Praxis der Lebensversicherungs-mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr

Über mich 56 Jahre alt Mathematikstudium in Mainz Diplom 1983, Promotion 1988 Wissenschaftlicher Mitarbeiter der Uni Mainz von 1984 bis 1988 Ab 1988 Mitarbeiter der DBV Leiter der Produktentwicklung Leben/Rente Verantwortlicher Aktuar der winsecura Pensionskasse Zuletzt Abteilungsdirektor Zum 1.9.2011 mein Arbeitsverhältnis beim AXA- Konzern beendet 1999 erster Gaußpreisträger (damals Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer Praxis der Lebensversicherungmathematik TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr 2

Idee zu dieser Vorlesung Die Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich- keit in der weitaus meisten LVU Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind. Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist. Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw. Und Sie sollten damit umgehen können Praxis der Lebensversicherungmathematik 3 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Ideen zu den Übungen Die üblichen Rechenbeispiele Dabei an DAV-Sterbetafeln orientieren, soweit einfach zugänglich Schrittweiser Aufbau eines EXCEL-Modells, das Beitrags-, Deckungskapital- und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden Praxis der Lebensversicherungmathematik 4 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik Gesetzlicher Rahmen Grundlegende Versicherungsformen Praxis der Lebensversicherungmathematik 5 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Biometrische Rechnungsgrundlagen Erlebensfall/Todesfallcharakter Erstellung von Rechnungsgrundlagen Kommutationswerte Rentenbarwerte Leistungsbarwerte Weitere Rechnungsrundlagen Äquivalenzprinzip Praxis der Lebensversicherungmathematik 6 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Zillmerung Deckungskapital Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung Zillmerung Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Grundsätze der Gewinnzerlegung Überschussbeteiligung (grundsätzlich) Überschussermittlung Beteiligung der Versicherungsnehmer Praxis der Lebensversicherungmathematik 7 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Beitragsfreistellung Weitere Vertragsänderungen Kündigung Beitragsfreistellung Weitere Vertragsänderungen Erhöhungen, Herabsetzungen Was gibt es noch / Was fehlt? Ein paar Worte zur Rechnungslegung Profitabilität Was ist noch unklar? Round up / Ihre Kritik Praxis der Lebensversicherungmathematik 8 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Literatur (eine Auswahl) Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006 Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe- matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?) Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer Koller, Stochastische Modelle in der Lebens- versicherung, Springer Praxis der Lebensversicherungmathematik 9 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik Rechnungszins „i“ Begriff „Barwert“ „Rentenbarwert“ Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma- thematik Feste Buchstaben für gewisse Größen x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau ä, a Rentenbarwert vor- /nachschüssig A Leistungsbarwert Praxis der Lebensversicherungmathematik 10 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Praxis der Lebensversicherungmathematik Praxis der Lebensversicherungmathematik 11 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

VAG (Versicherungs- aufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu Gesetzlicher Rahmen Gesetze VAG (Versicherungs- aufsichtsGesetz VVG (VVertragsGesetz) Dazu z.B. Rechtsverordnungen DeckRV HGB Grundlegende Ver- sicherungsformen Personenversicherung KV (PK, PF) LV und RV RisikoV Kapitalbildende LV RV aufgeschoben RV sofort beginnend Dazu BU/EU + … + Exoten wie Aussteuer Praxis der Lebensversicherungmathematik 12 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags 1 Haupversicherung + zzgl Zusatzversicherungen Beitragszahlweisen: normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation Mögliche Zwen: EB, 1/1, ½, ¼, 1/12 Evtl. abgekürzt Optionen Bfreistellung, Rückkauf + evtl. weitere Andere Versicherungsformen Fondsgebundene, AILV Hinterbliebene Kapitalisation Verantwortlicher Aktuar §12a VAG Dauerhafte Erfüllbarkeit der Verpflichtungedn Testat DeckR in Bilanz Erläuterungsbericht, Vorschlag Übbeteiligung Praxis der Lebensversicherungmathematik 13 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Lebende Lebende Anwärter Biometrische Rechnungsgrundlagen Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung Beschreibung der Ausscheideordnung Einfache Version: Periodentafeln Für x=0 bis  qx = Wkeit eines x-Jährigen vor Vollendung des x+1- ten Lebensj. zu sterben Lebende Tote Ausscheideordnung Sterbetafel Reak-tivie-rungsWkeit Reaktivierte Lebende Anwärter Invaliditäts-Wahrscheinlk. Invali-den-Sterb-lichk. Invalide Aktiven-Sterbetafel Praxis der Lebensversicherungmathematik 14 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr Tote

Außer Sterbewkeit noch wichtig: Weitere Ausscheideord- nungen Invalidisierungswk Erwerbsunfähigkeit … Wkeit im Zeitpunkt des Todes verheiratet Wkeit im Alter x zu heiraten Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung = die, mit denen kalkuliert wird 2. Ordnung =tatsächlich beobachtete Probleme Gesundheitsprüfung, listenmäßige Annahme Versicherten-/ Arbeitnehmerkollektive Extreme Situationen „preferrred lives“ Medizinischer Fortschritt Praxis der Lebensversicherungmathematik 15 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Übungen Hier wird auch nur hier vorkommender Stoff behandelt das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was an der Tafel steht Hinweis Hiermit erhalten Sie das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung. Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten. Wichtig sind vor allem auch die Praxis der Lebensversicherungmathematik 16 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Erstellung von Sterbetafeln Erlebensfall/Todesf allcharakter Thema Unisex  Übungen Erstellung von Sterbetafeln Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion Erlebensfall/Todesf allcharakter Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg Praxis der Lebensversicherungmathematik 17 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Schritt 3: Vom Geburtsjahr abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten Bei Todesfallchar evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i Festgelegt in Deckrv ist nur der HöchstRz für die Reservierung Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts- Rendite öffentlicher Anleihen…) Praxis der Lebensversicherungmathematik 18 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter: x/y Alter Mann/Frau n Dauer, Vers.dauer t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschub- zeit i Rechnungszins v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 - v Praxis der Lebensversicherungmathematik 19 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

GRUNDSATZ der Kalkulation Es wird immer deter- ministisch nie stocha- stisch gerechnet. Um trotzdem brauch- bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson- dere Vorsicht (Zu- schläge) notwendig Praxis der Lebensversicherungmathematik 20 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen: Barwerte für A einmalige Todesfallleistung E einmalige Erlebensfallleistung a wiederkehrende Erlebensfallleistung dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy) Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t)) Praxis der Lebensversicherungmathematik 21 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die Grundregeln (Fortsetzung) Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab- weichende Zahlweise Links unten weitere Zeitparameter, dabei wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “ A a ä Praxis der Lebensversicherungmathematik 22 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Berechnung eines Rentenbarwertes: Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)] Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk) Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit) Weiterhin nützlich Praxis der Lebensversicherungmathematik 23 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Die lebenslängliche Variante wäre bei qx=0 ohne Biometrie Damit Die lebenslängliche Variante wäre bei qx=0 ohne Biometrie Praxis der Lebensversicherungmathematik 24 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Und da für gilt, wenn |v| < 1 ä= 1/(1-v) =1/d Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da somit Praxis der Lebensversicherungmathematik 25 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Berechne zu normiertem Startwert: Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders: Berechne zu normiertem Startwert: die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=k|px) Zwischenbemerk: Mittl zuk Leb.erwartg = Praxis der Lebensversicherungmathematik 26 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C Hieraus die Summen N und M der D und C Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen Praxis der Lebensversicherungmathematik 27 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Rentenbarwerte Dann ist Und So ergibt sich Praxis der Lebensversicherungmathematik 28 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Spezialfall x+n = , dann Dx+n = 0, damit äx – ax = 1 – 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (lx) des Alters x. Genau so hätte man dies auch über die Toten (dx) tun können vielleicht eine Spur umständlicher. Es gilt Praxis der Lebensversicherungmathematik 29 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Zuschlag bei Normal-geschäft Zuschlag bei Groß-geschäft Unterjährige Rentenzahlung Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet. Dieser muss (neuerdings) belegt werden. Üblich sind für den Zahlungsweisezuschlag sind Werte wie: Zahlungs-weise Zuschlag bei Normal-geschäft Zuschlag bei Groß-geschäft 1/ 2 2.0% 1.0% 1/4 3.0% 1/12 5.0% 2.5% Praxis der Lebensversicherungmathematik 30 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) Davon zu unterscheiden die Modifikation eines (natürlich zunächst für jährliche Zahlungs- weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem: Einfache und auch weit verbreitete Lösung: verwende als Korrektur Abzug in Höhe von (k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.) also z.B. Praxis der Lebensversicherungmathematik 31 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

Risikoversicherungen Leistungsbarwerte Risikoversicherungen A IA DA Kapitalbildende („gemischte“) Versicherung Rentenverscherung Aufgeschoben Sofort beginnend Mit Garantiezeit Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall Praxis der Lebensversicherungmathematik 32 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*B*z Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,… Abschlusskosten z Zillmersatz, in %o Bsumme, also t*B*z g lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten Praxis der Lebensversicherungmathematik 33 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr

 in % B „Inkassokosten“  in %o Vers.Summe während bpf Zeit Verwaltungskosten  in % B „Inkassokosten“  in %o Vers.Summe während bpf Zeit  in %o Vers.Summe während bfr Zeit Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr  in % Rente während Rentenbezug Weitere Zuschläge Stk Stückkosten in € pro Police  Bspsweise in % LBW Praxis der Lebensversicherungmathematik 34 TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr