaffen nach einem bestimmten Plan. Folie erläutern... Mathematiker tun das (unter anderem!) am liebsten mit Zahlen. Hinweis für den Lehrer: Auf die Überschrift eingehen: Funktionen sind ganz spezielle Zuordnungen mit bestimmten Eigenschaften.

Definitions- und Wertemenge Elementen der Definitionsmenge D werden immer Elemente der Wertemenge W zugeordnet: Erläuterungen für die Schüler: Wir müssen uns zuerst noch die gebräuchlichen Mathematikvokabeln merken. Folie erläutern... Für die Elemente aus D verwendet man üblicherweise die Variable x und für die Elemente aus W üblicherweise die Variable y.

Input-Output-Maschine Begriff der Funktion Input-Output-Maschine Input-Output-Maschine Was also ist eine Funktion? Unter einer Funktion kann man sich eine Input-Output-Maschine vorstellen. Sie nimmt ein Ding als Eingabe entgegen und gibt daraufhin ein Ding aus. Und das macht sie nach einer genauen (eindeutigen) Vorschrift - Erläuterungen für die Schüler: Jetzt konzentrieren wir uns auf den Begriff der mathematischen Funktion. Eine Funktion ist wie eine Maschine, die jedes Mal wieder auf bestimmte Befehle hin nach einer eindeutigen Vorschrift reagiert. Das Wort eindeutig bedeutet, dass diese Funktionsmaschine bei der gleichen Eingabe gezwungen ist, exakt genau eine Sache zu tun, und jedes Mal auch noch das Gleiche. Sie kann also auf keinen Fall zwei verschiedene Ergebnisse präsentieren. Hinweis für den Lehrer: Maschine vorführen., dabei zeigen, dass die selbe Eingabe immer die selbe Ausgabe zur Folge hat. gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben!

Darstellung von Funktionen x y Wertetabelle Funktionsvorschrift x y 1 2 1,5 3,25 5 Graphische Darstellung Erläuterungen für die Schüler: Wir kennen verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen. Der Funktionsterm lässt schon einiges erkennen. Hier sehen wir sofort: es handelt sich jedenfalls auf keinen Fall um eine Gerade. Eine Tabelle kann natürlich in diesem Fall nur unvollständig bleiben, bietet aber jetzt die Möglichkeit den Graphen zu zeichnen. In dieser grafischen Darstellung ist sehr deutlich der Definitionsbereich und der Wertebereich zu erkennen. Hinweis für den Lehrer: Auf das Einbahnstraßenschild hinweisen. Auf die Richtung der Pfeile hinweisen. Auf die Schreibweise des Definitionsbereiches hinweisen.

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 1 -5 3 5 4 -2 6 2 -4 -3 7 Hinweis für den Lehrer: Es werden 6 bis 8 Schüler nach vorn gebeten: „Ich zeige euch gleich verschiedene Beispiele von Zuordnungen. Wer fühlt sich sicher, unter den Zuordnungen die Funktionen zu identifizieren?“ (evtl. ganz kurz einen Blick auf die Tabelle werfen lassen) Die Schüler sollen sich bei jedem Bild innerhalb von ½ Minute je nach ihrer Entscheidung nach rechts oder nach links einordnen (dabei den Blick auf die Präsentation frei lassen) Dann wird jeweils die Auflösung gezeigt. Ja Nein

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 1 -5 3 5 4 -2 6 2 -4 -3 7 Ja Nein

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Ja Nein

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y -6 9 6 7 3 4 2 5 1 Ja Nein

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Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Ja Nein

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Ja Nein

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 3 4 1 7 -5 2 5 -6 8 -2 9 Nein Ja

Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion? x y 3 4 1 7 -5 2 5 -6 8 -2 9 Nein Ja

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Ja Nein

Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Das Spiel Handelt es sich um den Graphen einer Funktion? Ja Nein

Potenzfunktionen x2 x3 x4 x5 x6 x7 Wir haben uns bis jetzt ausführlich mit linearen Funktionen beschäftigt. Als nächstes wollen wir die Potenzfunktionen aus der Nähe betrachten! Wie sehen die Graphen dieser Funktionen aus? Dem Mathematiker fällt sofort wieder auf, dass er hier aufräumen kann: Es scheinen zwei Arten von Graphen zu sein (erneut zeigen). Wenn man auf den Exponenten achtet ( wieder eine neue Vokabel), dann fällt einem das Schema sofort auf. Hinweis auf die Begriffe Potenzen von x bzw. natürliche Zahlen als Exponenten. x2 x3 x4 x5 x6 x7

Wir schaffen Ordnung Potenzfunktionen mit geraden Exponenten mit ungeraden Exponenten x x3 x5 x7 x2 x4 x6 Erläuterungen für die Schüler Hier sind jetzt die Unterschiede, aber auch die Gemeinsamkeiten zu sehen. Alle Potenzfunktionen mit geradem Exponenten auf dem linken Bild sind symmetrisch zur y-Achse, sie sind alle nach oben geöffnet. Alle Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten (Bild links) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Es gibt auch noch jeweils gemeinsame Punkte. Hinweis für den Lehrer: Hinweis auf weitere Exponenten

Pimp your Parabel f(x)=ax2 Erläuterungen für die Schüler Jetzt nehmen wir uns mal die Potenzfunktion vom Grad 2 vor. Das heißt, wir haben den Exponenten 2. Der Graph ist also eine Parabel. f(x) = x2 beschreibt die Normalparabel. Wem das zu normal ist, der kann sie sich noch etwas „aufpeppen“...

Streng monoton runter und rauf Erläuterungen für die Schüler Bei den Graphen der Potenzfunktionen ist uns zuerst der typische Verlauf, dann die Form und zuletzt noch die Symmetrie aufgefallen. Mathematiker verwenden noch andere Eigenschaften zur näheren Beschreibung, nämlich sogenannte Monotonieeigenschaften. Dieser Ausdruck ist umgangssprachlich bekannt, hier ist aber etwas anderes gemeint. Hinweis für den Lehrer: Die Bereiche jeweils auf der x-Achse deutlich zeigen.

Streng monoton rauf und runter

Die drei Fragen Die drei Fragen Was versteht ein Mathematiker unter dem Begriff „Funktion“? Kenne ich Beispiele für Zuordnungen, die keine Funktionen sind? Was für Eigenschaften haben Potenzfunktionen? Erläuterungen für die Schüler Diese drei Fragen solltet Ihr nach dem heutigen Plenum sicher beantworten können.

(Umkehrfunktion: siehe LS11 Seite 88 oben) Aufgabenblatt: A 4 Stunde 1 2 BASIC´s Aufgabenblatt: A 1 LS11 Seite 86: A3 a Seite 86: A 2 LS11 Seite 89: A 3 a, c A 8 a TOP´s LS11 Seite 86: A 7 Aufgabenblatt: A 2 LS11 Seite 89: A 4 a A 6 Aufgabenblatt: A 3 (Umkehrfunktion: siehe LS11 Seite 88 oben) Aufgabenblatt: A 4 Erläuterungen für die Schüler: Wie Ihr seht, bedeutet die Bearbeitung der Rabenaufgabe diesmal, dass Ihr Euch selbst mit Hilfe des Schulbuchs in ein Thema einarbeitet.