Komposition von quadratischen Formen (Betrachtung nach Hurwitz) Lukasz Dworzecki

Komposition von quadratischen Formen Gauß‘ Arbeiten beschäftigten sich in der Regel mit der Ausarbeitung von klassischen Formeln, wie z.B.: Oder allgemeiner gefasst:

Komposition von quadratischen Formen Hurwitz beschäftigte sich mit dem Problem der Komposition einer Form durch ein Produkt zweier Formen durch die Substitusion Σ: Sämltiche Koeffizienten sind dabei ganzzahlig.

Komposition von quadratischen Formen Substitution: Die Determinanten der Untermatrizen von werden abgekürzt: und substituiert durch: P,Q,R,S,T,U.

Komposition von quadratischen Formen Für F, f und f‘ ergeben sich folgende Determinanten: , für die wir schreiben:

Komposition von quadratischen Formen Mit der Annahme, dass x‘ und y‘ feste aber willkürliche Konstanten sind und unter der Annahme dass F=f*f‘ nach Σ, wird F durch die Substitution in .

Komposition von quadratischen Formen Als Konsequenz erhält man daraus die Identität: , oder . Analog erhält man die Gleichung:

Komposition von quadratischen Formen Nach längerem Umstellen erhält man die Gleichungen:

Komposition von quadratischen Formen Da n und n‘ ganzzahlig sind, so stehen die Determinanten von F, f und f‘ im Verhältnis von Quadratzahlen (Gauß‘ erste Schlussfolgerung). Stellen m und m‘ nun den ggT von f und f‘ dar, so sind m‘n und mn‘ ganzzahlig. So ergibt sich durch die Definition von n und n‘ , d.h.: D teilt dm‘² und d‘m². (Gauß‘ zweite Schlussfolgerung).

Komposition von quadratischen Formen Die dritte Schlussfolgerung fällt mit den oberen Gleichungen zusammen.

Komposition von quadratischen Formen Die vierte Folgerung besagt, dass Dk² der ggT von dm‘² und d‘m² ist. Dabei ist k der ggT der Determinanten der Untermatrizen von

Komposition von quadratischen Formen Nach der fünften Folgerung ist (mm‘)/M ganzzahlig, wobei M der Teiler von F ist. Sechste Folgerung: mm‘ teilt Mk².

Komposition von quadratischen Formen Gauß versuchte bisher zu zeigen, dass eine Transformation der Form F in ein Produkt zweier Formen f und f‘ vorliegt. Betrachtet man nun den Fall k=1, so ist der ggT von P,Q,R,S,T,U eben genau 1. In diesem Fall ist F eine Komposition von f und f‘.

Komposition von quadratischen Formen Nun werden X und Y mittels in . Somit ist die neue Form F* mit den Variablen X* und Y* durch die Substitution ΣT transformiert in das Produkt von f und f‘.