Warteschlangen Modelle Marie-Therese Stumberger Bettina Totz

Dynamik von Warteschlangen Eins der besten Beispiele: Disney World Konstruktion, Kapazitäts- und Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling)

Warum sich Warteschlangen bilden Warten auf Bedienung Menschen, Maschinen, Verkaufsaufträge Momentane Unausgeglichenheit zwischen Nachfrage und Kapazität

Beispiel (Bank) 15 Kunden kommen in einer Stunde an 20 Kunden können bedient werden Mittlere Bedienrate > mittlere Ankunftsrate => trotzdem Warteschlange

Struktur von Warteschlangen-Problemen Input – Customer Population Warteschlange von Kunden Bedieneinrichtung Prioritätsregel

Bediensystem Customer population Warteschlange Bediente Kunden Prioritäts-regel Bedien-einrichtung Bediente Kunden Bediensystem

Customer Population Quelle für den Input des Bediensystems Endliche Inputquelle Unendliche Inputquelle Geduldige/ungeduldige Kunden

Das Bediensystem Anzahl der Bedienungskanäle Bedieneinrichtungen Mehrere Schlangen Einzelne Schlange

Ausstattung der Bedieneinrichtung Personal, Betriebsmittel Optimale Ausstattung Abhängig von Kundenanzahl und der Art der angebotenen Leistung Einzelner oder mehrere Arbeitsschritte

Prioritätsregel FCFS – First come, first serve SPT – shortest expected processing time EDD – earliest promised due date Prä-emptiv

Verwendung von Warteschlangen-Modellen zur Analyse von Arbeitsabläufen (operations) Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kosten Kosten durch das Nichtverbessern

Betriebseigenschaften des Systems Schlangenlänge Anzahl der Kunden im System Wartezeit Gesamte Zeit im System Nutzung der Bedieneinrichtung

Wahrscheinlichkeits-verteilungen Ankunftszeiten folgen oft einer Poissonverteilung: Erwartungswert u. Varianz sind λT für n=0,1,2,…

Beispiel (Kundenbüro) Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden kommen? Ankunftsrate: λ=2 Zeitperiode: T=1 Anzahl der Kunden: n=4

Ankunftszeiten – Poissonprozess => Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt

Bedienzeiten oft exponentialverteilt Mittlere Bedienzeit: Varianz:

Dichtefunktion der Exponentialverteilung λ=2 λ=1 λ=0,5 Dichtefunktion der Exponentialverteilung λ=2 λ=1 λ=0,5 Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung

Beispiel (Kundenbüro) Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat? Bedienrate: μ=3 Zeitperiode: T=1/6

Gedächtnislosigkeit A/B/s M/M/s (memoryless)

Single-Server Model (M/M/1) Customer Population unendlich Kunden geduldig Ankunft poissonverteilt Bedienzeiten exponentialverteilt FCFS Warteschlange unbeschränkt

Operative Eigenschaften Auslastung des Systems Ws., dass n Kunden im System sind ( ) mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Zeit im System mittlere Wartezeit

Beispiel (Supermarkt) Eigene Kassa für Senioren 30 Kunden/Stunde bezahlen 35 Kunden bedienen

Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt. Im Schnitt sind 6 Senioren im System. Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre Bedienung. Im Schnitt verbringen die Kunden 12 Minuten im System. Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.

Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind?

Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System sind? mit

Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt?

Multiple-Server Model (M/M/s) Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer frei ist Ein Arbeitsschritt Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 Zusätzlich: Bedienungskanäle identisch

Operative Eigenschaften Auslastung des Systems Ws., dass kein Kunde im System ist für Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden im System sind für

mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System mittlere Anzahl an Kunden im System

Beispiel (Verladestation) 4 Ablade-Stationen Pro Station ein Arbeitsteam - $30/h Verlust - $50/h 3 LKWs pro Stunde Team benötigt 1 Stunde fürs Ausladen

Wie hoch sind nun die stündlichen Kosten dieses Betriebs?

LKWs im System Lohnkosten $30∙s=$30∙4 = $120,00 Verlust der LKWs $50∙L=$50∙4,53 $226,50 Gesamte Kosten/Stunde $346,50

Finite-Source Model Gleiche Annahmen wie Single-Server außer: Customer Population endlich (N)

Operative Eigenschaften Ws., dass kein Kunde im System ist Auslastung des Systems mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange mittlere Anzahl an Kunden im System mittlere Wartezeit mittlere Zeit im System

Beispiel (Roboter) 10 Roboter in Betrieb Zeit zwischen Ausfälle: 200 Stunden Pro Stunde Ausfall Kosten von $30 10 Stunden für Reparatur Arbeiter bekommt $10/h

Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen? Ausfälle pro Stunde Roboter werden pro Stunde bedient oder 46,2%

Roboter in der Warteschlange Roboter im System Stunden Wartezeit Stunden im System

Lohnkosten $10∙8∙0,462 = $ 36,96 Verlust durch Ausfall $30∙8∙0,76 $182,40 Gesamte Kosten/Tag $219,36

Entscheidungsbereich des Managements Ankunftsrate Anzahl der Bedienungseinrichtungen Anzahl der Arbeitsschritte Anzahl der Bediener pro Bedieneinrichtung Effizienz der Bediener Prioritätsregel Anzahl der Warteschlangen