Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

Prozesskontrolle Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)? 27.10.2004 Prozesskontrolle

Zielsetzung der Prozesskontrolle Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“ Qualitätsverbesserung 27.10.2004 Prozesskontrolle

Shewhart-Karte 27.10.2004 Prozesskontrolle

Kontrollkarten Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“ Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu verstehen und (2) zu verbessern 27.10.2004 Prozesskontrolle

Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk (Verschiebe Trichter nach zk) 27.10.2004 Prozesskontrolle

Bedeutung der Kontrollkarten Anwendung heißt: Analyse (und Verstehen) des Prozesses oder Produktes Produktentstehung ist wichtiger als fertiges Produkt; Produktionsprozess umfasst common causes und special causes (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“) Einfache Technik 27.10.2004 Prozesskontrolle

Anwendung der Kontrollkarte Das Beantworten der zu lösenden Fragen gibt wichtige Einsichten: Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden? Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen? 27.10.2004 Prozesskontrolle

Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung 27.10.2004 Prozesskontrolle

Kontrollkarten bei Dienstleistungen Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung (Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc. 27.10.2004 Prozesskontrolle

Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion) Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden! 27.10.2004 Prozesskontrolle

Aufbau einer Kontrollkarte Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3s-Grenzen üblich (siehe unten) 27.10.2004 Prozesskontrolle

Verwendung einer Kontrollkarte In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5) Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk Eintragen in Kontrollkarten 27.10.2004 Prozesskontrolle

Beispiel: Mittelwerts-Karte nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall Ersetzen von m durch , s durch gibt 27.10.2004 Prozesskontrolle

Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts. Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle) Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt 27.10.2004 Prozesskontrolle

Mean chart S-chart Range chart n A3 A2 B3 B4 D3 D4 d2 2 2.659 1.880 0.000 3.267 1.128 3 1.954 1.023 2.568 2.575 1.693 4 1.628 0.729 2.266 2.282 2.059 5 1.427 0.577 2.089 2.115 2.326 6 1.287 0.483 0.030 1.970 2.004 2.534 7 1.182 0.419 0.118 1.882 0.076 1.924 2.704 8 1.099 1.373 0.185 1.815 0.136 1.864 2.847 9 1.032 0.337 0.239 1.761 0.184 1.816 2.970 10 0.975 0.308 0.284 1.716 0.223 1.777 3.078 11 0.927 0.285 0.321 1.679 0.256 1.744 3.173 12 0.886 0.266 0.354 1.646 0.283 1.717 3.258 13 0.850 0.249 0.382 1.618 0.307 3.336 14 0.817 0.235 0.406 1.594 0.328 1.672 3.407 15 0.789 0.428 1.572 0.347 1.653 3.472 16 0.763 0.212 0.448 1.552 0.363 1.637 3.532 17 0.739 0.203 0.466 1.534 0.378 1.622 3.588 18 0.718 0.194 0.482 1.518 0.391 1.608 3.640 19 0.698 0.187 0.497 1.503 0.403 1.597 3.689 20 0.680 0.180 0.510 1.490 0.414 1.586 3.735 27.10.2004 Prozesskontrolle

s-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen B3 und B4 aus der Tabelle 27.10.2004 Prozesskontrolle

R-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher Änderung an 27.10.2004 Prozesskontrolle

Bewertung von Kontrollkarten Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt) Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL: P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ... mit w = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen) 27.10.2004 Prozesskontrolle

ARL, mittlere Lauflänge ARL (average run length) ARL = E(RL) = 1/w 27.10.2004 Prozesskontrolle

Beispiel: Mittelwerts-Karte Prozess in Kontrolle mit m0 und s w = 1  P(LCL   UCL) = 0.0027 und ARL = 1/0.0027 = 370 Prozess außer Kontrolle: m = m0 + ds w = 1  P( 3  dn  Z  3  dn) 27.10.2004 Prozesskontrolle

Praxis der Kontrollkarten Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt Stichproben unter homogenen Bedingungen 27.10.2004 Prozesskontrolle

Kontrollkarten für Attribute p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten 27.10.2004 Prozesskontrolle

Variablen- vs. Attributkontrolle Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar (brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster 27.10.2004 Prozesskontrolle

Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3s-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2s-Grenze mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1s-Grenze mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL 27.10.2004 Prozesskontrolle

Warngrenzen: weitere Bedingungen mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1s-Grenze ("hugging") mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess) lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn") Zyklen, Trend 27.10.2004 Prozesskontrolle

Effekte der Warngrenzen Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner) Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner! 27.10.2004 Prozesskontrolle

Beispiel: Mittelwertskarte Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370 ARL(s) = 33.9 Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100 ARL(s) = 9 27.10.2004 Prozesskontrolle

Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben Aus Beobachtungen 1 bis 25: = 100.92 kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41 Aus Beobachtungen 1 bis 20: = 100.17 kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60 27.10.2004 Prozesskontrolle

Spezielle Kontrollkarten Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar Karte für individuelle Beobachtungen, LCL =  3 (MR-bar/1.128), UCL = … CUSUM-Karte EWMA-Karte (l: Glättungsparameter) EWMAi = l xi + (l -l) EWMAi-1 27.10.2004 Prozesskontrolle

EWMA- und CUSUM-Karten Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen Nachteil: komplizierter 27.10.2004 Prozesskontrolle

Neuere Entwicklungen Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika Kosten-optimale Kontrollkarten 27.10.2004 Prozesskontrolle

Prozessfähigkeit Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper specification limit) 27.10.2004 Prozesskontrolle

Prüfen der Prozessfähigkeit Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte 27.10.2004 Prozesskontrolle

Fähigkeitsindizes sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt. Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex Engl.: capability indices 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cp-Fähigkeitsindex Cp = (USL − LSL)/(6s) misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel Normalverteilte Qualitätsvariable wenn m = Tg, enthält der ±3s-Bereich 99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt wenn m = Tg Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist! 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cp und Anteil der Defekten Bereich Def.ppm 1.00 ±3s 2699.93 1.33 ±4s 63.37 1.67 ±5s 0.57 2.00 ±6s 0.002 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cp-Fähigkeitsindex: Forts. Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33! Schätzung von Cp: s wird durch s ersetzt Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel: Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) = 1.19. 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cpk-Fähigkeitsindex Cpk = Min {USL − m, m − LSL}/(3s) geschätzter Cpk: m und s werden durch x-bar und s ersetzt Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s) 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) = Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03 Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10. 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cpm-Fähigkeitsindex Cpm = (USL − LSL)/(6s*) mit (s*)2 = s 2 + (m − Tg)2 Es gilt Cpm = Cp /√[1 + (m − Tg)2/ s 2] je größer |m − Tg|, umso kleiner wird Cpm gegenüber Cp 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s*) mit (s*)2 = Si (xi − Tg)2/(n − 1), oder Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 + (x-bar − Tg)2]} 27.10.2004 Prozesskontrolle

Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04 Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15. 27.10.2004 Prozesskontrolle

CR-Fähigkeitsindex, Target-Z Fähigkeitsverhältnis (capability ratio) CR = 1/Cp Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt Target-Z: Maß für Abweichung zwischen m und Tg Target-Z = (Tg − m)/s 27.10.2004 Prozesskontrolle

CR-Fähigkeitsindex, Target-Z CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33); |Target-Z| < 0.5 (m muss innerhalb von s /2 von Tg liegen) 27.10.2004 Prozesskontrolle

CR und Target-Z: Beispiel CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) = (4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66 CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) = (0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25 27.10.2004 Prozesskontrolle

Six Sigma Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen: s so, dass LSL und USL mindestens 6s von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6s) m höchstens 1.5s von Tg (|m – Tg| < 1.5s) Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million! 27.10.2004 Prozesskontrolle

Six Sigma: Forts. Bei X ~ N(Tg + 1.5s, s 2) P(defektes Stück) = 1 – P(Tg−6s  X  Tg+6s) = 1 – P(-7.5  X  4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034 Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn m = Tg + 1.5s 27.10.2004 Prozesskontrolle

Fähigkeitsindizes in der Praxis Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes 27.10.2004 Prozesskontrolle

Normalverteilungsannahme Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel X ~ U(-1, 1), so dass m = 0, s = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87! Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt. 27.10.2004 Prozesskontrolle

Schätzung der Fähigkeitsindizes einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle: (n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für s (besser als s-bar!) x-barbar als Schätzer für m Voraussetzung: stabiler Prozess! 27.10.2004 Prozesskontrolle

Konfidenzintervall für Cpk Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]} n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk Voraussetzung: Normalverteilter Prozess 27.10.2004 Prozesskontrolle

Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL 27.10.2004 Prozesskontrolle

Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf): 5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf 27.10.2004 Prozesskontrolle