7.1 Externes Suchen Bisherige Algorithmen: geeignet, wenn alle Daten im Hauptspeicher. Große Datenmengen: oft auf externen Speichermedien, z.B. Festplatte. Zugriff: immer gleich auf einen ganzen Block (eine Seite) von Daten, z.B: 4096 Bytes. Effizienz: Zahl der Seitenzugriffe klein halten!

Für externes Suchen: Variante von Suchbäumen mit: Knoten = Seite Vielwegsuchbäume!

Definition (Vielweg-Suchbaum) Der leere Baum ist ein Vielweg-Suchbaum mit der Schlüsselmenge {}. Seien T0, ..., Tn Vielweg-Suchbäume mit Schlüsseln aus einer gemeinsamen Schlüsselmenge S, und sei k1,...,kn eine Folge von Schlüsseln mit k1 < ...< kn. Dann ist die Folge T0 k1 T1 k2 T2 k3 .... kn Tn ein Vielweg-Suchbaum genau dann, wenn: für alle Schlüssel x aus T0 gilt: x < k1 für i=1,...,n-1, für alle Schlüssel x in Ti gilt: ki < x < ki+1, für alle Schlüssel x aus Tn gilt: kn < x .

B-Baum Definition 7.1.2 Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit folgenden Eigenschaften 1  #(Schlüssel in Wurzel)  2m und m  #(Schlüssel in Knoten)  2m für alle anderen Knoten. Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang. Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.

Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:

Abschätzungen zu B-Bäumen Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h: Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum 1 + (m+1) + (m+1)2 + .... + (m+1)h-1 =  ( (m+1)h – 1) / m. Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m Schlüssel. Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h: n  2 (m+1)h – 1 Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h  logm+1 ((n+1)/2) .

Beispiel Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h  logm+1 ((n+1)/2). Beispiel: Bei Seitengröße: 1 KByte und jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte, kann m=63 gewählt werden, und bei einer Datenmenge von n= 1000 000 folgt      h  log 64 500 000.5 < 4 und damit hmax = 3.

7.1 Externes Suchen Definition 7.1.2 Ein B-Baum der Ordnung m ist ein Vielweg-Suchbaum mit folgenden Eigenschaften 1  #(Schlüssel in Wurzel)  2m und m  #(Schlüssel in Knoten)  2m für alle anderen Knoten. Alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt sind gleichlang. Jeder innere Knoten mit s Schlüsseln hat genau s+1 Söhne.

Beispiel: Ein B-Baum der Ordnung 2:

Abschätzungen zu B-Bäumen Ein minimal gefüllter B-Baum der Ordnung m und Höhe h: Knotenzahl im linken wie im rechten Teilbaum 1 + (m+1) + (m+1)2 + .... + (m+1)h-1 =  ( (m+1)h – 1) / m. Die Wurzel hat einen Schlüssel, alle anderen Knoten haben m Schlüssel. Insgesamt: Schlüsselzahl n in einem B-Baum der Höhe h: n  2 (m+1)h – 1 Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h  logm+1 ((n+1)/2) .

Beispiel Also gilt für jeden B-Baum der Höhe h mit n Schlüsseln: h  logm+1 ((n+1)/2). Beispiel: Bei Seitengröße: 1 KByte und jeder Eintrag nebst Zeiger: 8 Byte, kann m=63 gewählt werden, und bei einer Datenmenge von n= 1000 000 folgt      h  log 64 500 000.5 < 4 und damit hmax = 3.

Algorithmen zum Einfügen und Löschen von Schlüsseln in B-Bäumen Algorithmus insert (root, x) //füge Schlüssel x in den Baum mit Wurzelknoten root ein suche nach x im Baum mit Wurzel root; wenn x nicht gefunden { sei p Blatt, an dem die Suche endete; füge x an der richtigen Position ein; wenn p nun 2m+1 Schlüssel {overflow(p)} }

Algorithmus Split (1) Algorithmus overflow (p) = split (p) Algorithmus split (p) Erster Fall: p hat einen Vater q. Zerlege den übervollen Knoten. Der mittlere Schlüssel wandert in den Vater. Anmerkung: das Splitting muss evtl. bis zur Wurzel wiederholt werden.

Algorithmus Split (2) Algorithmus split (p) Zweiter Fall: p ist die Wurzel. Zerlege den übervollen Knoten. Eröffne eine neue Ebene nach oben mit einer neuen Wurzel mit dem mittleren Schlüssel.

Algorithmus delete (root ,x) //entferne Schlüssel x aus dem Baum mit Wurzel root suche nach x im Baum mit Wurzel root; wenn x gefunden { wenn x in einem inneren Knoten liegt { vertausche x mit dem nächstgrößeren Schlüssel x' im Baum // wenn x in einem inneren Knoten liegt, gibt // es einen nächstgrößeren Schlüssel // im Baum, und dieser liegt in einem Blatt } sei p das Blatt, das x enthält; lösche x aus p; wenn p nicht die wurzel ist { wenn p m-1 Schlüssel hat {underflow (p)} } }

Algorithmus underflow (p) // behandle die Unterläufe des Knoten p wenn p einen Nachbarknoten hat mit s>m Knoten { balance (p,p') } anderenfalls // da p nicht die Wurzel sein kann, muss p Nachbarn mit m Schlüsseln haben { sei p' Nachbar mit m Schlüsseln; merge (p,p')}

Algorithmus balance (p, p') // balanciere Knoten p mit seinem Nachbarknoten p' (s > m , r = (m+s)/2 -m )

wenn ( q <> Wurzel) und (q hat m-1 Schlüssel) underflow (q) Algorithmus merge (p,p') // verschmelze Knoten p mit seinem Nachbarknoten Führe die folgende Operation durch: Anschließend: wenn ( q <>  Wurzel) und (q hat m-1 Schlüssel) underflow (q) anderenfalls (wenn (q= Wurzel) und (q leer)) {gib q frei und lasse root auf p^ zeigen}

Rekursion Wenn es bei underflow zu merge kommt, muss evtl. underflow eine Ebene höher wiederholt werden. Dies kann sich bis zur Wurzel fortsetzen.

Beispiel: B-Baum der Ordnung 2

Aufwand Sei m die Ordnung des B-Baums, n die Zahl der Schlüssel. Aufwand für Suchen, Einfügen, Entfernen: O(h) = O(logm+1 ((n+1)/2) ) = O(logm+1(n)).

Anmerkung: B-Bäume auch als interne Speicherstruktur zu gebrauchen: Besonders: B-Bäume der Ordnung 1 (dann nur 1 oder 2 Schlüssel pro Knoten – keine aufwändige Suche innerhalb von Knoten). Aufwand für Suchen, Einfügen, Löschen: O(log n).

Anmerkung: Speicherplatzausnutzung: über 50% Grund: die Bedingung: 1/2•k  #(Schlüssel in Knoten)  k Für Knoten  Wurzel (k=2m)

2/3•k  #(Schlüssel in Knoten)  k Noch höhere Speicherplatzausnutzung möglich, z.B. über 66% mit Bedingung: 2/3•k  #(Schlüssel in Knoten)  k für alle Knoten mit Ausnahme der Wurzel und ihrer Kinder. Erreichbar durch 1) modifiziertes Balancieren auch beim Einfügen und 2) split erst, wenn zwei Nachbarn ganz voll. Nachteil: Häufigere Reorganisation beim Einfügen und Löschen notwendig.