Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Operations Research Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013

Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konvex, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x²

Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konkav, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten über einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = -x²

Eine Konvexe Punktmenge Alle Punkte auf einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten liegen innerhalb der Zielmenge.

Lineare Optimierung (LO) Eine lineare Optimierungsaufgabe besteht aus einer Zielfunktion, die unter bestimmten Nebenbedingungen zu maxi- bzw. minimieren ist. Eine LO-Aufgabe kann entweder grafisch durch Schneiden der Nebenbedingungen oder mit dem Simplexverfahren gelöst werden. Bei der grafischen Lösung werden die Nebenbedingungen als Geraden dargestellt.

Beispiel: Gewinnmaximierung Der Fabrikant Hugo V. stellt auf seinen Maschinen 2 verschiedene Stoffe her (Umrüstzeiten sind zu vernachlässigen): Pro Minute können 8m Baumwolle oder 4m Seide auf Maschine 1 hergestellt werden. Auf der 2. Maschine könne höchstens 6m/ Minute Stoff bedruckt werden. Arbeiter Manfred verpackt 5m Baumwolle pro Minute und Arbeiter Herfried 3m Seide pro Minute. Der Gewinn je Meter Baumwolle beträgt € 9 und je Meter Seide € 14.

Ableiten der Gleichungen aus dem Text: Als Gerade: Maschine 1: Maschine 2: Manfred: Herfried: Nichtnegativbedingung: Zielfunktion:

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Die Nebenbedingung wird als Gerade konstruiert:

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Nebenbedingung

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Nebenbedingungen und :

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Bestimmung des Maximalen Gesamtgewinns durch Erstellung der Isogewinngeraden: Zielfunktion = 9X1 + 14X2  Maximum Die Ziefunktion wird nach X2 = kX1 + d umgeformt, damit das k ablesbar ist. d = 0, da die Gerade durch (0/0)  Ursprung geht. X2 = kX1 14X2 = -9X1 X2 = -9/14 X1 k ist als -9/14 erkennbar.

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Konstruktion der Isogewinngeraden mit der Steigung k = -9/14 durch den Ursprung: X2 X1

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Durch Parallelverschieben der Isogewinngeraden zum äußersten Punkt kommt man zum Punkt mit dem maximalen Gewinn:

Grafische Lösung einer LO-Aufgabe 4m Baumwolle und 2m Seide stellen das optimale Produktionsprogramm dar. Durch Einsetzen des Punktes in die Zielfunktion 9X1 + 14X2 ergibt sich der Gewinn für das optimale Produktionsprogramm mit €64 Der Bereich der zulässigen Lösungen bildet stets eine konvexe Punktmenge. (Schraffierter Bereich)

Rechnerische Lösung einer LO-Aufgabe nach dem Simplexverfahren Transformation der Ungleichungen in Gleichungen mithilfe von Schlupfvariablen: X1 + X2 + S1 = 8 X1 + X2 +S2 = 6 X1 +S3 = 5 X2 +S4 = 3 Nichtbasis= variablen Basisvariablen

Allgemeines zum Simplexverfahren Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV)

Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Maschine 1: x1 + 2x2 <= 8 Meter Maschine 2: x1 + x2 <= 6 Meter Manfred: x1 <= 5 Meter Herfried x2 <= 3 Meter Nichtnegativbedingung: x1 >= 0; x2 >= 0 Zielfunktion: Z(x1, x2) = 9 x1 + 14 x2 -> max.

Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Die rechte Seite (RHS) einer Restriktion (Nebenbedingung) darf nicht negativ sein. Einführung der Schlupfvariablen (Y1-4) Zielfunktion (F) ist mit (-1) multipliziert (optional).

Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Basisvariablen Basisvariablen Nichtbasis= variablen

Das Simplexverfahren Bestimmen der Pivotspalte Der erste kleinste Zielfunktionskoeffizient weist auf die Pivotspalte:

Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile Die Quote (Q) wird durch Division der rechten Seite (RHS) durch die Pivotspalte bestimmt (Zeilenweise).  RHS/Pivotspalte

Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile Die Zeile mit der niedrigsten positive Quote bildet die Pivotzeile (hier 3). Bei gleichen Werten wird die erste Schlupvariable durch die Pivotspalte dividiert(Y1/ Pivotspalte) . Das niedrigere Ergebnis weist auf die Pivotzeile. (S. 29 Studienbrief oben)

Das Simplexverfahren Bestimmung des Pivotelements Im Schnittpunkt der Pivotzeile und der Pivotspalte befindet sich das Pivotelement.

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Da X2 den maximal möglichen Wert 3 annehmen soll, kommt X2 in die Basis und Y4 wird Nichtbasisvariable. Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 F Inhalt der Y4-Spalte

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Bestimmung der restlichen Elemente der Pivotzeile inkl. RHS. Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 F

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Neubrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement  0/1; 0/1; 0/1; 1/1; 3/1 Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 3 F

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Neuberechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) -9 – (0 x -14 : 1) Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 3 F -9

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Umrechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) 8 – (3 x 2 : 1) Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 2 1 3 F -9

Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Nach Berechnung der restlichen Werte ergibt sich das 2. Simplextableau mit dem Zielwert 42 Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 -2 2 -1 3 5 F -9 14 42

Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle Die Iterationsschritte werden solange fortgesetzt bis alle Werte der Zielzeile positiv sind, dann ist keine weitere Verbesserung des Zielwertes mehr möglich. Bestimmung des Pivotelements

Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle Pivotelement zur 4. Simplextabelle:

Das Simplexverfahren Berechnung der 4. Simplextabelle Erst mit der 4. Tabelle ist die Lösung mit Z = 64 erreicht: Bas Is Z Alle Nichtbasisvariablen in der Z-Zeile (hier F) haben einen positiven Koeffizienten  Optimalitätskriterium (Wurde eingangs nicht mit -1 multipliziert müssen alle Koeffizienten negativ sein)

Übungsaufgabe grafisch Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen, deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich das Material den Unterschied ausmacht. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe grafisch. Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

Lösung €400 x 160kg + €250 x 80kg = € 84.000.- Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano €400 x 160kg + €250 x 80kg = € 84.000.-

Übungsaufgabe Simplex Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich die Materialkosten den Unterschied ausmachen. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexverfahren. Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

Lösung Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

Lösung

Das Simplexverfahren Die Zweiphasenmethode Diese bisherige Form der Lösung eines Ungleichungssystems ist nur möglich wenn für alle Ungleichungen gilt. Kommen auch Bedingungen vor, so ist die Aufgabe nur mit der Zweiphasenmethode zu lösen.

Die Zweiphasenmethode Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit einer Restriktion (negative rechte Seite) I Z = 2X1 + X2 +2X3  max II 2X1 - X2 4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 III X1, X2, X3 0

Leitfaden zur Zweiphasenmethode Umformen Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen. Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k1 - …. kn.

Leitfaden zur Zweiphasenmethode Erste Phase Künstliche Variablen K gegen Null minimieren (Zk=-k1 … -kn;). Addition von Zk mit k-Restriktionen. Daraus entsteht eine neu Zielfunktion Zneu. Die neue Zielfunktion wird gemeinsam mit den Restriktionen nach der Umformung (Kanonische Form) in eine Simplextabelle übergeführt. Lösen des Simplexalgorithmus. Weglassen der Spalten mit einem k, Z sollte null sein.

Leitfaden zur Zweiphasenmethode Zweite Phase Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit der Zielfunktion aus der Angabe, ZOriginal. , harmonisiert. Elimination der Basisvariablen aus der Zielfunktion durch Subtraktion des x-fachen Wertes der Restriktionen, die diese Basisvariablen enthalten. Dadurch ergibt sich eine neue Zielzeile, Z2. Phase. Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit Z2. Phase in einem weiteren Simplextableau verbunden. Das Lösen des Simplexalgorithmus bringt das Ergebnis

Die Zweiphasenmethode Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: Umformen der in Bedingung zur Lösung! I Z = 2X1 + X2 +2X3  max II -2X1 + X2 -4 X2 + 2X3 15 X1 + X3 = 8 III X1, X2, X3 0  Negative rechte Seite nach Umformung

Die Zweiphasenmethode Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S (auch in der Zielfunktion). I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2  max II 2X1 - X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies): I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2  max II 2X1 - X2 -S1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0 Koeffizient -1 Kein S3

Die Zweiphasenmethode Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV). II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): Z = k1 + k2  min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max

Die Zweiphasenmethode Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. I `Z = - k1 – k2  max II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: I `Z = - k1 – k2  max II 2X1 - X2 -S1 +k1 = 4 X2 + 2X3 +S2 = 15 X1 + X3 +k2 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S2 0

Die Zweiphasenmethode Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 + Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. -1 2+1+0=3 0-1+0= 1+0+0=1 0+0+0=0 0+1-1=0 1+0-1=0 8+4+0=12 2 1 4 15 8 + `Z Zneu + +

Die Zweiphasenmethode Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet. Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der Addition dar. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. -1 3 1 12 2 4 15 8 `Z + Zneu + +

Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S1 ist keine Basisvariable. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 Ordnen der Basisvarialen: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8

Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 1 -0,5 0,5 2

Ausfüllen der restlichen Werte: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement): X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 15

2. Iteration: Z Z X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 - 15 7,5 Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 1

2. Iteration: Z Z X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 - 15 7,5 Bestimmen der restliche Werte: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z -1 1 -0,5 0,5 2 -2 3 6

Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen k, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z -1 1 -0,5 0,5 2 -2 3 6 Basisvariablen:

Die Zweiphasenmethode Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: Die ursprüngliche Zielfunktion Z = 2X1 + X2 + 2X3 soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X2)

Die Zweiphasenmethode Dies wird durch Elimination der Basisvariablen X1 und X3 aus der Zielfunktion erreicht.

Nebenrechnung: Subtraktion des 2-fachen der 1. wie des 2-fachen der 3. Zeile von der Zielzeile: |2x |2x Nebenrechnung X1 X2 X3 S1 S2 Z 2 1 - -1 4 12 -16 Neue Zielzeile:

Neues Starttableau: Ordnen nach Basisvarialen: Z Z X1 X2 X3 S1 S2 r.S. Quot. Z 1 -16 -0,5 2 -1 3 0,5 6 Ordnen nach Basisvarialen: X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot. Z 1 -16 -0,5 2 - -1 3 0,5 6 12

Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: Z Z X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot. Z 1 -16 -0,5 2 - -1 3 0,5 6 12 Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3: X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot. Z -1 -2 -28 8 3 1 2 12

Beispiel Übungsklausur zur Zweiphasenmethode: