Operations Research für Logistik Einführung in Matlab® (170. 202) Ao Operations Research für Logistik Einführung in Matlab® (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

Rahmenbedingungen Übungen: 80 % Anwesenheit (laut Anwesenheitsliste) Übungsaufgaben bis zur darauffolgenden Einheit selbstständig lösen Prüfung: schriftlich - 22. und 23. Juni 2010 und mündlich (28. Juni - 30. Juni 2010) sowohl schriftlicher als auch mündlicher Teil müssen für den erfolgreichen Abschluss der VU positiv sein

Inhalte Einführung in Matlab® Markovketten Warteschlangentheorie

Einführung in Matlab® I MATLAB® = „MATrix LABoratorium“ in Praxis Standardwerkzeug für technisch - wissenschaftliche Berechnungen bietet für numerische Aufgaben Lösungsmethoden und Methoden zur Visualisierung moderne Programmiersprache, in welcher eigene Anwendungen entwickelbar

Einführung in Matlab® II Erste Schritte in Matlab®: Matlab starten voreingestellte Oberfläche durch Desktop  Desktop Layout  Default wieder herstellbar durch Anklicken Fenster aktivierbar folgende Fenster stehen zur Verfügung: Command Window Command History Workspace Current Directory

Einführung in Matlab® III ( Alle Anwendungen in Matlab vorzeigen.)

Einführung in Matlab® IV Fenster durch Mausklick aktivieren >> …. Eingabe kann getätigt werden Beispiel: >>1+ 2 Eingabe mit return bestätigen Variable ans (answer) wird der Wert 3 zugewiesen Inhalte der anderen Fenster verändert

Einführung in Matlab® IV – Ergänzungen Workspace: verwendete Variable ans und einige ihrer Eigenschaften angezeigt alle im Verlauf der Sitzung verwendeten Variablen hier aufgelistet Command History: alle Eingaben des Command Window gespeichert mit Copy und Paste rückholbar oder ↑ Current Directory: unverändert

Einführung in Matlab® V Hilfe in Matlab® - 3 Möglichkeiten: 1. Help - Option in der ersten Menüzeile 2. direkte Hilfe 3. Fragezeichen

Einführung in Matlab® VI Strichpunkt: unterdrückt die Ausgabe elementare Funktionen: Beachte: Winkelfunktionen sowohl in Grad (z.B. sind) als auch in Bogenmaß (z.B. sin). NamederAusgabe = MatlabFunktionsname(Eingabewert) Funktion Mathematik MATLAB Arcustangens Exponentialfunktion Logarithmus naturalis Logarithmus (Basis 10) Logarithmus (Basis 2) arctan(x) ex ln(x) log10(x) log2(x) atan(x) exp(x) log(x)

Einführung in Matlab® VII diary: um Matlab® - Sitzung zu protokollieren diary Dateiname.m mit diary off abschließen save und load: um Variablen zu speichern und zurückzuholen

Einführung in Matlab® VIII Matrizen eingeben und ändern: wichtigste Datentyp in Matlab® (MATrix LABoratory) in eckigen Klammern zeilenweise Eingabe durch Leerzeichen oder Komma getrennt Zeilenende durch Strichpunkt angegeben

Einführung in Matlab® IX Variablen zuweisen: Matrixelemente überschreiben: weitere Operationen und spezielle Matrizen:

Einführung in Matlab® X einfache Befehle für Matrizen: transponieren einer Matrix, d.h. Zeilen werden zu Spalten und Spalten zu Zeilen mit ‘ Typ einer Matrix: Befehl size Zeilenanzahl einer Matrix: Befehl ZAnz weitere Befehle:

Einführung in Matlab® XI Rechnen mit Matrizen: können addiert, multipliziert, potenziert und mit einem Skalar multipliziert werden bei Addition: Typen der Matrizen müssen übereinstimmen addM1M2 = M1 + M2 bei Multiplikation: Spaltenzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix multM3M4 = M3 * M4 beim Potenzieren (mit einer natürlichen Zahl): Matrix muss quadratisch sein M1Quadrat = M1 ^ 2 M1mal2 = 2 * M1

Einführung in Matlab® XII A und C sind nicht vom gleichen Typ. Anpassung des Typs bei Addition einer Zahl zu Matrix. Spaltenanzahl von A ist ungleich der Zeilenanzahl von D.

Einführung in Matlab® XIII Punktoperationen: komponentenweise addieren komponentenweise quadrieren komponentenweise dividieren M = M1. * M2 M = M. ^2 M = 1. / M1

Einführung in Matlab® XIV Vektoren: sind spezielle Matrizen Zeilenvektor Spaltenvektor Spalten- oder Zeilenvektor kann nicht quadriert werden Skalarprodukt = Zeilenvektor * Spaltenvektor Länge eines Vektors

Einführung in Matlab® XV Funktionen darstellen: Bezeichner = Startwert : Schrittweite : Endwert;

Einführung in Matlab® XVI Darstellung komplexer Zahlen: imaginäre Einheit vordefiniert i als auch j als Bezeichnung verwendbar Realteil Rt: real (z1) und Imaginärteil It: imag (z1) Betrag Bet: abs (z1) und Phase Phi: angle(z1) bzw. atan2 (It,Rt) komplexe Zahl in algebraischer Form: Bet * exp (j * Phi) konjugiert komplexe Zahl: conj (z1) bzw. z1‘

Einführung in Matlab® XVII Rechnen mit komplexen Zahlen: + / - / * / : Ausgabe immer in algebraischer Form zur Verwendung von i und j: löschen mit clear i j Anfangszustand mit ans herstellen

Einführung in Matlab® XVIII Zahlenformate: File  Preferences  Command Window  Text display  Numeric format oder Numeric display Standardformat: format short format long Leerzeichen unterdrücken mit format compact und aufheben mit format loose

Matlab® für Fortgeschrittene I Wirkungsweise elementarer Funktionen: skalare Funktionen Vektorfunktionen elementare Matrixfunktionen

Matlab® für Fortgeschrittene II skalare Funktionen: A …beliebige Matrix vom Typ (m,n) mit Elemente aik f …skalare Funktion Matrix f(aik) ist vom Typ (m,n) alle Funktionen der Analysis: Potenz- und Wurzelfunktionen trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmen Funktionen zum Runden (floor, ceil, fix, round) Funktionen real, imag, abs und angle alle Punktoperationen log (0) nicht definiert Logarithmus einer negativen Zahl kann gebildet werden.

Matlab® für Fortgeschrittene III Vektorfunktionen: sum, prod, min, max, mean, median, std, sort, all, any Anwendung von sum auf einen Vektor Ergebnis ist stets eine Zahl, gleichgültig ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt Summe wird spaltenweise berechnet B ist daher ein Zeilenvektor Summe zeilenweise bilden transponierte Matrix berechnen Ergebnis ist stets ein Zeilenvektor

Matlab® für Fortgeschrittene IV Elementare Matrixfunktionen:

Matlab® für Fortgeschrittene V Polynome in Matlab®: durch Zeilenvektor mit n+1 Elementen dargestellt z.B. p3(x) = 2x3 + x + 4 Grundrechnungsarten: Beide Polynome müssen bei der Addition vom selben Typ sein. Polynomdivision mit Rest hat zwei Rückgabewerte q und r q …. ganzrationaler Anteil r …. echt gebrochener rationaler Anteil Multiplikation funktioniert nur mit dem Begriff conv.

Matlab® für Fortgeschrittene VI Koeffizienten bzw. Residuen a1 und a2 Nullstellen x1 und x2 Partialbruchzerlegung: Polynomwertberechnung: Nullstellenberechnung bzw. Polynombestimmung: Ableitungen: Nullstellenberechnung mit Befehl roots. Polynomwertberechnung z.B. p3 (2) mit polyval. Polynombestimmung z.B. mit Nullstellen x1 = 1, x2 = 1 und x3 = 1. Ableitung mit dem Befehl polyder.

Matlab® für Fortgeschrittene VII Interpolation und Regression: Polynominterpolation Splines Regression

Matlab® für Fortgeschrittene VIII Polynominterpolation: Polynom minimalen Grades mittels Befehl polyfit(x,y,n) x,y …. Messpaare aus Messreihe n …. Grad Erzeugung einer Messreihe (große Abweichungen zwischen dem Graphen des Polynoms und der Funktion)

Matlab® für Fortgeschrittene IX Splines: mittels Befehl spline definiert durch: x,y…Werte der Messpaare t…Stelle, an denen Spline später skizziert werden soll s…Rückgabegröße (Graphen der Funktion und Spline weichen nur wenig voneinander ab.)

Matlab® für Fortgeschrittene X Regression: mittels Funktion polyfit (x,y,Zahl) erzeugbar lineare Regression: mit polyfit (x,y,1)

Matlab® für Fortgeschrittene XI kubische Regression: mit polyfit (x,y,3)

Matlab® für Fortgeschrittene XII exponentielle Regression: durch Logarithmieren wird Problem linearisiert

Matlab® für Fortgeschrittene XIII Lineare Gleichungssysteme: Matrix A vom Typ(m,n) Inhomogenität b ist eine Matrix vom Typ(m,1) unbekannter Vektor x mit n Elementen lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten lineares Gleichungssystem lösbar, wenn Rang der Matrix A = Rang der erweiterten Matrix [A,b] = Anzahl der Unbekannten, d.h. Spaltenanzahl von A

Matlab® für Fortgeschrittene XIV Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: für eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme für NICHT eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme, da Spaltenanzahl nicht übereinstimmt

Matlab® für Fortgeschrittene XV Eigenwerte und Eigenvektoren: Berechnung der Diagonalmatrix Eigenwerte einer Matrix A berechenbar mit Befehl eig(A). Berechnung der Dreiecksmatrix

Matlab® für Fortgeschrittene XVI Rundungsfehler: Matlab ® ist ein Softwarepaket, dass numerisch arbeitet Rundungsfehler treten daher auf Details verwiesener Literatur entnehmen

Programmieren in Matlab® I Graphen erstellen: mittels Script Files Save and Run

Programmieren in Matlab® II spezielle Graphen: parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren) Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale) Ortskurve Zeigerdiagramme halblogarithmische Darstellungen Bodediagramme Balkendiagramme 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve, Sattelfläche und Höhenlinien

Programmieren in Matlab® III parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren):

Programmieren in Matlab® IV Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale):

Programmieren in Matlab® V Ortskurven:

Programmieren in Matlab® VI Zeigerdiagramme:

Programmieren in Matlab® VII halblogarithmische Darstellungen: bei Funktionen mit großem Wertebereich mittels Befehl semilog(x,y)

Programmieren in Matlab® VIII Bodediagramme:

Programmieren in Matlab® IX Balkendiagramme:

Programmieren in Matlab® X 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve

Programmieren in Matlab® XI 3 - dimensionale Diagramme: Sattelfläche

Programmieren in Matlab® XII 3 - dimensionale Diagramme: Höhenlinien

Programmieren in Matlab® XIII graphisch differenzieren:

Programmieren in Matlab® XIV graphisch integrieren:

Programmieren in Matlab® XV Lösen linearer Gleichungssysteme:

Programmieren in Matlab® XVI Erstellen bzw. Arbeiten mit Function Files: parameterabhängige Dateien Regelung von Input- und Outputgrößen notwendig function[Aus1,Aus2,….,Ausm]=Funktionsname(Ein1,Ein2,….,Einm)

Programmieren in Matlab® XVII Differentialgleichungen: erster Ordnung zweiter Ordnung Systeme von Differentialgleichungen Kontrollstrukturen: konditionale Verzweigungen Schleifen

Programmieren in Matlab® XVIII Numerische Lösung von Differentialgleichungen: erster Ordnung: Runge - Kutta - Verfahren

Programmieren in Matlab® XIX Numerische Lösung von Differentialgleichungen: zweiter Ordnung:

Programmieren in Matlab® XX Numerische Lösung von Differentialgleichungen: Systeme von Differentialgleichungen:

Programmieren in Matlab® XXI Zeichen Klartext < > < = > = == ~ = kleiner als größer als kleiner oder gleich größer oder gleich gleich ungleich Programmieren in Matlab® XXI Kontrollstrukturen: konditionale Verzweigungen: if Bedingung, Anweisungsteil end Anweisungsteil:= Anweisung; Anweisung; … Anweisung if Bedingung Anweisungsteil1 else Anweisungsteil2 end = … Zuweisung == … Vergleich in Matlab ® hat richtige Bedingung Wert 1, eine falsche Bedingung den Wert 0 bei Vergleich mit Zeichenketten ‘‘ verwenden und auf Groß- bzw. Kleinschreibung achten Operator Klartext & | ~ und oder nicht

Programmieren in Matlab® XXII Kontrollstrukturen: Schleifen: Laufanweisung: Laufvariable = Anfangswert:[Schrittweite]:Endwert for Laufanweisung, Anweisungsteil end bei Bestimmung der Anzahl der Schleifendurchgänge innerhalb des Programms: while Bedingung, Anweisungsteil end

Literaturhinweise zu Matlab® Grupp, Frieder und Florian(2004): Matlab ® 7 für Ingenieure – Grundlagen und Programmierbeispiele. 3., überarbeitete Auflage, München, Wien: Oldenbourg Verlag. ISBN: 3 - 486 - 27584 - 4. Schweizer, Wolfgang (2009): Matlab ® kompakt. 4.,aktualisierte und ergänzte Auflage, München: Oldenbourg Verlag. ISBN: 978 - 3 - 486 - 59193 - 4.

Übungen zu Matlab® I (siehe dazu Übungsunterlagen)

Operations Research für Logistik Markovketten (170. 202) Ao. Univ Operations Research für Logistik Markovketten (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

Beispiel 1) Wahlurne (nicht absorbierend) Angaben: 2 Parteien: MSM und GLH Wähler von GSM bleiben bei t+1 zu 80 % treu, wenn sie zum Zeitpunkt t diese Partei wählen Wähler von MSM bleiben nur zu 75 % treu Ausgangszustand laut letzter Wahl: 55 % MSM, 45 % GLH Aufgabenstellung: Speichern Sie die Übergangsmatrix A0, sowie die Ausgangsverteilung p0 als Variablen ab!

Beispiel 1) Wahlurne I

Beispiel 1) Wahlurne II Wieviele Stimmen haben die jeweiligen Parteien bei der nächsten Wahl? (A0*A0)= A1 A1*p0 Bzw. wieviele Stimmen haben diese bei der übernächsten Wahl?

Beispiel 1) Wahlurne III Probieren Sie mit verschiedenen Werten für x, ab welchem x sich die Übergangsmatrizen nicht mehr ändern. A^x

Beispiel 1) Wahlurne IV Lösung: Nach 20 Wahlgängen verändern sich die Stimmanteile der beiden Parteien nicht mehr. Welche Stimmanteile haben die beiden Parteien MSM und GSM nach 20 Wahlgängen? Berechnung von A^20 mit anschließender Multiplikation mit den Ausgangsverteilungen

Beispiel 1) Wahlurne V Berechnen der eingependelten Zustände ohne “Suchen” des Gleichgewichtszustandes: Man sucht jene π, für die gilt: π1= 0,75* π1 + 0,2* π2 π2= 0,25* π1 + 0,8* π2 Dann ersetzt man eine Gleichung mit: 1 = π1 + π2 Und erhält:

Beispiel 1) Wahlurne VI Dieses lineare Gleichungssystem kann man mittels Matlab® auf mehrere Arten lösen, z.B.: mittels der Funktion A\b mittels der Funktion rref() Aufgabenstellung: Versuchen Sie mittels dieser zwei Funktionen das zuvor angeführte Gleichungssystem zu lösen! Tipp: - Verwenden Sie die Matlabhilfe, um die zwei Funktionen anwenden zu können. - Achten Sie dabei auf die richtige Eingabe des Gleichungssystems!

Beispiel 1)Wahlurne VII Lösung mittels A\b:

Beispiel 1) Wahlurne VIII Lösung mittels rref():

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL Angaben: Es existieren 5 Zustände in der Karrierelaufbahn IL: untere Ebene (uE) – transient 0,8 zu uE, 0,15 zu mE, 0,05 zu AvhE (in %) mittlere Ebene (mE) – transient 0,7 zu mE, 0,2 zu hE, 0,1 zu AvhE (in %) höhere Ebene (hE) – transient 0,95 zu hE, 0,05 zu AvdS (in %) Abschied vor Erreichen der höheren Ebene (AvhE) Abschied von der höheren Ebene - (Spitze) (AvdS) beide Abschiede sind absorbierend

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL I 0,15 0,2 uE mE hE 0,8 0,7 0,95 0,1 0,05 0,05 AvhE AvhE

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL II Übergangs- matrix uE mE hE AvhE AvdS 0,8 0,15 0,05 0,7 0,2 0,1 0,95 1

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL III – Partitionieren der Übergangsmatrix uE mE hE AvhE AvdS 0,8 0,15 0,05 0,7 0,2 0,1 0,95 1 Q R

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL IV Aufgabenstellung: Wie lange befindet man sich in einem der transienten Zustände, wenn man in irgendeinem transienten Zusand startet bzw. wie oft könnte man erwarten, einen transienten Zustand zu erreichen, bevor man zu einem absorbierenden Zustand kommt? Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1). Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass man in einen absorbierenden Zustand kommt? Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1) * R.

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL V

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VI D.h. wenn jemand in der uE eintritt, bleibt er im Schnitt 5 Jahre in diesem Zustand. (In unserem Fall 5 Jahre, da 1 Schritt in einen anderen Zustand = 1 Jahr). Personen, die in der mE arbeiten, werden im Schnitt 13,33 Jahre in der hE verbringen.

Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VII Wenn man in der uE einsteigt, hat man eine 50 % Chance, in die hE aufzusteigen. Ist man bereits auf der mE, so erhöht sich diese Chance auf 2/3. Man scheidet mit einer Chance von 1/3 von der mE aus dem System aus, ohne die hE erreicht zu haben.

Hausübung 1) I Angaben : Eine Umfrage ergab, dass zum Zeitpunkt t = 0 40 Prozent der Hörer Sender A hörten und 60 % Sender B. Aus vorherigen Umfragen ist bekannt, dass die Hörer von Sender A mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % zu Sender B wechseln, während von Sender B 5 % zu Sender A wechseln (pro Woche). Aufgabenstellung: Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® :

Hausübung 1) II Wie hoch ist der Anteil der jeweiligen Hörer von Sender A und B zu den Zeitpunkten t = 1, t = 3 und t = 5? Wenn es eine Gesamthörerschaft von 500.000 Menschen gibt, wieviele Menschen hören in der Woche t = 9 den Sender B? c) Existiert für dieses System ein Gleichgewichtszustand? Wenn ja, wie lauten die Anteile von A und B bzw. nach wievielen Wochen wird dieser Zustand erreicht?

Hausübung 2) I Angabe: Eine Fertigungsmaschine produziert je nach Drehzahl eine unterschiedliche Menge von Produkten (Beobachtungsintervall = 1 Woche). Erfahrungswerte zeigen, dass wenn die Anlage mit 1000 U/min läuft, sie zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 in der nächsten Woche ausfällt. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 kann die Leistung von 1000 auf 1200 U/min gesteigert werden. Ausgehend von diesem Zustand, fällt sie jedoch zu 20 % aus. Fährt die Maschine mit 1200 U/min, fällt sie in der nächsten Woche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 wieder auf 1000 U/min zurück.

Hausübung 2) II Aufgabenstellung: Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : a) Wieviele Tage dauert es im Schnitt, bis die Anlage ausfällt, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 (Woche 0) im Zustand 1000 U/min produziert? b) Nehmen Sie an, die Anlage kann innerhalb einer Woche repariert werden und prodziert danach wieder mit Drehzahl 1000 U/min. Wie groß ist die Verfügbarkeit der Anlage? Hinweis: Je nach Aufgabenstellung ist der Zustand “Ausfall” einmal als absorbierd, einmal als nicht absorbierend anzunehmen.

Operations Research für Logistik Warteschlangentheorie (170. 202) Ao Operations Research für Logistik Warteschlangentheorie (170.202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010

Beispiel 1) Tankstelle I Angaben: PKW - Fahrer fahren zur Tankstelle um zu tanken, wenn ihr Tank zu ¼ voll ist. Die Tankstelle hat eine Zapfsäule. Es kommen durchschnittlich 6,3 Personen pro Stunde zur Tankstelle, wobei diese ihren Tank wieder zur Gänze auffüllen. Um einen PKW abzufertigen, vergehen durchschnittlich 4 Minuten. Die ZAZ (= Zwischenankunftszeiten) und die Bedienzeit sind exponentialverteilt anzunehmen.

Beispiel 1) Tankstelle II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wieviele Kunden befinden sich durchschnittlich im System und wie lange verbringt ein Kunde durchschnittlich darin? c) Die ÖMV prognostiziert Ölknappheit, was zu einer Veränderung des Systems führt. Die PKW - Fahrer fahren nun schon an die Zapfsäule, wenn sie bereits erst die Hälfte ihres vollen Tanks verbraucht haben. Da sie nun weniger tanken, sinkt die Bedienzeit auf 2 2/3 Minuten. Wie verändern sich dadurch die Größen L und W? 87

Beispiel 2) Kartenschalter I Angaben: Der Eingangsbereich einer Touristenattraktion verfügt über 2 Schalter. Im Durchschnitt betreten 4/3 Personen pro Minute den Bereich. Die durchschnittliche Bedienzeit beträgt 72 Sekunden. ZAZ und Bedienzeit sind exponential verteilt. 88

Beispiel 2) Kartenschalter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. Wie hoch ist der Bruchteil der Zeit, in der ein einzelner Schalter frei ist? Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde im System verbringt? d) Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl der Touristen im System? 89

Beispiel 3) Callcenter I Angaben: Ein Angestellter nimmt in einem Callcenter die Anrufe entgegen. Es rufen im Schnitt 35 Kunden pro Stunde an, wobei die Abfertigungsdauer bei durchschnittlich 320 Sekunden liegt (ZAZ und Bedienzeit sind exponentialverteilt). Ist die Warteschlangenkapazität von 11 Anrufern erschöpft, legen die neu hinzukommenden Kunden auf. 90

Beispiel 3) Callcenter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wie lange muss ein Anrufer im Schnitt in der Schleife warten und wie lange wartet er bis zur vollständigen Abfertigung seines Anrufs? 91

Beispiel 4) Fertigung I Angaben: In einer Fertigung befinden sich 3 Fertigungsstationen. Im Schnitt kommen von außerhalb des Systems 11 Teile bei der Station A, 16 Teile bei der Station B und 10 Teile bei der Station C an. Die Bedienraten lauten A = 15 Stk/h, B = 28 Stk/h und C = 36 Stk/h (ZAZ und Bedienraten sind exponentialverteilt). Ist ein Teil bei der Station A fertig, geht es zu 50 % aus dem System, der Rest geht weiter zu Station B. Von Station B aus gehen ¼ der Teile aus dem System, während ¾ zu Station C wandern. Von Station C aus gehen ¾ der Teile aus dem System, der Rest geht zu jeweils 50 % an die Stationen A und B. 92

Beispiel 4) Fertigung II Aufgabenstellung: a) Bestimmen Sie eine Kendall - Lee - Notation für dieses System. Welchen Bruchteil der Zeit ist die Station B frei? c) Wieviele Teile sind im Schnitt bei jeder Bedienstation (3 Antworten)? d) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teil im System verbringt? 93