Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen Prof. Dr. Astrid Beckmann PH Schwäbisch Gmünd 20.10.2006

Ablauf Funktionale Abhängigkeiten Funktionale Abhängigkeit und Experimente Funktionale Abhängigkeiten und die Aspekte des Funktionsbegriffs authentisch erfahren Bericht über die schulische Erprobung

Was ist das Problem?

„Das Auto fährt immer geradeaus.“ „Das Auto rollt den Berg herunter.“

Beziehung zwischen x und y „Die Linie teilt das Koordinatensystem.“

Proportionale Funktion y x Gerade durch den Ursprung y/x = konstant

Funktionale Abhängigkeit y Proportionale Funktion y y0 x x0 x Funktionale Abhängigkeit jedem x ist genau ein y zugeordnet (Zuordnung)  wenn x sich ändert, ändert sich auch y (Kovariation)

Wie kann ein Verständnis für die funktionale Abhängigkeit erreicht werden?

Authentische Erfahrungen!  Experimente y Strecke x Zeit Realitätsbezüge Authentische Erfahrungen!  Experimente

Zusammenhang zwischen Aspekten des Funktionsbegriffs und Experimenten

Zuordnung (einfache): Aufnahme von Einzeldaten Beim Eintauchen eines Balls mit einem bestimmten Radius wird genau ein bestimmtes Wasservolumen verdrängt. Zuordnung: Jedem Radius – genau ein Wasservolumen Die einfache Zuordnung wird handelnd erfahren.

Zuordnung (kontinuierliche): Aufnahme von verschiedenen Daten/ Messreihe Jetzt wird nicht nur ein Ball betrachtet, sondern (kontinuierlich der Reihe nach) mehrere. Der Radius wird jeweils dem verdrängten Volumen zugeordnet. Die kontinuierliche Zuordnung wird handelnd erfahren.

Kovariation (diskrete) Beispiel: Zeit und Strecke, die ein Wagen in der Zeit fährt. Gucken wir nach bestimmten Zeiten auf die Uhr , stellen wir fest, dass die gefahrene Strecke des Wagens sich ebenfalls geändert hat. Die diskrete Kovariation wird erfahren.

Kovariation (kontinuierliche) Jetzt gucken wir nicht immer erst nach bestimmten Abständen auf die Uhr, sondern ständig. Die Zeit läuft und gleichzeitig erleben wir, wie der Wagen eine immer längere Strecke fährt. Die kontinuierliche Kovariation wird erlebt.

Objektaspekt Der Objektaspekt umfasst den Zuordnungs- und den Kovariationsaspekt. Er fasst die Funktion als Objekt, als etwas Ganzes auf. Dazu gehört: Beschreibung der Funktion durch ein Objekt, also zum Beispiel durch eine Gleichung, einen Graphen usw. Das inhaltliche Erfassen dieses Objekts, also die Fähigkeit, mit einer Funktionsgleichung wie y = ax oder mit einem Namen wie ganzrationale Funktion die entsprechende Zuordnung und Kovariation zu verbinden.

Objektaspekt Die Grenzen des Experiments motivieren dazu, die Funktion als Objekt zu fassen. Der Objektaspekt wird erfahren und erlebt.

Experimente im Unterricht

 Experimente mit Anregungen Ziel: Funktionale Abhängigkeiten anschaulich machen Das heißt u.a.: Funktionale Abhängigkeiten in Realitätsbezügen diskutieren und erfahren Funktionale Abhängigkeiten authentisch erleben Die Aspekte Zuordnung und Kovariation während der einzelnen Experimentierschritte bewusst machen  Experimente mit Anregungen

Realitätsbezug/ Impuls: Wenn du die Wahl hast, Fußball am Hang oder auf einer ebenen Fläche zu spielen, entscheidest du dich sicher für das Spiel auf der Ebene. Offensichtlich verhält sich der Ball am Hang und auf der Ebene unterschiedlich. Tauscht euch in der Gruppe darüber aus. Angenommen es steht nur ein hügeliges Gelände zur Verfügung und der Ball rollt einen Hang herunter. Du rennst hinter dem Ball her und willst ihn einholen. Wie schnell musst du im Vergleich zum Ball rennen? Beschreibe die Situation, bis du den Ball eingeholt hast. Tauscht euch darüber in der Gruppe aus.

Hypothesenbildung und Anregung zur Prüfung Allgemeine Aufgabe Beschreibe den Zusammenhang zwischen der beim Hinabrollen zurückgelegten Strecke und der benötigten Zeit. Überprüfe: Bestätigt der Zusammenhang eure obige Vermutung. Beschreibe die besonderen Eigenschaften des Zusammenhangs.

Authentisch erleben Material: Kugel Maßband Stoppuhren Hang / Schiefe Ebene zum Beispiel auf dem Schulhof Es werden die Zeiten für bestimmte Strecken gemessen, die eine an einem Hang hinabrollende Kugel für diese Strecken benötigt.

Aspekt der (einfachen) Zuordnung Lass die Kugel den Hang hinunter rollen. Miss die Zeit, die sie für 4 m benötigt. Trage den Messwert in das rechte Kästchen ein. 4 m

Aspekt der (kontinuierlichen) Zuordnung Führe sechs weitere Messungen durch. Trage die zusammen gehörenden Werte in die Tabelle ein. Strecke s in m Zeit t in s 1 1,7 4 3,7 9 5,5 15 7,4

Aspekt der Kovariation Betrachte die Tabelle. Erkennst du besondere Zusammenhänge? Betrachte das Schaubild. Beschreibe es.

Aspekt der Zuordnung Betrachte das Schaubild. Wie lange benötigt die Kugel für 15 m ?

Aspekt der Kovariation Wie verändert sich jeweils die Zeit, wenn du die Kugel statt 2 m 4 m rollen lässt und wenn du sie statt 7 m 9 m rollen lässt?

Objektaspekt Betrachte die Tabelle. Gibt es eine Rechenvorschrift, mit der du aus der ersten Größe stets die zugeordnete Größe ermitteln kannst und die für möglichst alle Messwerte gilt? Gib die Rechenvorschrift an. Überprüfe die Funktionsgleichung mit Hilfe verschiedener Messwerte. Zeichne (mit dem CAS oder Grafiktaschenrechner) den Graphen zu deiner Funktionsgleichung. Vergleiche mit dem Graphen aus deinen Messwerten.

Allgemein: Kennenlernen der Bestandteile des Experiments Erkennen, welche Größen sich verändern lassen Auswählen zweier voneinander abhängiger Größen, Hypothesenbildung Abhängigkeit beobachten: Verändern von x bewirkt Änderung von y Feststellen der funktionalen Abhängigkeit, y ist Funktion von x Erstellen einer systematischen Messreihe Auswerten, um welchen Funktionstyp es sich handelt (auch qualitativ am Graphen) Untersuchen, welche Abhängigkeit interessiert, y = f(x) oder x = f(y) Ergebnisse für Voraussagen nutzen

Offene Aufgabenstellung: In der Geschichte vom Froschkönig fällt der Prinzessin ihre Kugel in den Brunnen. Um wie viel steigt der Wasserspiegel im Brunnen, wenn die Kugel einen Radius von 6 cm hat und der Brunnen einen Durchmesser von 1 m?

Beispiele Bitte führen Sie die Experimente Auftrag: Bearbeiten Sie jeweils das Arbeitsblatt: Lesen Sie die Texte und führen Sie die Aufträge aus. Reflektieren Sie bitte ständig darüber, an welchen Stellen die funktionalen Abhängigkeiten besonders deutlich erfahren werden können. Bitte führen Sie die Experimente - so wie vorgesehen - auch wirklich durch!