Finite Elemente Methoden bgFEM Pflichtwahlfach BuG/I HS09 Hermann Knoll

Tragwerkstypen Eindimensionaler Spannungszustand

Tragwerkstypen Zweidimensionaler Spannungszustand

Tragwerkstypen Dreidimensionaler Spannungszustand

Bedeutung der Symbole x, y, z Koordinaten u, v, w Verschiebungen x, y, gxy, ... Dehnungen x, y, z Normalspannungen xy, xz, yz Schubspannungen E Elastizitätsmodul G Torsionsmodul, Schubmodul

Zustandsgrössen Verschiebungsgrössen (u, v, ...) Verzerrungsgrössen Dehnungen (, , ...) Krümmungen Kraftgrössen (F, M, ...) Spannungen (, , m, ...)

Grundgleichungen Gleichgewichtsbedingungen kinematische Bedingungen (Verträglichkeit der Verzerrungen mit den Verschiebungsgrössen) Materialgesetz (z.B. Hooke'sches Gesetz) Randbedingungen: Auflager, äussere Lasten

Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe

Vorzeichendefinition der Spannungen Positive Spannungen zeigen an einem positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung. Das Schnittufer, dessen Normalvektor in die positive Koordinatenrichtung zeigt, heisst positives Schnittufer.

Verzerrung und Verschiebung Die Verzerrungen lassen sich aus den Verschiebungen durch Differenzieren ermitteln. Beim Stab gilt:

und bei der Scheibe

Scheibe e = L • u

Spannungen Fachwerkstab Scheibe

Verzerrungen Fachwerkstab Dehnung Scheibe Dehnungen

Hooke'sches Gesetz Fachwerkstab E = Eleasitzitästmodul Scheibe (isotropes Material) µ = Querdehnzahl

Materialgesetze Das Hooke'sche Gesetz ist ein Materialgesetz, welches im 1-dimensionalen Fall gültig ist. Im 2-dimsensionalen Fall gibt es verschiedene Verhältnisse, je nachdem, ob das Material isotrop oder anisotrop ist. Die vorgängigen Gleichungen gelten für isotrope Materialien. isotrop = in verschiedene Richtungen gleichförmig strukturiert

Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuell auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äusseren virtuellen Arbeit.

Virtuelle Verschiebung Eine virtuelle Verschiebung ist eine kleine, fiktive Verschiebung, die man zusätzlich zu den tatsächlichen Verschiebungen annimmt.

Virtuelle innere Arbeit im infinitesimalen Element Fachwerkstab

Virtuelle innere Arbeit Die virtuelle innere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen inneren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand aufgebracht würde.

Scheibe

Scheibe

Gleichgewichtsbedingung Virtuelle innere und virtuelle äussere Arbeit müssen gleich sein:

Arbeit Arbeit = Kraft x Weg W = F • s = s • F

Virtuelle äussere Arbeit Die virtuelle äussere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen äusseren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand zusätzlich zu den wirklichen Lasten auf das System aufgebracht würde.

Prinzip der virtuellen Kräfte Bringt man auf einen Körper infinitesimal kleine, virtuelle Kräfte (Spannungen) auf, so ist die äussere virtuelle Arbeit gleich der gesamten inneren virtuellen Arbeit.

Typischer Verlauf einer FE-Berechnung Vorlauf Festlegen des Modelltyps Erzeugen bzw. Einlesen der Geometrie der Struktur Bereitstellen der Materialdaten Vernetzen der Struktur

Typischer Verlauf einer FE-Berechnung Aufbau und Lösen des FE-Systems Berechnen der Elementsteifigkeitsbeziehungen Zusammenbau zur Systembeziehung Einarbeiten der Randbedingungen Lösen des Gleichungssystems Berechnen der unbekannten Verschiebungen

Typischer Verlauf einer FE-Berechnung Nachlauf Berechnen der Dehnungen und Spannungen in den Elementen Mitteln von Spannungsgrössen und graphische Darstellung Ergebnisauswertung