R. Loska: Elemente der Arithmetik – WS 09/10 Sachrechnen

Nutzen des Sachrechnens Sachverhalte als vertrauter Kontext für den Zugang zu mathematischen Inhalten (Prinzip der Veranschaulichung und Lebensnähe) Sachverhalte als Motivation für mathematische Inhalte Mittel zur Erschließung der Umwelt

Ziele des Sachrechnens Die Schüler sollen Maßsysteme als Werkzeug zur Umwelterschließung kennenlernen Messen, Messinstrumente ... Vorstellung von Größen; Schätzen ... Sachsituationen kennenlernen, in denen Größen eine Rolle spielen - Ausreichendes Wissen über die Sache erwerben Einkaufssituation Zinsen, Steuern, ... Sachrechenfähigkeiten entwickeln Muster erkennen, Fragen entwickeln Daten gewinnen und darstellen Methoden des mathematischen Modellierens („Mathematisieren“)

Größenbereiche in der Grundschule Repräsentanten Äquivalenzrelationen Längen Strecken, Stäbe ... ist so lang wie .. Zeitspannen Vorgänge, Abläufe ... dauert so lange wie.. Gewichte Gegenstände ... ist so schwer wie... Geldwerte Münzen, Geldscheine ... hat denselben Wert wie ... Flächeninhalte Platten, Figuren ... ist zerlegungsgleich zu... Volumina Gefäße, Körper ... fasst/verdrängt so viel Wasser wie ...

Direkter Vergleich: Größen können untereinander verglichen werden Direkter Vergleich: Größen können untereinander verglichen werden. Zwei Größen gk und gl sind entweder gleich groß oder gk < gl oder gk > gl („Trichotomie“) Indirekter Vergleich - Struktur: Maßzahl x Maßeinheit Addition und Multiplikation von Größen: Größen können addiert werden, nicht aber miteinander multipliziert („kg x kg“), nur vervielfacht (n x gk, z.B. 3 x 4 kg)

Größenbereich Zeitspannen

Größenbereich Zeitspannen

Größenbereich Zeitspannen

Größenbereich Gewichte

Größenbereich Gewichte

Größenbereich Gewichte

Größenbereich Gewichte

Analyse einer Textaufgabe Auf einem Bahnhof fahren zur gleichen Zeit zwei Züge ab. Sie fahren in entgegen gesetzte Richtungen. Der eine fährt pro Stunde 80 km, der andere fährt pro Stunde 60 km. Wie weit sind die beiden Züge nach 1 ½ Stunden Fahrzeit voneinander entfernt?

Zwei Züge fahren …   Wo ab? Wann ab? Wohin? Wie schnell? Wie lange? Gegebene Daten ordnen von einem Bahnhof zur gleichen Zeit in entgegen gesetzte Richtung der eine 80 km, der andere 60 km pro Stunde 1 ½ Stunden lang Ort Zeitpunkt Zielrichtung Geschwindigkeit Zeitspanne Einzelwissen, Alltagswissen erinnern von derselben Stelle zum selben Zeitpunkt, z.B. beide um 12 Uhr der eine z.B. nach Osten, der andere nach Westen in jeder Stunde Fahrzeit eine Fahrstrecke von 80 (60) km Länge 1 ganze Stunde und noch eine weitere halbe Stunde dazu Gesetzes- wissen erinnern Entfernung voneinander wird mit der Zeit immer größer Wenn man weiß, wie schnell etwas fährt und wie lange es fährt, kann man die Fahrstrecke ausrechnen. Entfernung voneinander besteht aus 2 Teilen: Weglänge des einen plus Weglänge des anderen von der Ausgangsstelle Verarbeitung der gegebe- nen Daten in Richtung auf Fragestellung Entfernung der Züge voneinander ist Fahrstrecke des einen Zuges plus Fahrstrecke des anderen Zuges. Der eine Zug hat nach 1 ½ Stunden 80 km + 40 km = 120 km, der andere nach 1 ½ Stunden 60 km + 30 km = 90 km zurückgelegt. Frage: Lösung: Wie groß ist die Entfernung der Züge voneinander ? Nach 1 ½ Stunden: 120 km + 90 km = 210 km

Erhebung bei 1120 Viertklässlern aus 43 Klassen 32 % lösten die Aufgabe richtig 59 % falsch 9 % nahmen die Aufgabe erst gar nicht in Angriff Ergebnisse, die vorkamen: 30 km 20 km 90 oder 120 km 140 km, 1.800 km, 12.600 km, 4.800 km 5 % der Schüler fertigten eins Skizze an. Davon hatten 64% eine richtige Lösung

Probleme bei Textaufgaben 1. Beobachtungen Lehrer lassen Text zweimal durch-/vorlesen. Schüler merken sich Einzelaspekte, insbesondere die Zahlenwerte. Lehrer lassen „wichtige Stellen“ unterstreichen. Schüler unterstreichen Zahlen. Lehrer lassen Inhalt wiedergeben. Schüler achten vor allem darauf, die Zahlenangaben korrekt wiederzugeben. Sachrechenschema: Ich frage - ich weiß - ich rechne - ich antworte. Bei „ich weiß“ findet nur eine Auflistung der im Text genannten Größen statt. Folge: Sachsituation wird nicht klar, Struktur der Aufgabe wird nicht erfasst.

2. Typische Schülerfehler Zahlendominanz. „Lieber falsch rechnen als gar nicht“. Operationen werden willkürlich gewählt. Kleine Zahlen: Multiplikation und Division.Große Zahlen: Addition und Subtraktion Fixierung auf Lösungsschemata und Regeln, die kurz zuvor im Unterricht behandelt wurden Fehlerhafte Verkürzung des Lösungsplans bei mehrgliedrigen Aufgaben Relationale Zahlenangaben im Text werden direkt übernommen. Beispiel: „Der dritte Kunde erhält 400 l weniger als die beiden anderen zusammen.“ Dem dritten Kunden werden dann 400 l zugeordnet. ...

Sinnvolle Maßnahmen bei Textaufgaben Situierungsphase: Das Verständnis der Sachsituation soll unbedingt gewährleistet sein. Schüler sollen z.B. den Inhalt in eigenen Worten ohne Zahlen wiedergeben. Mathematisierungsphase (insbes. bei komplexen Aufgaben): Grobanalyse: Zur Mathematisierung muss zunächst die Grobstruktur des Sachproblems erfasst werden. Hierzu können Skizzen dienlich sein. Ein gute Skizze muss die Struktur im Wesentlichen erfassen. Ein oft anwendbares Modell ist das Streifenmodell, in dem die Teilbeträge repräsentiert sind. Zahlenwerte sollen hier zunächst keine oder eine untergeordnete Rolle spielen. Zahlenwerte könnten von der Analyse ablenken. Feinanalyse - Größeneinbindung: In diesem Arbeitsgang sind die konkreten Zahlenwerte zu berücksichtigen und den Teilaufgaben zuzuordnen.

Typen von Sachaufgaben • Eingekleidete Aufgaben (84% der 4.Klass-Schulbuchsachaufgaben in den 80er Jahren) • Sachstrukturiertes Üben • Textaufgaben: In gewisser Weise unrealistisch, weil sie in der Lebenswelt nicht vorkommen. Jedoch ist hier die Mathematisierung Kernpunkt • Sachbilder • Sachtexte (Christa Erichson) • Selbst erstellte Sachaufgaben (z.B. aus Zeitungsmeldungen, authentischem Material usw.) • Sachprobleme: originale Daten, die z.T. erst besorgt werden müssen. Starkes Gewicht der Sache • Fermi-Aufgaben • Sachprojekte (s. Heinrich Winter, Sachrechnen)

Sachstrukturiertes Üben

Sach- strukturiertes Üben

Sachbilder

Sachbilder Bedeutung und Fragestellungen müssen erst erschlossen/ ausgehandelt werden

Sachtexte Christa Erichson: Von Giganten, Medaillen und einem regen Wurm, Hamburg 2003

Sachtexte

Sachtexte

Sachtexte

Sachtexte

Selbst erstellte Sachaufgaben

Selbst erstellte Sachaufgaben

Selbst erstellte Sachaufgaben

Sachprobleme Beispiel: Eine Familie plant, am Wochenende mit dem Auto nach Frankfurt zu fahren. Fragen: Wie weit ist es bis Frankfurt? Wie lange dauern die Fahrten? Wie hoch ist der Benzinverbrauch? Was kostet die Fahrt? Was würde die Fahrt mit der Bahn kosten? Wesentlich ist hier, dass die Daten erst besorgt werden müssen.

Fragen zur Karte: Was bedeutet PRAHA? Was bedeuten die Nadeln? Was bedeuten die Zahlen? Welches ist der längste Weg durch Deutschland? Wie lange braucht man, um mit einem Flugzeug über Deutschland zu fliegen? …

Woher kommt die Bezeichnung „Fermi-Aufgaben“? Enrico Fermi, ein bekannter Physiker und Nobelpreisträger (1901-1954) sagte, dass jeder vernünftig denkende Mensch zu jeder Frage auch eine Antwort finden müsse. Er hat seinen Studenten oft Fragen gestellt wie: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in New York?“ Folien zu Fermi-Aufgaben nach Andreas Büchter

Fermi-Aufgabe zur Einführung Die Klasse 4b möchte einen Ausflug zum Düsseldorfer Stadttheater machen und dort eine Vorstellung besuchen. In der Klassenkasse sind noch 550 Euro. Reicht das Geld aus der Klassenkasse, um den Ausflug zu bezahlen?

Fermi-Aufgabe Wie viel Grashalme wachsen im Fußballstadion?

Was zeichnet Fermi-Aufgaben aus? sind realitätsbezogen, sind herausfordernd, sind in hohem Grade offen, erfordern die Ermittlung von Daten, meist durch Setzung von (sinnvollen) Annahmen trainieren die Fähigkeit, abzuschätzen fördern Kompetenzen einer alltagstauglichen Mathematik

Sachprojekte Daten selbst erheben Daten besorgen „Hochrechnungen“ …… (z.B. durch Messungen) Daten besorgen „Hochrechnungen“ …… hier Thema Wasserverbrauch

Typen von Sachaufgaben Eingekleidete Aufgaben Sachstrukturiertes Üben Textaufgaben Sachbilder Sachtexte Selbst erstellte Sachaufgaben Sachprobleme Fermi-Aufgaben Sachprojekte

Allgemeine unterrichtliche Maßnahmen für das Sachrechnen Sachaufgaben aus dem Lebensbereich der Schüler entwickeln! Die Präsentationsform von Sachaufgaben variieren! Verschiedene Typen von Sachaufgaben einsetzen: Sachsituationen mit authentischem Material, Sachbilder Sachtexte, … Verschiedene Formen der Darstellung von Größen in Tabellen, Schaubildern u.a. Sachaufgaben oder Rechengeschichten erfinden lassen! Zu mathematischen Aussagen mögliche Sachsituationen finden lassen!

5. Unterbestimmte, überbestimmte bzw. unsinnige Textaufgaben einsetzen! 6. Individuelle Lösungsstrategien ermutigen; keine bestimmte Schreibweise vorschreiben! 7. Sachaufgaben nach bestimmten Gesichtspunkten verändern bzw. durch Schüler verändern lassen! (Prinzip Variieren) 8. Weg von der “Sache” zur Lösung thematisieren! Lösungswege reflektieren!