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Crashkurs Versicherungsmathematik versicherungsmathematische Grundlagen und Zusammenhänge Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung Gewinnung von Rechnungsgrundlagen – Mit Beispielen zur Berufsunfähigkeitsversicherung Überschussbeteiligungen – Mit Rechenbeispielen zu Zinsüberschüssen Beitragskalkulation der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell Beitragsanpassungen in der Krankenversicherung – Mit Kalkulationsmodell zur Veränderung der Rechnungsgrundlagen Beitragsentwicklung und Maßnahmen zur Limitierung Grenzen der Kalkulationsverfahrens der Krankenversicherung Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung - Mit Beispielen zur Kapitallebens- und Rentenversicherung Finanzmathematische Grundlagen Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Prämienkalkulation Deckungsrückstellung Anwartschafts- und Kapitaldeckungsverfahren Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals S = Endwert eines Kapitals i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird r = 1 + i Aufzinsungsfaktor v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor Beispiel: Zins i = 5 % (= 0,05, da 1 % = 1/100), Anfangskapital P = 1000 Aufzinsungsfaktor r = 1 + i = 105 % (= 1,05) Endkapital nach einem Jahr S = (1 + i) * P = 1,05 * 1000 = 1050 Endkapital nach 2 Jahren: S = (1+i) * (1+i)*P = 1,052 * 1000 = 1,1025 * 1000 = 1102,50 Endkapital nach n Jahren: Sn = (1+i)n P = 1,05n * P; sprich: (1,05 hoch n) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen, im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung? 1.943 € b) € c) € Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492 zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat? 1.214 Cent b) Cent c) Cent Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen? a) 10 % b) 4,73 % c) 2,91 % Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute 7 % beträgt? a) 13,4 % b) 22,2 % c) 79,3 % Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Lösungen: Wie hoch ist Ihre Miete, wenn Sie heute als 30Jähriger 777 € monatlich zahlen, im Alter 80 bei 3 % jährlicher Mietsteigerung? b) 1,03 50 = 4,384; 4,384 * 777 Cent = € Wieviel Kapital liegt heute auf dem Postsparbuch von Kolumbus, wenn er 1492 zu 2 % Zins 100 Cent angelegt hat? b) 1, = ,76; 25309,76 * 100 Cent = Cent Wie hoch ist der Zinssatz, wenn sich 1000 Euro in 30 Jahren vervierfachen? b) 4,73 %, denn 1, = 4,00 Wenn ein PKV-Beitrag jährlich um 5 % steigt, das Einkommen um 3 %, wie hoch ist der PKV-Beitrag in Relation zum Einkommen in 60 Jahren, wenn diese Relation heute 7 % beträgt? b) 1,03 60 = 5,892; 1,05 60 = 18,679; (18,679 * 7 %) / (5,892 * 100 %) = 130,753 / 589,2 = 22,2 % Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen P = Barwert oder Anfangswert eines Kapitals S = Endwert eines Kapitals i = effektiver Zins, der in einem Jahr auf dem Kapital 1 realisiert wird v = 1 / (1+i) Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor Beispiel: Zins i = 3,5 % Endkapital S = 1000 Diskontierungsfaktor v = 1/(1 + i) = 1/1,035 = 0,966184 Barwert P des Endkapitals S in einem Jahr: P = v * S = 1000/1,035 = 966,18 Barwert P des Endkapital S in 2 Jahren: P = v * v * S = (1/1,035)2 * 1000 = 1/(1,035 2) * 1000 = 1/1, * 1000 = 933,51 (0,966184*0, = 0,933511) Barwert des Endkapital S in n Jahren: P0 = vn Sn = 1/(1,035n) * Sn Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Was ist mehr wert: 400 Euro sofort, 1000 Euro in 10 Jahren oder 2000 Euro in 20 Jahren? Bei einem Zins von 5 %? Bei einem Zins von 8 %? Bei einem Zins von 10 %? Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum gleichen Zeitpunkt. Z.B. heute: 1/1,05 10 * 1000 = 0,614 * 1000 = 614 1/1,05 20 * 2000 = 0,377 * 2000 = 754 1/1,08 10 * 1000 = 0,463 * 1000 = 463 1/1,08 20 * 2000 = 0,215 * 2000 = 430 1/1,10 10 * 1000 = 0,386 * 1000 = 386 1/1,10 20 * 2000 = 0,146 * 2000 = 292 1/1, * = 1,000 * = 400 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Periodische Zahlungen Renten, hier: jährlich vorschüssige oder jährlich nachschüssige Renten, jährlich gleich hohe Zahlungen (Jahresrenten), Zeitrente Bei unbegrenzter Dauer: „ewige Rente“ Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Periodische Zahlungen Aufgeschobene Zeitrente Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Periodische Zahlungen Aufgeschobene steigende Zeitrente, mit 10 % dynamisiert Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Beispiel: Was ist mehr wert: 7500 Euro sofort, 1000 Euro sofort beginnende jährlich nachschüssige Rente für 10 Jahre oder 2000 Euro 10 Jahre aufgeschobene jährlich nachschüssige Rente für 8 Jahre? – Bei einem Zins von 5 %? Lösung: Diskontierung auf den Barwert zum heutigen Zeitpunkt: 1000 * (1/1, /1, /1, /1, /1,05 10) = 1000 * (0, , , , , ) = 1000 * 7,722 = 7722 2000 * (1/1, /1, /1, /1, /1,0518) = 2000 * (0, , , , ,416 ) = * 3,968 = 7936 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Diskontierung einer Zeitrente auf den Barwert zum Beginn des ersten Jahres jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Barwert Gesamt = 7722 Entspricht dem Barwert einer Einmalzahlung von am Ende des 10. Jahres: Barwert: 1/1,0510 * = 0,614 * = 7722 Die beiden Barwerte bleiben auch dann gleich , wenn auf einen anderen (einheitlichen) Zeitpunkt diskontiert wird. Es ändert sich dadurch nur die absolute Höhe des Barwerts. Es ist auch gleichgültig, ob es sich um Renten, Prämien, Kapitalanlagen oder sonstige Zahlungen handelt. Beispiel: Diskontierung (bzw. Aufzinsung, Zinssatz 5 %) ) einer jährlich nachschüssigen Prämie von 1000 Euro über 10 Jahre auf das Ende des 10. Jahres: Barwert = (vgl. nachfolgende Grafik) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Aufzinsung einer Zeitrente auf den Barwert zum Ende des 10. Jahres Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1? a) diskontiert mit Zinssatz 50 % b) diskontiert mit Zinssatz 5 % c) diskontiert mit Zinssatz 1 % Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Beispiel: Was ist der Barwert einer jährlich nachschüssigen ewigen Rente der Höhe 1? a) 1,0 b) c) (kein Kapitalverzehr, nur Zins!) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – finanzmathematische Grundlagen Zins und Kapitalverzehr einer Zeitrente jährlich nachschüssige Renten der Höhe 1000 Euro, Zinssatz 5 %: Kapitalverzehr Gesamt = 7722, Zins Gesamt = 2278 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Beispiele: Welche Augenzahl ist bei einem Wurf mit einem Würfel wahrscheinlicher? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ? - Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel ist jeweils 1/6stel. Welche Gesamtaugenzahl ist bei 1000 (oder ) Würfen am „wahrscheinlichsten“? Wieviel Würfe werden benötigt, damit die durchschnittliche Augenzahl „fast sicher“ zwischen 3,48 und 3,52 liegt? Was heißt „fast sicher“?, was bedeutet es, dass der „Erwartungswert“ der durchschnittlichen Augensumme 3,5 ist? Welche Schlussfolgerung kann daraus gezogen werden, wenn auch nach sehr vielen Versuchen mit einem realen Würfel der Durchschnitt sich bei 3,4 einpendelt? Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Praxis der Versicherungsmathematik: Die Erwartungswerte selbst sind nicht bekannt Nutzung des „Gesetzes der großen Zahl“: je größer die Zahl der Versuche (der Versicherten, des „Kollektivs“, der Beobachtungsjahre etc.), desto näher liegen die Durchschnitte an den eigentlichen Erwartungswerten Die Beobachtungswerte (z. B. Anzahl Gestorbener in einem Jahr je 1000 Versicherte Männer im Alter 70 am Jahresbeginn) dient als Ausgangswert, um daraus eine durchschnittliche Zahl („rohe“ Sterbequote 70jährige Männer) zu ermitteln Erkannte statistische Schwankungen bzw. Extremwerte werden ausgeglichen, nach statistischen Grundsätzen eine gewisse Sicherheit hinzugefügt und damit „rechnungsmäßige“ Berechnungsgrundlagen für die Prämien gewonnen Dann erfolgt ein Übergang zum „Determinismus“: mit den gewonnenen Berechnungsgrundlagen wird so gerechnet, als ob diese genauso eintreten werden, die Zufälligkeit bleibt in den Prämienberechnungen meist unbeachtet. Beispiel: von 1000 zum Jahresbeginn versicherten 70jährigen Männern werden im nächsten Jahr 18,683 Promille, also 18,683 Personen sterben und am Jahresende noch 981,318 vorhanden sein, die im nächsten Jahr 71jährig sind .... Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Determinismus (von lateinisch: determinare abgrenzen, bestimmen) ist eine philosophische Denkrichtung, die davon ausgeht, alle Ereignisse liefen nach vorher festgelegten Gesetzen ab. Deterministen vertreten die Meinung, dass bei bekannten Naturgesetzen und bekanntem Anfangszustand der weitere Ablauf aller Ereignisse prinzipiell vorausberechenbar sei. Es gibt verschiedene Varianten des Determinismus, die mehr oder minder streng die Vorausberechenbarkeit aller Ereignisse vertreten. Auffassung, derzufolge ein Geschehen gesetzmäßig bestimmt abläuft. Die stillschweigende Anwendung des Determinismus ist Voraussetzung jeder Wissenschaft. Zufall Man spricht von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder nicht beabsichtigt auftritt. Umgangssprachlich bezeichnet man ein Ereignis auch als zufällig, wenn es nicht absehbar, vorhersagbar oder berechenbar ist. Zufälligkeit und Unberechenbarkeit oder Unvorhersehbarkeit sind jedoch nicht dasselbe. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Gegensatz: Kausalität: ein Ereignis wird von einem vorangegangenen bedingt. Für die Praxis liegt ein Zufall auch vor, wenn – auch aus subjektiver Sicht – keine ausreichenden Informationen bekannt waren – oder nicht ausgewertet werden konnten – um das Ereignis vorherzusagen. Beispiel 1: eine nicht erkennbare Infektion vor Reiseantritt führt während der Reise zwangsläufig zu einer – unvorhergesehenen - Krankheit, für die die Reisekranken- versicherung leistet. Beispiel 2: Der Versicherte reicht wie von Beginn an beabsichtigt alle drei Jahre eine Rechnung für eine neue Brille ein – so wie die Versicherungsbedingungen dies zulassen. Für den Versicherten ist dies kein Zufall, jedoch aus Sicht des Versicherers – er kann dies nicht vorhersehen. Die versicherungsmathematische Prämienberechnung arbeitet mit einer deterministischen Gesetzmäßigkeit – für Kollektive, nicht für Einzelne. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zufall, Wahrscheinlichkeit und Determinismus Worin liegt der Unterschied zwischen einem deutschen und einem sizilianischen Versicherungsmathematiker: Der deutsche Versicherungsmathematiker weiß, wieviele Versicherte jeden Alters im nächsten Jahr sterben werden, aber nicht, welche dies zufällig sind. Der sizilianische Versicherungsmathematiker kennt auch die Namen, die voraussichtlichen Todes- ursachen und –termine. Problematisch ist, wenn der Versicherte selbst den Eintritt eines Schadenereignisses bei Abschluss der Versicherung vorhersehen kann. Wenn Zeitpunkt des Schaden- eintritts und die Schadenhöhe exakt vorhersehbar sind, ist die Prämie zwar besonders gut berechenbar – determiniert - aber die Versicherung macht kaum mehr Sinn. Die Prämien wären nämlich etwa so hoch wie der Schaden, es liegt also nur ein „Geldwechselgeschäft“ oder ein „Sparvorgang“ vor. Manche Versicherungsprodukte haben jedoch solche Elemente. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Sterbetafeln x = Alter einer Person in Jahren lx = Lebende x-Jährige zu Beginn des Jahres dx = rechnungsmäßig Sterbende eines Jahres zwischen Alter x und x+1 qx = dx / lx Wahrscheinlichkeit eines x-Jährigen, zwischen Alter x und x+1 zu sterben, Sterbewahrscheinlichkeit (in Promille) - Mortalität Eine Sterbetafel ist eine Tabelle mit einer Sterbewahrscheinlichkeit qx zu jedem Alter x Beispiel: PKV-Sterbetafel 2004, Männer: Absterbeordnung lx l70 = , q70 = 12,711 0/00 = 0,012711, d70 = l71 = l70 – d70 = – = oder alternativ: l = (1 – qx) * l70 = 0, * = 1 – qx ist die Überlebenswahrscheinlichkeit Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Sterbetafeln: - Bevölkerungssterbetafeln (z. B. vom Statistischen Bundesamt veröffentlicht) - Versichertensterbetafeln (z. B. von der Deutschen Aktuarvereinigung veröffentlicht) Für die Kalkulation von Versicherungsprämien in der Lebens- und Krankenversicherung sind die besonderen Verhältnisse in Versichertenkollektiven relevant, die vom Geschlecht, der Tarifart, Bestandszusammensetzung, Risikoprüfung oder z. B. einer eingetretenen Invalidisierung (Invalidensterbetafeln) u. a. beeinflusst werden. Bei Versicherungen mit Todesfallcharakter (z. B. Risikolebensversicherung) wird sicherheitshalber mit erhöhten Sterblichkeiten (94T) gerechnet, bei Versicherungen mit Erlebensfallcharakter (Rentenversicherung und PKV) mit vorsichtshalber niedrigeren Sterbewahrscheinlichkeiten. Periodentafeln – wie PKV-Sterbetafel 2004 oder 94T – gehen in allen Altern von den Sterbewahrscheinlichkeiten des aktuellen Zeitraums – Periode – aus. Generationentafeln – wie 94R – basieren auf den hochgerechneten Sterblichkeiten einer Generation – z. B. Geburtsjahrgang 1955 – mit Anpassung für andere Generationen. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Entwicklung der Sterblichkeit Der langfristige Sterblichkeitstrend geht – teilweise sogar beschleunigt – zu niedrigeren Sterblichkeiten und damit verbundener längerer Lebenserwartung. In der Todesfall- und Kapitallebensversicherung führt dies zu Entlastungen, weil weniger Todesfalleistungen erbracht werden müssen. In der privaten Rentenversicherung wird der Sterblichkeitstrend bereits eingerechnet – durch Verwendung von Generationentafeln. Diese müssen jedoch auch angepasst werden, wenn der tatsächliche Trend den zunächst in den Tafeln berücksichtigten übertrifft – zuletzt von Sterbetafel 87R auf 94R und derzeit auf 2004R. In der privaten Krankenversicherung müssen die verwendeten Periodentafeln regelmäßig an den Trend angepasst werden, da die im Alter steigenden Leistungen für immer längere Zeit erbracht werden müssen. Durch die Möglichkeit der Beitragsanpassung muss nicht von vornherein so vorsichtig wie in der Rentenversicherung gerechnet werden. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Lebenserwartung Die durchschnittliche fernere Lebenserwartung eines x-Jährigen ist die durchschnittliche Anzahl von Jahren, die ein x-Jähriger noch lebt – hier aus der Absterbeordnung berechnet: ex = (lx + lx+1 + l x l) / lx - 0,5 bezeichnet das Endalter (z. B. 100 oder 103) Abzug von ½ Jahr, da Todeszeitpunkt durchschnittlich zur Jahresmitte Beispiel e90 = (l90 + l91 + l l100) / l ,5 Dafür eine einfache mathematische Formel:  ex = (  li / lx ) - 0,  : mathematisches Summenzeichen i = x vgl. in Excel z. B. : = Summe(L90 : L100) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Sterbetafeln und Ausscheideordnungen Ausscheideordnungen Die Absterbeordnung der Lebenden lx ist eine Ausscheideordnung mit dem einzigen Grund Tod. Andere Ausscheidegründe sind z. B.: Storno (in der PKV) Invalidisierung bzw. Reaktivierung (in der Berufsunfähigkeits- und Erwerbsunfähigkeitsversicherung) Wiederverheiratung (in der Witwenrentenversicherung) - Eintritt der Pflegebedürftigkeit (in der Pflegerentenversicherung) Beispiel Storno in der PKV: Das sind alle vorzeitigen Abgänge bis auf den Grund Tod (Stornowahrscheinlichkeit): wx = Wahrscheinlichkeit, zwischen Alter x und x+1 zu stornieren. Die Ausscheidewahrscheinlichkeit insgesamt ist damit: qx + wx Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Prämienkalkulation - Äquivalenzprinzip Prospektive Kalkulation Barwerte von Prämien und Leistungen Kostendeckung und Zillmerung Die Kalkulation der Neuzugangsprämien erfolgt zunächst Netto – also ohne Einrechnung von Kosten für Abschluss, Verwaltung oder Schadenregulierung. Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt, zu Versicherungsbeginn eines Versicherten ist: Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien Die Diskontierung erfolgt mit einem Rechnungszins, d. h. einem Zins, von dem man annimmt, dass er voraussichtlich sicher aus den Kapitalanlagen zu erwirtschaften ist. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung Prämien und Versicherungsleistungen entsprechen sich nicht Jahr für Jahr im weiteren Versicherungsverlauf. So werden in der Lebensversicherung die Prämien als konstant kalkuliert, während die Sterbewahrscheinlichkeit mit dem Alter zunimmt. Das versicherungsmathematische Äquivalenzprinzip besagt dann: Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen = Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien + Deckungsrückstellung (bzw. Alterungsrückstellung) Anders ausgedrückt ist die Deckungsrückstellung die Differenz: Barwert aller künftigen Versicherungsleistungen - Barwert aller künftigen (Netto-)Prämien Zum Versicherungsbeginn ist noch keine Deckungsrückstellung vorhanden, daher sind die beiden Barwerte für die Ermittlung der Neuzugangsprämien zum Eintrittsalter gleich. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Deckungsrückstellung Zu Versicherungsbeginn sind die laufenden Prämien in der Regel höher als die Leistungen. Die Deckungsrückstellung wird vereinfacht ausgedrückt aus den Beitragsteilen aufgebaut und mit dem Rechnungszins verzinst, die zunächst noch nicht für Leistungen benötigt werden. Man könnte daher Jahr für Jahr die (kalkulierten) Leistungen von den Nettoprämien abziehen und den Betrag jeweils unter Verzinsung mit dem Rechnungszins aufaddieren und weiterrechnen. Dies wäre eine sogenannte Retrospektive Kalkulation, weil sie auf dem Vertragsverlauf in der Vergangenheit aufsetzt. In Ausnahmefällen kann dies zur Anwendung kommen. In aller Regel werden Deckungsrückstellungen jedoch aus den Annahmen für den zukünftigen Vertragsverlauf berechnet – wie dies auch in den Barwertdifferenzen zum Ausdruck kommt: dies bezeichnet man als Prospektive Kalkulation. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Beispiel: Sofort beginnende Leibrente ab Alter x – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1 Mit der Sterbetafel 94R (qx) für die Rentenversicherung ergibt sich die entsprechende Absterbeordnung lx Zu Beginn sind lx Versicherte vorhanden. Im nächsten Jahr vermindert sich diese Zahl durch Todesfälle auf lx+1 = (1 – qx) * lx Die Renten werden auf den Rentenbeginn diskontiert. Der jeweilige Barwert einer Zeitrente beträgt also vn für die im Alter x+n gezahlte Rente.Der Barwert der Leibrente – je zu Beginn vorhandenem Renner - berücksichtigt, dass sie nur im Erlebensfall gezahlt wird: lx+n * vn / lx Barwert der lebenslänglichen Leibrenten je x-jährigen Rentner (Ax für „Leistungsbarwert“): Ax = (lx * v0 + lx+1 * v l102 * v102-x ) / lx (mit „Endalter“ 102) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Noch Beispiel: Sofort beginnende Leibrente ab Alter x = 65 – lebenslänglich jährlich vorschüssig, Höhe 1 Die obere Line stellt die Absterbeordnung mit der Sterbetafel 94R dar: Lebende lx+i Die untere Linie ist das Produkt lx+i * vi aus Lebenden und diskontierter Rentenhöhe für jedes Alter. Die Summe der Werte der unteren Linie ( ) ist noch durch l65 ( ) zu dividieren: Ax = (lx * v0 + lx+1 * v l102 * v102-x ) / lx = / = 14,762 Dieser Leistungsbarwert – bzw. „Rentenbarwert“ bedeutet, dass ein Versicherter im Alter 65 bei einem Rechnungszins von 2,75 % für einen Einmalbeitrag (netto ohne Kosten) von Euro eine lebenslange Rente von jährlich im Voraus 1000 Euro versichern kann. Einmalbeitrag (an den Versicherer) und laufende Rente an den Versicherten sind gleich viel wert – d. h. haben bei einem Rechnungszins von 2,75 % den gleichen Barwert. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Eine mathematische Vereinfachung: Die Formel Ax = (lx * v0 + lx+1 * v l102 * v102-x ) / lx wird im Nenner und Zähler mit vx multipliziert, wodurch sich das Ergebnis nicht ändert – auch die Multiplikationszeichen werden einfach weggelassen: Ax = (lx vx + lx+1 vx l102 * v102 ) / ( lx vx ) Das hat den Vorteil, dass jeder Wert lx nur mit einem Diskontierungsfaktor multipliziert werden muss: es reicht also für die Berechnungen eine altersabhängige Tabelle der sogenannten Diskontierten Lebenden: Dx = lx vx Damit vereinfacht sich die Formel für den Rentenbarwert zu: -x Ax = (  Dx+i ) / Dx i = 0 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Barwert einer n = 30 Jahre aufgeschobenen jährlich vorschüssigen Rente 1 für einen 35- Jährigen (ohne Beitragsrückgewähr u. ä.): Der Barwert im Alter 65 war: 102-65 A65 = (  D65+i ) / D65 = / = 14,762 i = 0 Im Alter 65 sind noch l65 = Lebende vorhanden, im Alter 35 waren es noch l35 = Zusätzlich ist noch weitere 30 Jahre – über die Aufschubzeit – zu diskontieren, also mit v30 = 0, Der Barwert der aufgeschobenen Rente im Alter 35 ist also: A35(30J aufg.) = A35,30 = (v30 l65 / l35) (  D65+i ) / D65 = (0, * / ) * 14,762 = 5,855 = D65 / D35 * (  D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35 i = i = 0 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Diskontierte Lebende Männer Sterbetafel 94R Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Oder vereinfacht: = D65 / D35 * (  D65+i ) / D65 = (  D65+i ) / D35 i = i = 0 = / = 5,855 Wie hoch ist der Barwert einer jährlich vorschüssigen Leibrente ab Alter 35 bis Alter 64? Offenbar die Differenz zwischen dem Barwert einer lebenslangen vorschüssigen Rente ab Alter 35 und dem Barwert einer 30 Jahre aufgeschobenen Rente im Alter 35: 30a35 = (  D35+i ) / D35 - (  D65+i ) / D35 i = i = 0 64-35 = (  D35+i ) / D35 = / = 20,296 i = 0 Das ist auch gleichzeitig der Barwert 30a35 von 30 jährlichen Prämien 1 ab Alter 35 bis 64 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine 30 Jahre aufgeschobene jährliche vorschüssige Rente (also ab Alter 65) – netto : 12000 * A35,30 = * 5,855 = Wie hoch ist die jährliche Prämie P für diese Rente, wenn diese von Alter 35 an jährlich vorschüssig 30 Jahre lang gezahlt wird? Barwert der Prämien = Barwert der Leistungen, also: P * 30a35 = * A35,30 P * 20,296 = * 5,855 P = / 20,296 = 3.462 Die (Netto-)Prämie für die Rente 1 beträgt: P = A35,30 / 30a35 = 0,288 Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Wie hoch ist der Einmalbeitrag eines 35-jährigen für eine Todesfallversicherung (Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto : Vorsichtshalber wird angenommen, dass die Versicherten jeweils zum Jahrebeginn sterben – die Sterbewahrscheinlichkeit ist qx – aus der Sterbetafel 94T. Mit der entsprechenden Absterbeordnung lx ergibt sich also in jedem Alter die Zahl der Toten: dx = qx * lx und diskontiert: Cx = dx * vx = qx * Dx Die diskontierten Todesfalleistungen in der Vertragslaufzeit sind nun noch aufzusummieren und durch die Zahl der (diskontierten) Lebenden im Alter 35 zu dividieren: 29 30A35 = (  C35+i ) / D35 = (C35 + C C64) / D35 = i = 0 52445 / = 0,1386 ( € Todesfallschutz kosten einmalig €) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote, Rechnungszins 2,75% Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Sterbetafel 94T Männer, diskontierte Lebende und Tote Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Wie hoch ist der Jahresbeitrag eines 35-jährigen für die Todesfallversicherung (Leistung 1) mit Laufzeit 30 Jahre? – netto : Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert) und damit der Einmalbeitrag war 30A35 = (  C35+i ) / D35 = 0,1386 i = 0 Der Barwert (Rentenbarwert) der 30 vorschüssigen Jahresprämien (Höhe 1) beträgt 29 30a35 = (  D35+i ) / D35 = / = 19,662 P = 30A35 / 30a35 = 0,1386 / 19,662 = 0,00705 (d. h.: € Todesfallschutz kosten jährlich – netto – 705 €) Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Deckungsrückstellung Wie hoch ist bei dem vorangegangenen Beispiel die Deckungsrückstellung der Todesfallversicherung gegen laufenden Beitrag (Leistung 1) nach m = 10 Jahren: Die Deckungsrückstellung Vx,m ist allgemein die Differenz Barwert der künftigen Leistungen – Barwert der künftigen Prämien Nach 10 Jahren hat der Kunde das Alter 45 und die Versicherung läuft noch 20 Jahre: V35,10 = 20A45 - (20a45 * P) = 0,1567 – (14,625 * 0,00705) = 0,1567 – 0,1031 = 0,0536 Die Deckungsrückstellung für z. B € Todesfalleistung beträgt also nach 10 Jahren (bei Netto-Jahresprämie 705 €) €. Die folgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung während des Vertrages: Peter Schramm, Aktuar DAV

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation Wie berechnet sich die Prämie eines 35-jährigen für eine (gemischte) Kapitallebens- versicherung mit Ablaufleistung = Todesfalleistung Höhe 1, Laufzeit 30 Jahre? – netto : Die Prämie für die Todesfalleistung wurde schon berechnet, fehlt also noch die Ablaufleistung. Diese wird nur an die überlebenden (l65) ausgezahlt: A35,30 = (l65 / l35) * v30 = D65 / D35 = / = 0,33886 Dies wäre der Einmalbetrag (ohne Todesfalleistung). Die Jahresprämie ist dann: P = A35,30 / 30a35 = 0,33886 / 19,662 = 0,01723 Dazu kommt die Jahresprämie für die reine Todesfalleistung (0,00705), ergibt zusammen 0, Eine gemischte Kapitallebensversicherung auf Endalter 65 mit Leistung € kostet also – netto für den 35-Jährigen € jährlich. Die nachfolgende Grafik zeigt den Verlauf der Deckungsrückstellung dieser gemischten Kapitallebensversicherung. Peter Schramm, Aktuar DAV

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Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Prämienkalkulation - Kostendeckung Bisher wurden nur Nettoprämien ohne Kosten betrachtet. Kosten sind z. B.: Abschlusskosten Verwaltungskosten Schadenregulierungskosten Die Kosten werden z. B. einmalig zu Beginn oder laufend in die Beiträge eingerechnet. Maßstab kann z. B. relativ zur Prämie, zur Versicherungssumme oder pro Kopf sein. Zusammen mit den Kostenzuschlägen ergibt sich aus der Nettoprämie die Bruttoprämie. Wegen der Vielfalt der Varianten soll hier nur speziell das Thema Zillmerung der Abschlusskosten angesprochen werden. Die Nettoprämie ist – vereinfacht P = Ax / ax Bei Zillmerung wird die (sogenannte gezillmerte) Netto-Prämie Pz aus der Summe von Leistungsbarwert und Zillmerbetrag Z (bspw. 4 % der Versicherungssumme) errechnet: Pz = (Ax + Z) / ax Die Netto-Prämie wird also um den „Zillmerzuschlag“ Z / ax erhöht, z. B.: von 0,02428 um 0,04 / 19,662 = ,00203 auf 0,02631. Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung Der Barwert der Leistungen (Leistungsbarwert Ax ) wird durch die Zillmerung nicht verändert. Die (sogenannte) gezillmerte Deckungsrückstellung wird jedoch mit der erhöhten gezillmerten Nettoprämie gerechnet: Vx,m = Ax+m - (ax+m * P) (ungezillmert) Vzx,m = Ax+m - (ax+m * Pz) (ungezillmert) Zum Versicherungsbeginn gilt z. B. Vzx,0 = Ax - (ax * Pz) = Ax - (ax * (Ax + Z) / ax) = Ax - (Ax + Z) = - Z Die gezillmerte Deckungsrückstellung ist also zu Beginn um den Zillmerbetrag Z negativ. Die folgende Grafik zeigt einen Verlauf der gezillmerten Deckungsrückstellung im Vergleich zur ungezillmerten: Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Zillmerung – gezillmerte Deckungsrückstellung Peter Schramm, Aktuar DAV

Crashkurs Versicherungsmathematik Einführung in die Tarifierung – Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung Kapitaldeckung und Anwartschaftsdeckung sind unterschiedliche versicherungsmathematische Verfahren, wenn diese Begriffe auch teilweise synonym verwendet werden.. Jedes kann für sich bestehen, aber auch – wie in der Lebensversicherung – gemeinsam. Kapitaldeckungs- verfahren ohne Anwartschaftsdeckung gibt es noch z. B. im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung; sie waren vor dem reinen Umlageverfahren auch in der gesetzlichen Rentenversicherung üblich. Bei der reinen Kapitaldeckung in der Rentenversicherung werden während der Aktivenzeit für die Versicherten keine Deckungsrückstellungen (Anwartschaftsrückstellungen) gebildet. Erst bei Renteneintritt wird für den Versicherten der Barwert seiner künftigen Renten als Deckungsrückstellung zurückgestellt. Da aber während der Aktivenzeit keine Rückstellungen gebildet wurden, muss der für diese Kapitaldeckung erforderliche Betrag woanders herkommen. Bei der gesetzlichen Renten- versicherung wurden die Kapitaldeckung für die Rentenverpflichtungen der jeweiligen Neurentner durch Umlage aus Beiträgen aller Aktiven aufgebracht. Im reinen Kapital- deckungsverfahren sind zwar alle laufenden Renten durch Kapital gedeckt. Es ist jedoch - wie ein reines Umlageverfahren – demografieanfällig, weil z. B. der letzte Neurentner das gesamte Kapital für seine Rente bei Rentenbeginn selbst aufbringen müsste. Peter Schramm, Aktuar DAV

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