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Näherungspolynome einer Funktion Intro Näherungspolynome einer Funktion In den praktischen Anwendungen besteht häufig der Wunsch, eine vorgegebene Funktion durch eine Polynomfunktion anzunähern bzw. zu ersetzen. Denn Polynomfunktionen besitzen bekanntlich besonders einfache und überschaubare Eigenschaften. Mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung lässt sich diese Aufgabe in vielen Fällen wie folgt lösen:

Wir entwickeln zunächst die Funktion in eine Mac Laurinsche Reihe:

Durch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das folgende Näherungspolynom n-ten Grades für (auch Mac Laurinsches Polynom genannt):

Die dabei vernachlässigten (unendlichen vielen) Glieder fassen wir zu einem Restglied zusammen:

Das Restglied erfasst somit alle Reihengleider der Entwicklung ab der (n+1)-Potenz. Die Funktion unterschiedet sich also von ihrem Näherungspolynom durch das Restglied . Daher gilt:

Diese Darstellungsform der Funktion als Summe aus einem Polynom n-ten Grades und einem Restglied wird allgemein als Taylorsche Formel bezeichnet. Taylorsche Formel Dabei bedeuten: Max Laurinsches Polynom vom Grade n Restglied

Die Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich durch Hinzunahme weiterer Glieder verbessern. Gleichzeitig verliert das Restglied an Bedeutung und wird vernachlässigbar klein. Das Restglied beschreibt den Fehler, den man begeht, wenn man die Funktion durch ihr Näherungspolynom ersetzt. Es ist in der Praxis jedoch unmöglich, den exakten Wert des Restgliedes zu bestimmen. Der durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene Fehler kann in der Regel nur abgeschätzt werden. Hier zu wird die folgende von Lagrange stammende Form des Restgliedes herangezogen:

Restglied nach Lagrange

Anmerkung: Neben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen des Restgliedes, z.B. die nach Cauchy und Euler benannten Formen.

Geometrische Deutung der Näherungspolynome: Das Restglied verschwindet stets für . Daher stimmen Funktionswert und Näherungspolynom an dieser Stelle in ihren Funktions- und Ableitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedes :

Wir deuten diese Gleichung geometrisch wie folgt: Die Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den Kurvenpunkt verlaufen, in dessen Umgebung die Reihenentwicklung vorgenommen wurde. Aus der zweiten Gleichung folgern wir speziell für :

Für n = 1: Die Kurve wird in der Umgebung von P näherungsweise durch ihren Kurventangente, d.h. durch die lineare Funktion ersetzt. Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer Funktion“.

Für n = 2: Die Kurve wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d. h Für n = 2: Die Kurve wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d.h. durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung angenähert. Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente und gleiche Kurvenkrümmung.

Anmerkungen: 1) Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von erhalten wir durch Abbruch der Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, die 2. Näherung durch Abbruch nach dem zweiten nicht-konstanten Glied usw..

Wird durch ein Polynom 1. Grades, d. h Wird durch ein Polynom 1. Grades, d.h. durch eine lineare Funktion angenähert, so sagt man, man habe die Funktion linearisiert. Geometrische Deutung: Die Kurve wird in der Umgebung der Stelle durch die dortige Kurventangente ersetzt.

Allgemein Gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umso besser, je mehr Reihenglieder berücksichtigt werden.

4) Alle Aussagen gelten sinngemäss auch für Taylorsche Reihenentwicklungen, d.h. Potenzreihenentwicklungen um ein (beliebiges) Entwicklungszentrum . Die Näherungsfunktionen heissen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ:

5) Eine Funktion ist unter dem folgenden Voraussetzungen in eine (unendliche) Mac Laurinsche Reihe entwickelbar: 1. ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes beliebig oft differenzierbar. 2. Das (Lagrangesche) Restglied verschwindet beim Grenzübergang d.h. es gilt:

Wir kommen wieder keine Frage!!!