VU 325.006, SS 2009 Grundlagen der Regelungstechnik Fragestunde 2

Überblick Organisatorisches Zusammenfassung der relevanten Inhalte Stabilität Allgemeines Hurwitz Nyquist allg. / vereinfacht Stabilitätsgüte Amplituden- & Phasenreserve Reglerentwurf Zeitbereich – Spezifikationen, Einstellregeln Frequenzbereich – 2OK Verfahren, dominantes Polpaar Wiederholung von Beispielen: Vereinfachter & allgemeiner Nyquist

Organisatorisches Ersatztest: MI, 15.07.2009, 9:30, EI7

Übertragungsfunktionen d. geschlossenen Regelkreises Allgemein: Führungsverhalten Störverhalten Standardregelkreis mit Einheitsrückführung Führungsverhalten Störverhalten

Stabilität Stabilitätsbedingung für geschlossenen Regelkreis: Asymptotische Stabilität  Re(pi) < 0 Grenzstabilität  Re(pi) = 0 Stabilitätsnachweis für geschlossenen RK durch Betrachtung des offenen RK: Charakteristische Gleichung: Nullstellen von P(s)  Pole des geschlossenen RK!

Hurwitz-Kriterium Basiert auf charakteristischer Gleichung: Notwendige Bedingung für asymptotische Stabilität: Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität: Mit der Hurwitz-Matrix: H1 H2 H3

Stabilitätsnachweis mittels Hurwitz-Kriterium Berechnung des charakteristischen Polynoms P(s) Ordnen nach Potenzen von s Überprüfen der Notwendigen Bedingung Aufstellen der Hurwitz-Matrix Berechnen der Hurwitz-Determinanten H2-Hn-1 Angabe des stabilen Bereichs 7

Allgemeines Nyquist-Kriterium Kontur in s-Ebene Abbildungsfunktion: Abbildung: Positive Imaginärachse  OK Negative Imaginärachse  um Re gespiegelte OK Kreis mit r  ∞ bei n>m Ursprung (bei n=m: K) Kreis im Ursprung mit e  0  ∞ Richtung bestimmen! Stabilitätskriterium: N = U + P = 0 N... Pole des geschlossenen Regelkreises innerhalb Kontur P... Pole des offenen Regelkreises (von Go) innerhalb Kontur U... Anzahl der Umkreisungen des Punktes s = -1 der Kontur in der Bildebene F*(s)

Anwendung des allgemeinen Nyquist-Kriteriums Pole & Nullstellen von Go berechnen Geeignete Kontur in s-Ebene wählen Berechnen von Re & Im von Go Berechnen der Anfangs- & Endwerte von Re & Im Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0  wkrit Re(wkrit) Zeichnen der OK Vervollständigen der Nyquist-Kontur Bestimmen des stabilen Bereichs Fallunterscheidung für Kkrit Zählen der Umrundungen für jeden Abschnitt 9

Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Vorraussetzungen für die Anwendbarkeit Go hat nur Pole in der linken Halbebene + max. 1 Pol im Ursprung Nennergrad n > Zählergrad m (von Go) Ortskurve endet im Ursprung! Betrachtung der Ortskurve: Asympt. Stabilität: Punkt -1 liegt links von OK! OK kommt von unten (Im < 0)  Re > -1 OK kommt von oben (Im >0)  Re < -1 10

Anwendung des vereinfachten Nyquist-Kriteriums Überprüfung der Voraussetzungen! Frequenzgang anschreiben: Go (s = jw) Berechnen von Re & Im von Go (jw) Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0  wkrit Bestimmen der kritischen Verstärkung Re(wkrit) = -1  Kkrit Bestimmen des stabilen Bereichs durch Auswerten des Kriteriums Punkt -1 liegt links von OK! 11

Absolute Stabilitätsgüte Forderung Pole des geschlossenen RK links der Geraden Verschieben des Koordinatensystems: Vorgangsweise: Ersetzen von s durch

Relative Stabilitätsgüte Maß für das Abklingen einer Schwingung Forderung Minimaler Dämpfungsgrad zmin Pole des geschlossenen RK in markiertem Bereich

Amplituden- & Phasenreserve Amplitudenreserve Phasenreserve 14

Zweiortskurven-Verfahren Aus der Definition der Amplitudenreserve Bei Phasendurchtrittsfrequenz w2 bzw. Im(Go)=0 ..gilt für asympt. Stabilität: Aus der Definition der Phasenreserve Bei Amplitudendurchtrittsfrequenz w1

Zweiortskurven-Verfahren Anwendung im Bode-Diagramm Zeichnen der Kennlinien von Gsu Zeichnen der Betragskennlinie von 1/AR Spiegelung der Kennlinie von AR um 0-dB-Linie Zeichnen der Phasenkennlinie von - p - jR Spiegelung der Kennlinie von jR um die –p/2 -Linie Schnittpunkt von Asu und 1/AR  w1 Schnittpunkt von jsu und - p - jR  w2 Überprüfung der Amplitudenreserve Ar > 1 bzw. Überprüfung der Phasenreserve yr > 0 bzw. jsu(w1) > - p - jR(w1)

Statische Spezifikationen Positionsfehler Stationärer Regelfehler bei sprungförmigem Eingang Endwertsatz: Führungsverhalten: Störverhalten: Geschwindigkeitsfehler Stationärer Regelfehler bei rampenförmigem Eingang

Dynamische Spezifikationen für Führungsverhalten Sprungantwort: Spezifikationen: Anregelzeit Tan Ausregelzeit Tr Bandbreite 2D Maximale Überschwingweite em Zeitpunkt des maximalen Überschwingens Tmax

Dynamische Spezifikationen für Führungsverhalten Anregelzeit Tan Ausregelzeit Tr mit Bandbreite 2D Maximale Überschwingweite em Zeitpunkt des maximalen Überschwingens Tmax

Empirische Einstellregeln Schwingversuch nach Ziegler-Nichols Regler auf P-Verhalten schalten: Tn  ∞ Tv  0 Erhöhen der Reglerverstärkung Kp bis zur Dauerschwingung Geschlossener Regelkreis an Stabilitätsgrenze! An Stabilitätsgrenze: Bestimmung der kritischen Verstärkung Kp,krit Bestimmung der Periodendauer der Schwingung Rechnerisch: z.B. mithilfe des. (vereinfachten) Nyquist-Kriteriums Grafisch im Bode-Diagramm Bestimmung der Reglerparameter für gesuchten Regler Aus Tabelle mithilfe von Kp,krit und Tkrit

Empirische Einstellregeln Einstellregeln nach Chien-Hrones-Reswick Betrachten der Sprungantwort Strecken mit Ausgleich Ablesen der Parameter Verzugszeit Tu Ausgleichszeit Ta Streckenverstärkung Ks = Dy / Du Strecken ohne Ausgleich Integrationszeitkonstante Ti Ablesen der Reglerparameter aus Tabelle

Empirische Einstellregeln T-Summenregel nach Kuhn Einstellregeln für PI und PID-Regler Nur für stabile Regelstrecken mit P-Verhalten & aperiodischer Sprungantwort Bestimmung folgender Parameter Streckenverstärkung Ks = Dy / Du Summenzeitkonstante Aus Übertragungsfunktion: TSUM = S TPTn + Tt - S TPDn Aus Sprungantwort: TSUM= Tu + Ta Ablesen der Reglerparameter aus Tabelle

Pol Nullstellen-Konfiguration v. geschlossenem RK Dominantes Polpaar Pol Nullstellen-Konfiguration v. geschlossenem RK Polpaar s1,2 dominant, wenn Restliche Pole haben vergl. großen negativen Realteil Unterschied ca. 1 Größenordnung (Dekade) Pole sind sehr „schnell“ Falls Pol in Ursprungsnähe vorhanden  (beinahe) Kürzung mit Nullstelle

Koeffizientenvergleich am char. Polynom Aufstellen der charakteristischen Gleichung Pist(s) Berechnen des Sollpolynoms entweder Über Vorgabe von z und wn (Spezifikationen) Über Polvorgabe (dominantes Poolpaar) Ergänzen auf die Ordnung von Pist(s) Durch Multiplikation mit unbekannten Polen (s - pi) Koeffizientenvergleich der charakteristischen Polynome Ermitteln der Reglerparameter

Beispiel Nyquist-Kriterium (vereinfacht)

Beispiel Nyquist-Kriterium (vereinfacht)

Beispiel Nyquist-Kriterium (vereinfacht)

Beispiel Nyquist-Kriterium (vereinfacht) Modifizierte Ortskurve stabil stabil instabil

Beispiel Nyquist-Kriterium (allgemein)

Beispiel Nyquist-Kriterium (allgemein) Kontur: s-Ebene

Beispiel Nyquist-Kriterium (allgemein)

Beispiel Nyquist-Kriterium (allgemein) Go(s)-Ebene Abbildung der Kontur: N=0 = U+P = (-1+1)+0 Relative Stabilitätsgüte erfüllt! N=0 = U+P=0+0 Relative Stabilitätsgüte erfüllt! N=0 U+P = 2+0  Relative Stabilitätsgüte nicht erfüllt!

Nächste Übung: Mi, 03.06.2009