Berechnung des Osterdatums mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus

Wann ist Ostern? Ostern ist (im Gegensatz zu Weihnachten) ein im Kalender bewegliches Fest, nach dessen Termin sich viele andere Feiertage (Pfingsten, Himmelfahrt, Fronleichnam) richten. Auf dem Konzil von Nicäa (325 nach Chr.) wurde festgelegt: Der Ostersonntag ist der erste Sonntag nach dem ersten Vollmond im Frühling. Frühlingsanfang ist immer der 21. März, ist dieser Tag ein Samstag und ist Vollmond, so ist Ostern am 22. März. Das ist der frühestmögliche Termin. Durch die Einführung des gregorianischen Kalenders (1582) kann der Frühlingsanfang (Frühlingstagundnachtgleiche) immer auf dem 21. März gehalten werden. Der erste Vollmond kann nach der Definition mit dem Frühlingsanfang zusammenfallen, jedoch nicht mit dem Ostersonntag. Ist der erste Vollmond an einem Sonntag, so ist der Ostersonntag eine Woche später. Das späteste Osterdatum ist der 25. April.

Formel von Gauß Gauß hat eine Formel angegeben, mit deren Hilfe man das Osterdatum direkt aus der Jahreszahl berechnen kann (J ist die Jahreszahl): a ist der Divisionsrest von J/19 b ist der Divisionsrest von J/4 c ist der Divisionsrest von J/7 d ist der Divisionsrest von (19*a + M)/30 e ist der Divisionsrest von (2*b + 4*c + 6*d + N)/7 Für die Jahre 1900-2099 gilt: M=24; N=5 Dann ist Ostern entweder am (22+d+e)-ten März oder am (d+e-9)-ten April

Umformulierung für 22+d+e > 31 ist offensichtlich das Aprildatum zutreffend Da (22+d+e) – (d+e-9) = 31 kann das Aprildatum aus dem (dann falschen) Märzdatum durch die Subtraktion von 31 berechnet werden.

Erste Version Erstelle ein reales Modell Verstecke dabei bei der Berechnung von a, b, c, d und e die Divisoren in der jeweiligen Funktion. Verstecke bei der Berechnung des Märzdatums die 22 in der Funktion. Modelliere die Berechnung von d und e so, dass M und N als konstante Eingabeparameter in die Funktion behandelt werden. Lasse das Aprildatum direkt aus dem Märzdatum berechnen, verstecke dabei die 31 in der Funktion. M und N dürfen nicht versteckt werden, da sie später aus der Jahreszahl berechnet werden.

Test Teste dein Modell z.B. anhand folgender Daten: 2008 23. März 2007 08. April 2000 23. April 1990 15. April 1980 06. April 1970 29. März Für 1981 muss das bisherige Modell den 26. April liefern. Das ist jedoch falsch, 1981 war der Ostersonntag am 19. April. Für 1954 muss das bisherige Modell den 25. April liefern. Das ist jedoch falsch, 1954 war der Ostersonntag am 18. April. Auf den Verbund aus Tag und Monat wird verzichtet, das kann aber auf Wunsch noch mit eingebaut werden. Es gibt aber ohnehin nur wenige Tage, bei denen das nicht klar ist (22-25).

Zweite Version Da das Modell nicht immer richtige Ergebnisse liefert, werden folgende Korrekturen eingeführt: Anstelle des 26. Aprils ist immer der 19. April zu setzen. Anstelle des 25. Aprils ist immer dann der 18. April zu setzen, wenn d=28 und a>10 ist. Kopiere dein Modell auf das zweite Rechenblatt und ergänze es entsprechend. Teste: Jetzt muss das Modell für 1981 den 19. April liefern und für 1954 den 18. April. Dieser Zusatz wurde bisher unterschlagen, um das Modell für den Anfang nicht zu kompliziert zu machen.

Erweiterung des Jahresbereiches Für Jahreszahlen außerhalb des Bereiches 1900- 2099 müssen die Konstanten M und N angepasst werden: 1700-1799: M=23 N=3 1800-1899: M=23 N=4 1900-2099: M=24 N=5 2100-2199: M=24 N=6 Ergänze das reale Modell so, dass diese „Konstanten“ aus der Jahreszahl berechnet werden. Eine Erweiterung vor 1582 ist auch durch systematische Änderung von M und N nicht möglich, da im Zuge der Umstellung des julianischen auf den gregorianischen Kalender in diesem Jahr auf den Donnerstag, den 4. Oktober gleich Freitag, der 15. Oktober folgte. Dieser Fehler war seit Einführung des julianischen Kalenders durch dessen Ungenauigkeiten aufgelaufen.

Umgestaltung Nachdem die Struktur des Problems klar ist, lassen wir nun pro Zeile das Osterdatum für jeweils ein Jahr berechnen. Lege in einer neuen Tabelle folgendes Schema an: Anhand der Jahreszahlen kann hier gezeigt werden, wie man fortlaufende Datenreihen anlegt.

Hinweise Datum vorl. enthält das berechnete Datum vor der Korrektur für den 25. und 26. April, Datum endg. das Datum danach. In der Spalte M wird angezeigt, ob ursprünglich der 26. April berechnet und das Datum dann korrigiert wurde, entsprechend in der Spalte N für den 25. April. Die Spalten O und P enthalten Such- und Ergebnisvektor für die Verweis-Funktion bei der Berechnung von N. Achtung: In der Verweis-Funktion müssen für Such- und Ergebnisvektor absolute Zellbezüge verwendet werden.

An die KollegenInnen: Bitte beachten: Diese Sequenz (inklusive der Tabellenblätter) darf für den Unterricht frei verwendet werden. Verbesserungsvorschläge, Fehler usw. bitte an: info@DieterBergmann.de