Bivariate Polynome auf Dreiecken Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011 Bivariate Polynome auf Dreiecken 06. 10. 2011 Janette Schmid

Gliederung: 1. Grundlagen: Bivariate Polynome 2. Eigenschaften der Approxiamtion 3. Eigenschaften der Interpolation

1. Bivariate Polynome j 1.1 Definition Für heißt Bivariates Polynom vom Grad d. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.2 Normen Gegeben sei ein Gebiet Ω in -Norm: q-Norm: Für 0<q< gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.4 Satz Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle : K ist eine Konstante die nur von d abhängt. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt: mit: für 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.5 Ableitungen Seien die partiellen Ableitungen von , dann gilt: mit: für Vergleich univariat: Ableitung: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.6 Satz: Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom : Für alle 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

1.7 Richtungsableitung: Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2. Approximation 2.1 Aproximation in der Maximumnorm Seminorm: Durchmesser von Ω: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . Dann gibt für jedes ein , sodass gilt 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit: 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . Dann gibt für jedes ein , sodass gilt 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit: Der Exponent kann nicht erhöht werden. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2.3 Durchschnittstaylorpolynom Taylorpolynom im univariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2.3 Durchschnittstaylorpolynom Taylorpolynom im univariaten: Taylorpolynom im bivariaten: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Durchschnittstaylorpolynom: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt Durchschnittstaylorpolynom: Gauss‘sche Glocke: Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt . Es gilt: mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Satz 2.2: Für jedes und gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Satz 2.2: Satz 2.3: Für jedes und gilt: Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

2.3 Approximation in der q-Norm Sobolev-Raum: mit 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Satz 2.4: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . und sei , dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

3. Interpolation Univariat: Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten. Bivariat: Interpolation nicht immer möglich. Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte. Es ergibt sich folgende Matrix: Interpolation nur möglich, wenn gilt: 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Sei d=1 und und die 3 Punkte Beispiel: Sei d=1 und und die 3 Punkte liegen auf einer Geraden: y=ax+b. Dann ergibt sich folgende Matrix:  det(M)=0  Matrix nicht lösbar. 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Mögliche Lage der Interpolationspunkte: Satz 3.1: Geradenkriterium Sei A eine Menge von Punkten und eine Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von . 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1): Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei Dann ist die Punktmenge eine Interpolationslage von . 1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation

Literatur: Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, 1- 17. Cambridge Univ. Press.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit