Eine wissenschaftliche Miniatur Papierfalten Eine wissenschaftliche Miniatur Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Was ist Papierfalten? Ein Streifen Papier wird gefaltet rechts über links A Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit einem Knick es ist ein Talknick oder Linksknick Linkskurve Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Was ist Papierfalten? Das Falten des Papierstreifens wird iteriert, d.h. wiederholt ausgeführt Der einmal gefaltete Streifen wird ein zweites Mal gefaltet A Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Was ist Papierfalten? Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit drei Knicken Linksknick, Linksknick, Rechtsknick Linkskurve Rechtskurve Linkskurve Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Protokoll der ersten fünf Streifen LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Es drängen sich viele Fragen auf Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Fragen Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter? L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Wie geht es mit den Buchstabenketten weiter? Wie lang sind die Ketten? Wie viele Rs und Ls gibt es jeweils? Kommt es zu Wiederholungen? Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Antworten Stufe 1 2 3 4 5 n Anzahl der Rs Anzahl der Ls LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR Stufe 1 2 3 4 5 n Anzahl der Rs Anzahl der Ls Anzahl aller Buchstaben 1 3 7 15 1 2 4 8 16 1 3 7 15 31 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Antworten Wie werden die Zeichenketten gebildet? R L L LLR L LRR Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Das Reflexionsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge abschreibt ein L anhängt den ersten Teil an dem L „reflektiert“ Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Das Reflexionsgesetz Beispiel: Von der 3. zur 4. Stufe 3. Stufe LLRLLRR abschreiben LLRLLRR L LLRRLRR L anhängen ersten Teil reflektieren Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Erkenntnis Wenn man einen Streifen Papier „rechts über links“ fortlaufend faltet und die Knicke mit einer LR-Folge notiert, so gilt für diese LR-Folgen das Reflexionsgesetz. Ist dieses eine mathematisch befriedigende Aussage? Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Erkenntnis Es entspricht eher der naturwissen-schaftlichen Arbeitsweise denn Wir können das Reflexionsgesetz nicht für alle Papierstreifen beweisen. alle Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Naturwissenschaftliche, induktive Erkenntnisgewinnung Gesetzmäßigkeit mit Allgemeinheitsanspruch Induktion Abstraktion Logik Vorhersage endlich viele Experimente weitere Experimente Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Der mathematische Weg Definition 1 Es sei A = {L,R} ein Alphabet und A* die Menge aller Wörter über diesem Alphabet. Definition 2 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Der mathematische Weg Definition 3 Es sei  eine Funktion mit  heißt Reflexionsoperator Definition 4 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Der mathematische Weg Die Wörter w1 = L w2 = (w1) = LLR w3 = (w2) = LLRLLRR, ... erfüllen alle mit Sicherheit das Reflexionsgesetz, denn sie wurden per Definition so konstruiert. Es ist aber kein Beweis des Reflexionsgesetzes möglich. Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Mathematische, deduktive Erkenntnis Gesetzmäßigkeit (per definitionem mit Allgemeinheitsanspruch) weitere Gesetzmäßigkeit (mit Allgemeinheits-anspruch per Beweis) Deduktion Idee Anwendung Anwendung weitere Beispiele in der realen Welt Beispiele in der realen Welt Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Weitere Erkenntnisse Wo entstehen welche Knicke beim weiteren Falten? Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Weitere Erkenntnisse LLRLLRRLLLRRLRR L L R L L R R L L L R R L R R L R L R L R L R L R L R L R L L LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRL Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Das Inflationsgesetz Beim Papierfalten erhält man die nächste Knickfolge, indem man die letzte Knickfolge auseinander zieht vor, in die Lücken und hinter die Knickfolge abwechseln L und R einfügt Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Zusammenhänge Reflexionsgesetz und Inflationsgesetz sind äquivalent d.h. die Knickfolge, die nach dem Reflexionsgesetz gebildet wird, stimmt in allen Symbolen mit der Knickfolge, die nach dem Inflationsgesetz gebildet wird, überein Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Zusammenhänge naturwissenschaftliche, realitätsbezogene Begründung: beide Gesetze sind nur verschiedene Betrachtungsweisen desselben Prozesses, nämlich Papierfalten Die Begründung ist vernünftig, aber nicht für alle Wörter wirklich geprüft Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Zusammenhänge formal deduktiver Beweis: die Wörter, die mit dem Reflexionsgesetz definiert werden und die Wörter, die mit dem Inflationsgesetz definiert werden sind an jeder Position im Wort gleich Der Beweis sichert diesen Zusammenhang für alle Wörter wn Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR 1234567890123456789012345678901 1 2 3 Welches Zeichen wird auf Position 92 stehen? Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR 1234567890123456789012345678901 1 2 3 Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L Position gerade, Zeichen ist L Position ungerade, Zeichen ist R Position gerade, Zeichen ist R Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten L LLR LLRLLRR LLRLLRRLLLRRLRR LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR 1234567890123456789012345678901 1 2 3 Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die ungeraden Positionen: Dividiere die Platznummer mit Rest durch 4. Ist der Rest 1, so steht dort ein L, ist der Rest 3, so steht dort ein R. Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRL… 123456789012345678901234567890123456… 1 2 3 /L/L/R/L/L/R/R/L/L/L/R/R/L/R/R/L/L/L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Nach dem Streichen der ungeraden Positionen und Neunummerierung der verbleibenden Symbole erhält man wieder die Papierfaltungsfolge. Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Gesetzmäßigkeiten Gesetz für die geraden Positionen: Dividiere die Platznummer durch 2 und wende auf die neue Platznummer die beiden Gesetze an. Beispiel: Eigenschaft Positionen Position ungerade, Zeichen ist L 1 5 9 13 17 21 25 Position gerade, Zeichen ist L 2 4 8 10 16 18 20 Position ungerade, Zeichen ist R 3 7 11 15 19 27 Position gerade, Zeichen ist R 6 12 14 22 24 28 30 Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Die gefalteten Streifen werden so weit aufgefaltet, dass die Abschnitte einen rechten Winkel formen. Die Figuren werden so ausgerichtet, dass der erste Streifenabschnitt nach oben und der zweite nach links weist. Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

1.Stufe 2.Stufe 3.Stufe 4.Stufe 5.Stufe Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Weiterfalten Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Die Entfernung Anfang - Ende bleibt konstant Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Geometrische Interpretation Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Forschungsaufgaben 1. Das Falten geschieht nicht nur mit „rechts über links“, sondern auch mit „rechts unter links“. Die Knickfolge muss natürlich protokolliert werden. A A Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Forschungsaufgaben 2. Die Knickfolge wird nicht mit L (Linksknick) und R (Rechts-knick) protokolliert, sondern mit N (Nord), W (West), S (Süd), O (Ost) für die Abschnitte. Beispiel: (3. Stufe) NWSWSOSW Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen

Forschungsaufgaben 3. Der Streifen wird in Drittel geknickt. linkes Drittel über die Mitte, rechtes Drittel über die Mitte A 2. Stufe: LLRRRRLL A A 1. Stufe: RR Mathematisches Vorsemester 2006, 4.-13.10.06, Uni Bremen