Vorlesung WS 2003/04 Prof. Adalbert Ding Physik für Studierende der Bio- und Lebensmitteltechnologie: Punktmechanik Vorlesung WS 2003/04 Prof. Adalbert Ding

Physikalische Grundgrößen bestehend aus Zahlenwert und Einheit Größe Einheit Abk. Ort Meter [m] Zeit Sekunde [s] Ladung Coulomb [C] Masse Kilogramm [kg] (Temperatur Kelvin [K]) (Stoffmenge Mol [1] )

Abgeleitete Größen (differentiell)

Alle physikalischen Meßverfahren müssen reproduzierbare Ergebnisse liefern

Erhaltungssätze (nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls

Der Impuls Die Größe der Bewegung ist durch die Geschwindigkeit v und die Masse m (Menge der Materie) bestimmt: p = m·v Sie wird Impuls genannt. Der Impuls ist eine Vektorgröße, ist also gerichtet. Der Impuls kann nur durch das Einwirken einer Kraft geändert werden (s. 1. bzw. 2. Newtonsches Axiom).

Vektoren Vektoren beschreiben gerichtete Größen. Sie können durch Länge (Größe) und Richtung oder durch Komponenten beschrieben werden Dreidimensionaler (3D) Vektor (Normalfall) 3 Komponten (z.B. x, y, z) oder 1 Länge, 2 Winkel Zweidimensionaler (2D) Vektor (ebenes Problem) 2 Komponten (z.B.x,y) oder 1 Länge [r], 1 Winkel[φ] Mehrdimensionaler Vektor n Komponten (z.B.x1,..xi,..xn)

Vektoren (2) Haben 2 Multiplikationsarten: Inneres Produkt: Ergebnis skalar Vektorprodukt: Ergebnis vektoriell Keine Division! Sonderfall: komplexe Zahlen definiert durch 2 Komponenten, bzw. Länge und Winkel Produkt: Ergebnis komplex (nicht skalar) Division: Ergebnis komplex (nicht skalar)

Einzel- und Gesamtimpuls V2 V1 p1 p2 P = p1 + p2 = m1V1+ m2V2 V: Geschwindigkeit im Laborsystem

Große Physiker und Astronomen vor 1700 ° Thales v. Milet (624 - 547 v.u.Z.) Pythagoras (580 - 496 v.u.Z) Demokrit (ca. 420 v.u.Z.) Archimedes (287 - 212 v.u.Z.) Erathosthenes (276 - 195 v.u.Z.) Hipparch (190 - 125 v.u.Z.) Ibn Junus (ca. 1000) Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Gallileo Gallilei (1564 – 1642) Nikolaus Kopernikus (1473 – 1543) Johannes Kepler (1571 – 1630) Rene Descartes (1596 – 1650) Pierre Fermat (1601 – 1665) Otto v. Guericke (1602 – 1686) Christian Huygens (1629 – 1695) Isaac Newton (1643 – 1727) E. Torricelli (1608 – 1647) Blaise Pascal (1623 – 1662) Robert Boyle (1627 – 1691) E. Maylotte (1620 – 1684)

Erstes Newtonsches Axiom Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte Fi gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern, d.h. bei abwesenden Kräften bleibt der Impuls konstant: p = const. wenn Fi = 0

Zweites Newtonsches Axiom Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und wirkt in die Richtung der einwirkenden Kraft: F = dp/dt =m·dv/dt + v·dm/dt Sonderfall m = const.: F = m·dv/dt = m·a NB: Das 1. Newtonsche Axiom ist ein Sonderfall des 2. Newtonsche Axioms für F=0

Drittes Newtonsches Axiom Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder Die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von entgegengesetzter Richtung

Lineare Superposition von Kräften Kräfte werden vektoriell überlagert Die meisten physikalischen Größen können linear (skalar oder vektoriell) überlagert werden Da die Vektoren ortsabhängig sind entstehen ortsabhängige Vektorfelder

Grundlegende Kräfte Gravitationskraft Elektrostatische Kraft Magnetische (Lorenz-)Kraft 2 Kernkräfte

Gravitationsgesetz r12: Abstand der Massenmittelpunkte, r120 gibt die Richtung an (Länge = 1) G: Gravitationskonstante G = 6,67·10-11 Nm2kg-2 Für einen kleinen Körper auf der Erdoberfläche ist r12 = rE Erdradius, m2 = mE Erdmasse, m1 Probemasse: F = m(1)·g; g: Erdbeschleunigung=9,81 m·s-2

Experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstante G ° G: Gravitationskonstante G = 6,67·10-11 Nm2kg-2

Kräfte (abgeleitete) Reibungskräfte Fliehkräfte Corioliskraft ° Atomare und molekulare Kräfte ° z.B. zwischen Teilchen im Atom, zwischen Atomen, aber auch in Flüssigkeiten und Festkörpern

Spezifische Größen: Druck p Druck: Kraft pro Fläche p = Fn/A

Schwerpunkt Der Schwerpunkt eines Körpers ist ein ideeller Punkt, in dem man sich die gesamte Masse des Körpers ver-einigt denken kann. Im Schwerefeld kann der Körper durch eine Gegen-kraft, die auf den Schwerpunkt wirkt und gleich aber entgegengesetzt der Kraft ist, die auf die Gesamt-masse wirkt, im Gleichgewicht gehalten werden Der Schwerpunkt kann auch ausserhalb eines Kör-pers liegen

Schwerpunktgeschwindigkeit P = p1 + p2 = m1V1+ m2V2 Vi: Geschwindigkeit im Laborsystem vi: Geschwindigkeit im Schwerpunkt- system vs: Geschwindigkeit des Schwerpunkts P = M·vs = (m1+ m2)Vs Schwer- punkt r2 r1 rs m1 m2 V2 V1 v2 v1 y z R1 R2 p1 p2 vs x

Schwerpunkt von 2 Punktmassen rs Ri: Koordinaten im Laborsystem ri: Koordinaten im Schwerpunkt- system rs: Koordinate des Schwerpunkts mi: Punktmassen r1 z y x

Schwerpunkt von mehreren Punktmassen rs z y x

Anwendung Newtonsche Axiome: Statik Keine beschleunigte Bewegung, wenn die Summe aller an einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null wird: Keine beschleunigte Drehung, wenn die Summe aller Momente verschwindet:

Belasteter Balken (2D) FLager x y m1 FL1 FL2 FLS m2 m3 w s1 sS s2 s3 Schwerpunkt des Balkens w s1 sS s2 s3 Beispiel: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m1=100kg, m2=200kg, m3=0 (gewichtsloser Balken) oder m3= 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: FL1, FL2, FLS, FLager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder das rechte Lager gelegt!

Belasteter Balken (Fortsetzung) Aufgabe: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m1=100kg, m2=200kg, m3=0 (gewichtsloser Balken) oder 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: FL1, FL2, FL3, FLager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder rechte Lager gelegt! Lösung: Gewichtsloser Balken: FL1=1000N, FL2=2000N, FLS=0, s1=2m, s2=7m, sS=5m, s3=10m, M1=200Nm, M2=1400Nm, M3=10*Flager - >M1+M2+M3=0 -> M3=-16000Nm, FLager =-1600N Balken mit Gewicht: FL1=1000N, FL2=2000N, FLS=500N, s1=2m, s2=7m, sS=5m, s3=10m, M1=2000Nm, M2=14000Nm, M1S=250Nm, M3=100* Flager -> M1+M2 +MS +M3 =0 -> M3=-16250Nm, FLager =-1625N

Einfaches Tragwerk Regal (2D) Fdübel = Fhor Zug Dübel Fhor y=1m Fdiag Druck x=2m Last FL Wand Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: FL, Fhor, Fdiag (Druck oder Zugkräfte?) Lösung: FL=100N, Fhor=(x/y)·FL=200N; Fdiag=(FL2+Fhor2)0,5 =224N

Einfaches Tragwerk (2) Regal (2D) Anwendung von Momenten: ML+ MD= 0 Fdübel ML+ MD= 0 y=1m Regal (2D) Dübel Zug MD=y·Fdübel ML=x·FL Druck Drehpunkt x=2m FL Last Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: FL, ML,, MD, Fdübel (Druck oder Zugkraft?) Beispiel: m=10 kgFL=100NML=200Nm Fdübel= MD/y = -ML/y = -200N Wand

Unsymmetrische Schaukel (2D) Einfaches Tragwerk (3) Unsymmetrische Schaukel (2D) Flx Frx Fry Fly Flx + Frx = 0 Newton I Fly + Fry + FG = 0 Fly FG Gegeben: m, h, xl, xr Gesucht: FG, Fl, Fr (in Komponenten) und Vektordarstellung h Last FG = m·g xl xr Fundament

Komplexes Tragwerk ° Fachwerkbrücke Modell einer Fachwerkbrücke mit 2 Lagern und 5 Knoten belastet durch 2 x 50 Krafteinheiten (Pfeile nach unten). Berechnet werden die Druckspannungen (blau) und die Zugspannungen (rot) sowie die auf die Lager wirkende Kraft (Pfeil nach oben). In allen Knoten muss die Summe der Kräfte gleich Null sein. Zusätzlich muss die Summe der externen Kräfte (Pfeile) verschwinden.

Erhaltungssätze (nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls

Energie, Arbeit, Leistung Mechanische (kinetische) Energie: m/2·v2 Mechanische Arbeit W = F·s   F·ds Leistung N= W/t Wenn die Arbeit, einen Gegenstand von Punkt nach Punkt B zu bringen, unabhängig ist vom Weg, kann die Kraft F als 3D-Ableitung (Gradient) eines Potentials V geschrieben werden: F = -grad V (-dV/dx, -dV/dy, -dV/dz) Solche Kräfte werden konservativ genannt Die Gravitationskraft, die Coulombkraft sind konser-vative Kräfte, die Reibungskräfte, die Corioliskraft sind nicht konservativ.

Energiearten Kinetische Energie Potentielle Energie Thermische Energie Elektrostatische Energie Magnetostatische Energie Elektromagnetische Energie (z.B. Licht) Kernenergie

Beispiel Energiespeicher Mechanischer Energieinhalt eines Wasserbeckens: Epot=Fs·h=m ·g ·h m: Masse, h:Höhe, g:Erdbeschleunigung Beispiel: Becken (50m·20m·2m=2000t), Höhe 20m 2·106kg ·10ms-2 ·10m=2·108 kgm2s-2 (Nm=J) 55kWh

Drehgrößen vs. Lineare Größen Drehimpuls Drehmoment Rotationsenergie Lineare Größen Impuls Kraft Kinetische Energie

Gegenüberstellung von linearen Größen und Drehgrößen (1) Strecke s  Drehwinkel  Geschwindigkeit v  Winkelgeschwindigkeit  Beschleunigung a  Winkelbeschleunigung  Masse m  Trägheitsmoment J Kraft F  Drehmoment M Impuls p  Drehimpuls l Man beachte die unterschiedlichen Dimensionen auf der linken und der rechten Seite

Gegenüberstellung von linearen Größen und Drehgrößen°

Zentrifugal- beschleunigung |v1| = |v2| = v v1 v·sin() v·   v0 v·cos()  v·1 = v t

Zentrifugalkraft r v1   v0 t

Karussel r θ Beispiel: m=50 kg, r = 10 m, =2πf = 1 s-1 (1 Umdrehung in ca.6 s) gesucht: Fg , Fzent , Fres , θ Fres  700 N ; θ = 45° (unabhängig von der Masse)

Corioliskraft ° Verschiedene Koordinatensysteme, die sich gegenseitig linear bewegen, haben dieselben Naturgesetze (Inertialsysteme). Rotieren sie gegeneinander, so treten zusätzliche (Pseudo-)Kräfte auf: Die Zentrifugalbeschleunigung (s.o) Corioliskräfte

Corioliskraft (1) ° Das Foucaultsche Pendel: Ein auf der Erde in x-y-Richtung beweg-liches Pendel erfährt eine Coriolis-Beschleunigung , die senkrecht zur Pendelbewegung wirkt. Dadurch wird die Ebene, in der das Pendel schwingt, gedreht (an den Polen: 360°/d).

Corioliskraft (2) ° Wettersystem: rechts: Nordhalbkugel unten: Südhalbkugel

Corioliskraft (3): Tornado °

Keplersche Gesetze

Keplersche Gesetze (1) Die Planeten laufen auf Elipsenbahnen, in deren (einem) Brennpunkt die Sonne steht. Das Produkt aus Bahnradius und Geschwin-digkeit ist konstant (Erhaltung des Dreh-impulses) Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur 3. Potenz des Bahnradius

Keplersche Gesetze (1a)° Wie ist die Umlaufzeit definiert? Ein (siderischer) Umlauf eines Him-melskörpers entspricht einem Bahn-winkel von 360° (in Richtung auf weit entfernte Sterne und nicht auf die Sonne). Beispiel: Mond (Zentralgestirn Sonne). Die scheinbare Umlaufzeit (gleiche Richtung (Sternbild) am nächtlichen Himmel) ist mit 27,32 d 2,2 d kürzer als die Zeit (29,5 d) zwischen Neumond und Neumond (gleiche Richtung zur Sonne)

Keplersche Gesetze (2)

Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen Die Keplerschen Gesetze gelten nicht nur für die Bewegung der Planeten um die Sonne, sondern auch für die Bewegung der Monde und Satelliten um die Planeten Beipiel Erde: Mond: Bahnradius: rMond  3,84·105 km Umlaufzeit: TMond  27,32 d Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die Umlaufzeit TSat = 1d beträgt (geostationäre Satelliten)?

Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen (2) ° (genauere Berechnung: siderale Umlaufzeiten und Berücksichtigung des Schwerpunkts zwischen Erde und Mond) Beipiel geostationärer Satellit : Mond: Bahnradius: rM-E  3,84402·105 km siderale Umlaufzeit: TMond  27,32 d Abstand vom Schwerpunkt: Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die siderale Umlaufzeit beträgt? Die Bahnradien werden vom Mittelpunkt der Massen gemessen!

Bahn- und Eigendrehimpulse der Himmelskörper ° Die Bahn- ( ) und Eigendrehimpulsvektoren ( ) von Sonne, Planeten, Monden und Planeten- bzw. Mondbahnen, zeigen ebenso wie der Drehimpuls der Sonnenbahn um die Zentralgalaxie in etwa dieselbe Richtung:

Reibung Reibungskraft FR Die Reibungskraft eines festen Körpers auf einer festen Unterlage hängt nur von der senkrecht auf die Unterlage wirkenden Kraft, der sog. Normal-kraft FN ab, nicht jedoch von der Kontaktfläche. Der Proportionalitätsfaktor wird mit μ bezeichnet. Die Richtung der Reibungskraft ist immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung. Im Gegensatz dazu hängen die Reibungskräfte von festen Körpern, die sich in einer Flüssigkeit bzw. einem Gas bewegen von der Geschwindig-keit und der Form des Körpers ab.

Reibung Reibungskraft FR Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN Bewegung in einer viskosen Flüssigkeit: FR=cv·v = 6πηrv für eine Kugel v Geschwindigkeit η dynamische Viskosität, r Kugelradius Schnelle Bewegung in einem Gas. FR=cw·ρ/2 · v2 cw Widerstandsbeiwert, ρ Dichte

Reibung fester Körper Reibungskraft FR, Normalkraft: FN, Fester Körper auf Unterlage: FR=μ · FN μ: Reibungskoeffizient Die Reibung ist vor Beginn der Bewegung am größten (Haftreibung; μH), Gleitet der Körper auf der Unterlage so verringert sich der Reibungskoeffizient (Gleitreibung; μG) Rollt der Körper so ist die Reibung am geringsten (Rollreibung; μR)

Reibung fester Körper ° Reibungskraft FR, Normalkraft: FN, Reibungskoeffzient Haftreibung µ0 Gleitreibung µ Autoreifen auf Straße 0,7 0,5 Holz auf Holz 0,5 0,25 Stein auf Stein 0,6 0,4 Stahl auf Eis 0,015 0,01 Stahl auf Stahl 0,15 0,1 Stahl auf Teflon 0,04 0,04 Leder auf Metal 0,4 0,3 Ski auf Schnee 0,04...0,2 0,04...0,2

Reibung fester Körper: Beispiel Stein auf Stein, Übungsaufgabe: gegeben m1,m2, μ, μ =0,4 (Stein auf Stein) gesucht:FG, FS, FN, FR, a(m1) Reibungskraft FR=μ ·FN, Normalkraft: FN=g ·m Im Gleichgewicht ist 2FS=FG und FG=10·100 =1000 N FS=500 N FN= 10·60=600 N FR=0,4 ·300 = 240 N Resultierende Kraft: Fres= FS- FR =500 – 240 =260 N Die Beschleunigung der Masse m1 ist m1 ·a(m1)=260N a(m1)=260N/60kg=4,33m·s-2 FS FN FS Rollen, Ohne Reibung FR m1=60kg FS FS FG m2 = 100kg